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Soit 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus trois si 𝑥 est inférieur à quatre et un sur 𝑥 moins cinq si 𝑥 est supérieur ou égal à quatre. Si 𝑓 est dérivable en 𝑥 égal à quatre, déterminez 𝑎 et 𝑏.
Notre fonction 𝑓 est définie par morceaux et change d’expression en 𝑥 égale quatre. Et nous recherchons les valeurs de 𝑎 et 𝑏, qui rendent 𝑓 dérivable en 𝑥 égale quatre, où son expression change. Qu’est-ce que cela signifie pour que la fonction 𝑓 soit dérivable en 𝑥 égale quatre ? Eh bien, techniquement, la dérivée de 𝑓 en quatre qui est la limite de 𝑓 de quatre plus ℎ moins 𝑓 de quatre le tout sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro doit exister.
Le plan pour cette vidéo est de commencer par trouver rigoureusement les valeurs de 𝑎 et 𝑏 pour lesquelles cette limite existe. Nous verrons alors qu’après l’avoir fait une fois probablement, nous pourrons à l’avenir utiliser une procédure, qui est beaucoup plus rapide. Et puis, nous allons voir le graphique de la fonction pour comprendre ce que cela signifie pour une fonction par morceaux d’être dérivable au point où son expression change.
D’accord, commençons par déterminer quand cette limite existe, c’est-à-dire lorsque les limites à gauche et à droite existent et sont égales. Commençons par la limite de gauche - la limite lorsque ℎ tend vers zéro à partir de la gauche, c’est-à-dire avec des valeurs égales à zéro ou inférieures à zéro, mais se rapprochant de plus en plus de zéro. Comme ℎ est inférieur à zéro, quatre plus ℎ est inférieur à quatre. Et nous savons ce que 𝑓 de 𝑥 est si 𝑥 est inférieur à quatre, c’est 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus trois. Donc, 𝑓 de quatre plus ℎ est 𝑎 fois quatre plus ℎ au carré plus 𝑏 fois quatre plus ℎ plus trois.
Et que diriez-vous de 𝑓 de quatre ? Eh bien, lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à quatre, 𝑓 de 𝑥 est un sur 𝑥 moins cinq. Donc, 𝑓 de quatre est un sur quatre moins cinq. Et après avoir complété le numérateur, nous écrivons également le dénominateur ℎ. Simplifions maintenant le numérateur en développant et en distribuant. 𝑎 fois quatre plus ℎ au carré devient 𝑎ℎ au carré plus huit 𝑎ℎ plus 16𝑎, 𝑏 fois quatre plus ℎ devient quatre 𝑏 plus 𝑏ℎ, et trois moins un sur quatre moins cinq est juste quatre.
À l’intérieur des limites, nous avons donc une expression du second degré en ℎ en fonction de nombres 𝑎 et 𝑏 que nous devons trouver. Écrivons cela plus explicitement comme une expression du second degré en ℎ. Après avoir fait cela, nous pouvons diviser la fraction en trois. Et nous pouvons simplifier ces fractions. La première fraction devient 𝑎ℎ et la seconde devient huit 𝑎 plus 𝑏. Et nous pouvons utiliser le fait que la limite d’une somme est la somme des limites pour écrire cette limite comme la somme de deux limites.
La première de ces limites peut être évaluée par substitution directe. Nous substituons simplement zéro à ℎ. Cela donne 𝑎 fois zéro plus huit 𝑎 plus 𝑏, ce qui est bien sûr seulement huit 𝑎 plus 𝑏. L’autre limite est un multiple de la fonction inverse un sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro. Et nous savons que cette limite est indéfinie. Alors, que devons-nous faire ? Nous voulons vraiment que notre limite de gauche soit définie. Eh bien, cela peut encore se produire si quatre plus seize 𝑎 plus quatre 𝑏 est égal à zéro. Et peu importe que la limite ne soit pas définie, car nous la multiplions par zéro. Et nous nous retrouvons avec huit 𝑎 plus 𝑏.
Pour reformuler cela, pour que la limite de gauche existe et donc que la dérivée de 𝑓 en quatre ait une chance d’exister, quatre plus 16𝑎 plus quatre 𝑏 doit être nul. Et si c’est le cas, alors la valeur de la limite de gauche est huit 𝑎 plus 𝑏.
Maintenant que nous sommes allés aussi loin que possible avec la limite de gauche, nous devons penser à la limite de droite. Rappelez-vous que nous avons besoin que cela soit non seulement défini, mais également égal à la limite de gauche pour que la limite existe. Nous traitons maintenant la limite de droite. ℎ est maintenant supérieur à zéro, mais se rapproche de plus en plus de zéro. Et donc quatre plus ℎ est supérieur à quatre. Lorsque 𝑥 est supérieur à quatre, 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥 moins cinq. Et donc pour la limite de droite, 𝑓 de quatre plus ℎ est un sur quatre plus ℎ moins cinq.
𝑓 de quatre en revanche n’a pas changé. C’est toujours un sur quatre moins cinq. Et nous pouvons immédiatement simplifier le numérateur parce que moins un sur quatre moins cinq est juste plus un et quatre plus ℎ moins cinq est juste ℎ moins un.
Pour simplifier davantage, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par ℎ moins un. Et donc au numérateur, un sur ℎ moins un devient un et un devient ℎ moins un. Nous pouvons simplifier un et moins un et il ne nous reste que ℎ au numérateur. Et le ℎ au numérateur se simplifie avec le facteur de ℎ au dénominateur, nous laissant avec juste un sur ℎ moins un dans la limite.
Et maintenant, les limites peuvent être évaluées en utilisant une substitution directe. Nous substituons simplement zéro en ℎ et nous obtenons un sur zéro moins un qui est un sur moins un, qui est moins un. La limite de droite existe donc et est égale à moins un.
Maintenant que nous avons les valeurs des limites à gauche et à droite en fonction de 𝑎 et 𝑏, nous pouvons déterminer quand la limite existe. Pour que la limite de 𝑓 de quatre plus ℎ moins 𝑓 de quatre le tout sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro existe, les limites à gauche et à droite doivent exister et elles doivent être égales. Nous avons vu que pour que la limite de gauche existe, quatre plus 16𝑎 plus quatre 𝑏 doivent être zéro. Il n’y a pas de problème similaire avec la limite de droite. Elle existe et sa valeur est moins un.
Mais pour que les limites à gauche et à droite soient égales, huit 𝑎 plus 𝑏 doit être égale à un. Nous allons donc écrire cela aussi. Nous avons donc deux équations linéaires et deux inconnues 𝑎 et 𝑏. Et espérons pouvoir résoudre ces équations simultanément pour trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏.
Il existe plusieurs méthodes pour le faire. Je vais choisir de réorganiser la deuxième équation pour avoir 𝑏 en fonction de 𝑎. En soustrayant huit 𝑎 des deux membres, nous obtenons 𝑏 est égal à moins un moins huit 𝑎. Et maintenant, nous pouvons substituer moins un moins huit 𝑎 de 𝑏 dans la première équation pour obtenir une équation qui est en fonction de 𝑎 uniquement.
Nous distribuons et simplifions en simplifiant les quatre pour trouver que 𝑎 est nul et nous utilisons cette valeur de 𝑎 pour trouver la valeur de 𝑏. 𝑏 est alors moins un moins huit fois zéro, ce qui est moins un. Voilà donc notre réponse. Nous avons trouvé avec succès les valeurs de 𝑎 et 𝑏 qui rendent la fonction 𝑓 dérivable en 𝑥 égale à quatre. Nous trouvons cela à partir de nos premiers principes en utilisant la définition de 𝑓 étant dérivable en 𝑥 égal à quatre.
Après avoir fait cela, regardons les conditions dont nous avions besoin et voyons si nous aurions pu les résoudre sans fournir autant d’efforts. Cette condition mise en évidence par quatre plus 16𝑎 plus quatre 𝑏 doit valoir zéro, ce que nous avions besoin pour que la limite de gauche existe, vient du fait que 𝑓 doit être continue en 𝑥 égale quatre. C’est-à-dire que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers quatre doit être 𝑓 de quatre . Pour qu’une fonction soit dérivable en un point, elle doit être continue en ce point.
L’autre condition que la limite de gauche huit 𝑎 plus 𝑏 doit être égale à la limite de droite, moins un provient des dérivées des règles de la fonction 𝑓 de chaque membre de 𝑥 égale quatre. Vous pouvez vérifier que huit 𝑎 plus 𝑏 est la dérivée de 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus trois en 𝑥 est égal à quatre et moins un est la dérivée de un sur 𝑥 moins cinq en 𝑥 égal à quatre.
Considérez la plus générale fonction par morceaux 𝑓 de 𝑥 est 𝑔 de 𝑥 si 𝑥 est inférieur à 𝑐 et ℎ de 𝑥 si 𝑥 est supérieur ou égal à 𝑐 et supposons que vous voulez savoir si 𝑓 est dérivable en 𝑥 égal à 𝑐. Eh bien, pour nous faciliter la tâche, supposons en outre que 𝑔 et ℎ sont dérivables en 𝑥 égal à 𝑐. Et donc le seul problème vient de la définition par morceaux de 𝑓. La réponse est oui si 𝑔 de 𝑐 est égal à ℎ de 𝑐 et la dérivée de 𝑔 en 𝑐 est égale à la dérivée de ℎ en 𝑐. La première condition 𝑔 de 𝑐 égale ℎ de 𝑐 garantit que 𝑓 est continue en 𝑥 égale 𝑐. Et non seulement les valeurs des fonctions 𝑔 et 𝑐 doivent concorder en 𝑥 égal 𝑐, mais aussi leurs dérivées.
Revenons à notre problème initial et regardons quelques graphiques. Voici le graphique de la fonction que nous avons fini avec le changement d’un point 𝑥 égal à quatre. Marqué à gauche de ce point, la fonction est donnée par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus trois avec 𝑎 égal à zéro et 𝑏 égal à moins un comme nous l’avons trouvé.
Donc, ici, le graphique a l’équation 𝑦 égal à zéro 𝑥 au carré moins 𝑥 plus trois ou juste 𝑦 est égal à moins 𝑥 plus trois. Et à droite de ce point du graphique est celle de 𝑦 est égal à un sur 𝑥 moins cinq. Notez que les deux parties du graphique se rencontrent à ce stade. Il n’y a pas de saut de discontinuité et il n’y a pas non plus de coin gênant lorsque nous passons d’un graphique à l’autre.
Comparez cela à ce graphique, où les valeurs de 𝑎 et 𝑏 ont été choisies pour être moins un et trois, respectivement. La fonction est toujours continue en 𝑥 égale quatre. Il n’y a pas de saut ici. Mais il y a un coin au point où la fonction change. Et cela nous dit que la fonction n’est pas dérivable en ce point. Vous pouvez imaginer qu’une particule se déplaçant le long de la courbe de cette fonction changerait brusquement de direction quand elle arriverait à 𝑥 égale quatre.
Alternativement, s’il s’agissait d’un graphique déplacement-temps, ce point 𝑥 égal à quatre représenterait un instant où la vitesse changerait soudainement. Cette variation instantanée de la vitesse signifierait une accélération infinie. Et ce serait une mauvaise nouvelle pour vous s’il s’agissait d’un graphique de votre déplacement dans le temps, car une accélération infinie vous tuerait.
Il existe de nombreuses applications des fonctions définies par morceaux où vous souhaitez non seulement qu’elle soit continue au point où leurs expressions changent, mais également dérivable. Bien que ce ne soit pas toujours une question de vie ou de mort, être en mesure de choisir des valeurs de paramètres pour rendre une fonction définie par morceaux dérivable est une compétence importante.
