Vidéo : La dérivabilité d’une fonction

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer si une fonction et dérivable, et à identifier la relation entre la dérivabilité d’une fonction et sa continuité.

17:58

Transcription de vidéo

La dérivabilité d’une fonction

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer si une fonction est dérivable. Et nous identifierons la relation entre la dérivabilité d’une fonction et sa continuité. Le processus de recherche d’une dérivée s’appelle la dérivabilité. Les dérivées étant l’un des éléments fondamentaux de l’analyse, la dérivation est donc un outil très important. Il s’ensuit donc qu’être capable de dire si une fonction est dérivable ou non peut être très utile pour nous. Nous rappelons que la dérivée mesure l’ampleur du changement de la valeur de sortie d’une fonction 𝑓 par rapport à un changement de son entrée 𝑥.

Dans un cadre plus formel puisque la dérivée peut être définie à l’aide de limites. La dérivée d’une fonction 𝑓 au point où 𝑥 égale 𝑥 zéro est définie comme la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 zéro le tout divisé par ℎ. Maintenant, ça vous aidera peut-être à penser à la moitié inférieure de cette question comme 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑥 zéro, ce qui est bien sûr juste ℎ. De cette façon, nous voyons que notre formule ressemble beaucoup au changement de 𝑦 divisé par le changement de 𝑥 car nos changements deviennent infiniment petits. Maintenant, une définition équivalente pour la dérivée serait la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑥 zéro de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑥 zéro le tout divisé par 𝑥 moins 𝑥 zéro. Ces deux définitions sont couramment utilisées, mais aux fins de la présente vidéo, nous utiliserons principalement la première.

Maintenant, un point clé que nous allons revoir tout au long de cette vidéo est que la dérivée n’existe que si la limite qui la définit existe. Si la limite et donc la dérivée existent en un point donné, alors nous disons que notre fonction est dérivable en ce point. Avant de poursuivre, il faut savoir qu’il existe deux formes de notation différentes pour nos dérivées. Si nous disons que 𝑦 égale notre fonction 𝑓 de 𝑥, alors la dérivée peut être écrite comme suit. La première façon est d𝑦 par d𝑥, qui est appelée la notation de Leibniz. Cette notation utilise les infinitésimaux que nous voyons ici d𝑦 et d𝑥.

La deuxième façon est 𝑓 prime de 𝑥 ou 𝑓 prime de 𝑥. Et c’est ce que l’on appelle la notation de Lagrange. Ces deux notations sont très couramment utilisées. Et vous les verrez dans cette vidéo. Pour en revenir à notre théorie, si nous imaginons que 𝑓 de 𝑥 est une courbe, la dérivée de 𝑓 de 𝑥 représenterait alors la tangente à cette courbe. C’est alors logique que si nous ne pouvons pas définir la tangente de notre courbe, alors la dérivée n’existe pas. L’observation de la représentation graphique d’une fonction peut souvent nous donner une compréhension visuelle des cas où la fonction est ou n’est pas dérivable, comme nous allons le voir dans l’exemple suivant.

La figure est la représentation graphique de la fonction 𝑓. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 sur 𝑥 égale moins quatre ?

Ici, on nous donne un graphique qui est défini sur l’intervalle de moins sept à moins un. À travers cet intervalle, nous voyons que notre courbe est lisse en tous points, à l’exception du point où 𝑥 est moins quatre. En ce point de coordonnées moins quatre, cinq, nous avons un coin pointu. Cela signifie que le coefficient directeur de la tangente, juste à gauche de 𝑥 égale moins quatre, sera différent du coefficient directeur de la tangente juste à droite de 𝑥 égale moins quatre. Ici, on peut même aller jusqu’à dire qu’un des coefficients directeurs sera positif et qu’un des coefficients directeurs sera négatif. Étant donné que nous avons deux tangentes différentes de part et d’autre, il n’est donc pas possible de définir une tangente en 𝑥 égale moins quatre. Par conséquent, il n’est pas non plus possible de définir la dérivée.

Si nous devions imaginer la représentation graphique de 𝑦 égale 𝑓 prime de 𝑥, notre dérivée première, nous nous attendrions à voir une forte hausse de la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 égale moins quatre. D’après nos observations, nous concluons que la fonction n’est pas dérivable en 𝑥 égale moins quatre parce que le taux de variation de la fonction est différent des deux côtés de ce point. Et avec cette affirmation, nous avons répondu à notre question.

Maintenant, il est intéressant de noter que nous aurions pu présenter un argument plus rigoureux fondé sur les limites qui définissent une dérivée. Cependant, cet exemple montre qu’il est parfois possible d’évaluer rapidement la dérivabilité d’une fonction à partir de sa représentation graphique.

En plus de l’angle aigu que nous avons vu dans l’exemple précédent, il existe de nombreuses raisons différentes pour lesquelles une fonction 𝑓 peut ne pas être dérivable en un certain point où 𝑥 égale 𝑥 zéro. Tous ces cas peuvent être compris en rappelant notre définition de la dérivée et en envisageant quand cette limite peut être considérée comme existante ou non. Ici, nous avons tracé un certain nombre de graphiques et nous passerons en revue chacune de leurs implications à tour de rôle. Dans les deux premiers cas, nous avons une discontinuité et un coin. Dans ces cas, les limites des côtés gauche et droit lorsque ℎ tend vers zéro ne seront pas concordantes. Comme elles ne sont pas concordantes, cela nous indique aussi que la limite normale qui définit la dérivée n’existe pas. Par conséquent, les fonctions ne pourraient pas être dérivées sur 𝑥 zéro.

Pour les deux cas suivants, nous avons un point de rebroussement et une tangente verticale. Nous savons que sur un graphique, les droites verticales ou les droites qui tendent vers la verticale correspondent à des gradients d’infini positif ou négatif. Cela signifie que nos limites gauche et droite lorsque ℎ tend vers zéro prendraient également des valeurs de l’infini positif ou négatif. Dans le cas d’un point de rebroussement, ces limites gauche et droite ne seront pas concordantes, prenant des valeurs d’infini avec des signes opposés, alors que dans le cas d’une tangente verticale, elles seraient concordantes. Nous connaissons déjà l’histoire de la non-concordance sur les limites gauches et droites. Cependant, même si ceux-ci étaient concordantes, par exemple, les deux prennent la valeur de l’infini, et nous devions dire que notre limite normale est aussi égale à l’infini positif. C’est encore une façon particulière d’exprimer que la limite n’existe pas, puisque l’infini n’est pas un nombre mais plutôt un concept.

Enfin, dans le cas du comportement oscillant, nous observons des oscillations de plus en plus fréquentes lorsque notre valeur de 𝑥 tend vers 𝑥 zéro. Il devrait alors être clair que le coefficient directeur de notre graphique représentant la dérivée oscille aussi de plus en plus rapidement lorsque notre valeur de 𝑥 tend vers 𝑥 zéro ou que ℎ tend vers zéro. Cela signifie qu’il n’est pas logique d’attribuer une valeur à notre limite lorsque ℎ tend vers zéro. Et nous disons donc que cette limite n’existe pas. Comme pour tous ces cas, la limite n’existe pas. Par conséquent, la dérivée n’existe pas. Et nous pouvons donc dire que notre fonction n’est pas dérivable sur 𝑥 zéro.

En plus de l’évaluation d’une limite, il existe un certain nombre d’autres outils différents qui peuvent nous aider à dériver une fonction. Un exemple est la règle de la puissance, qui nous dit que si une fonction 𝑓 de 𝑥 prend la forme de 𝑥 à la puissance 𝑛, alors la dérivée de cette fonction serait 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous notons ici que nos étapes sont de multiplier par la puissance pour laquelle 𝑥 a été élevée. Et nous réduisons ensuite cette puissance d’une unité. Prenons un exemple où l’on utilise la règle de la puissance.

Considérons la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale la racine cubique de 𝑥. Partie a) quel est l’ensemble de définition de 𝑓 ?

Pour la partie a), nous pouvons immédiatement rappeler que la racine cubique d’un nombre réel est bien définie sur l’ensemble des nombres réels. Si nous avions plutôt une racine carrée, nous savons que cette affirmation ne serait pas vraie, puisque la racine carrée des nombres négatifs n’est pas définie sur l’ensemble les nombres réels. À ce stade, cependant, nous pouvons répondre à la partie a) d’une manière très simple en disant que l’ensemble de définition de 𝑓 est ℝ, les nombres réels.

Passons à la partie b), déterminez la dérivée de 𝑓. L’un des outils dont nous disposons est la règle de la puissance. Cette règle nous dit que pour une fonctions 𝑓 de 𝑥, qui prend la forme 𝑥 à la puissance 𝑛, la dérivée de notre fonction serait 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Pour appliquer cela à notre question, il est utile d’exprimer la racine cubique de 𝑥 comme 𝑥 à la puissance un sur trois. Nous pouvons alors appliquer la règle de la puissance en multipliant notre 𝑥 par un sur trois, qui est notre puissance, et en soustrayant un de la puissance, ce qui nous donne moins deux sur trois. Une façon équivalente d’exprimer cela serait un sur trois fois la racine cubique de 𝑥 au carré. Nous avons maintenant appliqué avec succès la règle de la puissance. Et nous avons répondu à la partie b) trouver une expression pour la dérivée de notre fonction 𝑓.

Enfin, pour la partie c), déterminer l’ensemble de définition de cette dérivée, nous avons utilisé l’expression que nous venons de déterminer. Pour cette partie de la question, nous devons considérer tous les points en lesquels 𝑓 prime de 𝑥 n’est pas définie. Puisque nous avons 𝑓 prime de 𝑥 sous la forme d’un quotient, nous pouvons dire qu’elle sera indéfinie lorsque le dénominateur de ce quotient sera égal à zéro. Nous devons donc trouver une valeur pour 𝑥, pour laquelle trois fois la racine cubique de 𝑥 au carré est égale à zéro. Et la seule valeur qui satisfait à cette condition est lorsque 𝑥 égale zéro. Maintenant, puisque 𝑥 égale zéro est le seul point en lequel 𝑓 prime de 𝑥 est indéfinie sur l’ensemble des nombres réels, nous pouvons dire ce qui suit. L’ensemble de définition de la dérivée de notre fonction 𝑓 prime est l’ensemble des nombres réels ℝ moins l’ensemble qui comprend zéro.

Nous avons maintenant répondu aux trois parties de notre question.

Et on peut noter le fait que l’ensemble de définition d’une fonction 𝑓 n’est pas nécessairement le même que celui de sa dérivée. Dans l’exemple que nous venons de voir, au lieu d’évaluer une limite pour trouver notre dérivée, nous avons plutôt utilisé la règle de puissance pour accélérer le processus. Il y a cependant des exemples où la règle de puissance pourrait ne pas nous donner une compréhension complète de notre fonction. Prenons un exemple pour illustrer cela.

Soit 𝑓 de 𝑥 égale moins six 𝑥 moins quatre si 𝑥 est inférieure ou égale à moins un, et trois 𝑥 au carré si 𝑥 est strictement supérieure à moins un. Que peut-on dire de la dérivabilité de la fonction en 𝑥 égale moins un ?

Ici, on nous donne une fonction définie par morceaux composée de deux sous-fonctions, un binôme et un monôme. Ces deux sous-fonctions sont définies par elles-mêmes ou ce qui est connu comme lisse, et seront définies sur l’ensemble des nombres réels. En fait, à elles seules, nous pouvons dire que toutes les fonctions polynômes sont lisses, ce qui signifie qu’elles peuvent être dérivées sur l’ensemble des nombres réels. Pour une fonction définie par morceaux, cependant, nous devons vérifier le point auquel sont jointes deux sous-fonctions. C’est-à-dire, dans ce cas, 𝑥 égale moins un. Pour commencer le processus, dérivons nos deux sous-fonctions en utilisant la règle de puissance.

La dérivée de moins six 𝑥 moins quatre est moins six fois 𝑥 à la puissance zéro, qui est bien sûr moins six. La dérivée de trois 𝑥 au carré est de deux fois trois 𝑥, ce qui fait bien sûr six 𝑥. Nous pouvons représenter cela de façon plus succincte en disant que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à moins six si 𝑥 est strictement inférieure à moins un, et à six 𝑥 si 𝑥 est strictement supérieure à moins un. Il est à noter que même si nous voyons ici un symbole d’inégalité inférieur ou égal, nous ne revendiquons pas encore la valeur de notre dérivée lorsque 𝑥 égale moins un, puisque c’est ce que nous essayons de trouver en ce moment.

Considérant la dérivée de part et d’autre du point où nos deux sous-fonctions sont jointes, nous pourrions essayer d’aller de l’avant en substituant avec la valeur de 𝑥 égale moins un aux deux sous-fonctions que nous venons de déterminer pour 𝑓 prime de 𝑥. Ce faisant, nous constaterions que nos deux valeurs sont moins six. On peut donc conclure que, puisque ces deux valeurs sont égales, notre fonction est dérivable au point où 𝑥 égale moins un. Malheureusement, ce n’est pas le cas. Et pour savoir pourquoi. Rappelons la définition de la dérivée comme limite.

Nous avons montré ici la limite qui définit la dérivée. Pour aller de l’avant, nous reconnaissons que puisque notre fonction est définie différemment de part et d’autre du point où 𝑥 est moins un, les limites à gauche et à droite auront donc des expressions différentes. En se rappelant que notre zéro 𝑥 égale moins un, nous pouvons commencer par exprimer la limite à gauche de la manière suivante. Maintenant, il est clair que nous ne pouvons pas simplement substituer par ℎ égale zéro dans cette expression. Sinon, il nous restera la forme indéterminée de zéro sur zéro. Au lieu de cela, nous savons que lorsque 𝑥 est strictement inférieure à moins un, 𝑓 de 𝑥 est égale à moins six 𝑥 moins quatre. Par conséquent, la valeur de 𝑓 de moins un plus ℎ sera deux moins six ℎ.

Par un raisonnement similaire, lorsque 𝑥 égale moins un, 𝑓 de 𝑥 prend la même sous-fonction. Et donc, la valeur de 𝑓 de moins un est deux ; en substituant par ceux-ci dans l’expression, nous trouvons que l’expression pour notre limite à gauche devient deux moins six ℎ moins deux le tout sur ℎ, qui est simplifiée en moins six ℎ sur ℎ. À ce stade, puisque nous savons que ℎ se tend vers zéro et n’égale pas zéro, nous pouvons annuler le diviseur commun à la moitié supérieure et inférieure de notre quotient. Nous nous retrouvons alors avec la limite lorsque ℎ tend vers zéro à gauche de moins six, ce qui, bien sûr, égale moins six.

Maintenant, pour la limite à droite, par un raisonnement similaire à celui utilisé précédemment, nous savons que lorsque 𝑥 est strictement supérieure à moins un, 𝑓 de 𝑥 est définie par la sous-fonction trois 𝑥 au carré. Ainsi, dans ce cas, la valeur de 𝑓 de moins un plus ℎ est trois moins six ℎ plus trois ℎ au carré. Pour 𝑓 de moins un, il faut faire attention à ne pas utiliser le trois 𝑥 au carré à nouveau. Puisque quand 𝑥 égale moins un, 𝑓 est définie par notre autre sous-fonction. Nous avions déjà déterminé la valeur de celle-ci, soit deux. Encore une fois, nous procédons de la même façon de substituer et simplifier l’expression de notre limite. Cette fois, nous arrivons à un résultat différent. En regardant le premier terme de notre limite, nous aurons la limite lorsque ℎ tend vers zéro dans le sens positive de un sur ℎ, qui est égale à l’infini. Par extension, cela signifie que toute notre limite à droite égale aussi l’infini.

Nous savons que c’est une façon particulière d’exprimer que la limite n’existe pas. Si la limite à droite n’existe pas, cela nous indique également que la limite normale n’existe pas. Et donc, la dérivée n’est pas définie. La raison pour laquelle c’est le cas est que la représentation graphique a en fait une discontinuité en 𝑥 égale moins un. Et si on la traçait, on verrait ça. Puisque nous avons conclu que la dérivée n’est pas définie en 𝑥 égale moins un, nous pouvons donc aussi dire que la fonction n’est pas dérivable en 𝑥 égale moins un. Et en fait, c’est la réponse à notre question.

Comme nous l’avons vu dans notre exemple, pour vérifier la dérivabilité d’une fonction en un point, il ne suffit pas nécessairement de vérifier que les limites à gauche et à droite de la dérivée de la fonction concordent en ce point. Au lieu de cela, pour une certaine valeur 𝑥 zéro, nous devons également vérifier que les limites à gauche et à droite de la fonction elle-même lorsque 𝑥 tend vers 𝑥 zéro, toutes les deux existent, concordent, et sont égales à la valeur de la fonction évaluée en 𝑥 zéro. On peut peut-être en obtenir une forme plus familière en rappelant que si ces deux conditions sont remplies, alors la limite normale existe aussi et prend la même valeur. En fait, c’est la condition de la continuité.

Une règle générale importante que nous pouvons utiliser est que si une fonction est dérivable en un point 𝑥 zéro, alors elle est également continue en ce point. Pour cette règle, une affirmation logiquement équivalente serait que si la fonction n’est pas continue en un point 𝑥 zéro, elle ne peut pas non plus être dérivée en 𝑥 zéro. Maintenant, il faut faire un peu attention à ne pas trop étendre cette règle et terminer avec une fausse conclusion que si une fonction est continue en 𝑥 zéro, elle sera également dérivable en 𝑥 zéro. En fait, c’est faux. Et l’illustration suivante peut nous aider à comprendre cela.

Supposez que le cercle orange représente toutes les fonctions qui sont continues. Le cercle rose représente alors toutes les fonctions dérivables. Comme nous pouvons le voir, notre cercle dérivable est contenu dans le cercle de toutes les fonctions qui sont continues. Si nous avions une fonction 𝑓 de 𝑥 qui se trouve à l’intérieur de notre cercle dérivable, nous saurions alors avec certitude qu’elle se trouve aussi à l’intérieur de notre cercle continu. Maintenant, considérez une autre fonction 𝑔 de 𝑥, qui n’est pas dans notre cercle continu. En regardant cela, nous savons avec certitude qu’elle n’est pas non plus à l’intérieur de notre cercle dérivable.

Maintenant, cependant, si nous considérons une troisième fonction ℎ de 𝑥, il est possible qu’elle soit à l’intérieur de notre cercle continu sans nécessairement être à l’intérieur de notre cercle dérivable. Cela signifie que si ℎ de 𝑥 est continu, elle peut ou non être dérivable. Et nous ne pouvons pas tirer de conclusions uniquement sur la base de sa continuité. En fait, il existe de nombreux exemples de fonctions qui sont continues mais non dérivables. Et nous l’avons déjà vu dans le coin que nous avons évalué pour notre première question. Lors de l’évaluation de la dérivabilité d’une fonction sur 𝑥 zéro, nous pouvons donc passer par les étapes suivantes.

Nous vérifions d’abord que notre fonction 𝑓 est continue en 𝑥 zéro. Si ce n’est pas le cas, nous concluons que notre fonction n’est pas dérivable en 𝑥 zéro. Cependant, si c’est le cas, nous vérifions que les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑥 zéro de notre dérivée 𝑓 prime de 𝑥 existent et concordent. Encore une fois, si ce n’est pas le cas, nous concluons que notre fonction n’est pas dérivable en 𝑥 zéro. Toutefois, si tel est le cas. Alors nous concluons que notre fonction 𝑓 est dérivable en 𝑥 zéro. Prenons un dernier exemple pour illustrer ce processus.

Soit 𝑓 de 𝑥 égale moins un plus trois sur 𝑥 si 𝑥 est inférieure ou égale à un et, et égale moins 𝑥 au cube plus trois si 𝑥 est strictement supérieure à un. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 égale un ?

Ici, on nous donne une fonction définie par morceaux et on nous demande de vérifier la dérivabilité. Si nous appelons notre valeur de un 𝑥 zéro, notre processus général pour ce type de question est d’abord de vérifier la continuité en 𝑥 zéro. Et puis si cela est satisfait, nous vérifions que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑥 zéro de notre dérivée existe, ce qui signifie que des limites à gauche et à droite existent et concordent. Nous commençons d’abord par la condition de continuité énoncée ici. Puisqu’il s’agit d’une fonction définie par morceaux, nous devrons vérifier que les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 existent et concordent. Quand 𝑥 est strictement inférieure à un, notre fonction est moins un plus trois sur 𝑥. Par substitution directe, la valeur de notre limite à gauche est alors deux. Lorsque 𝑥 est strictement supérieure à un, notre fonction est moins 𝑥 au cube plus trois. Et par la même approche, la valeur de la limite à droite est également deux.

Puisque ces deux limites existent et concordent, nous pouvons aussi voir que la limite normale existe et égale deux. Allons à 𝑓 de un, la fonction elle-même ici est définie par notre première sous-fonction puisque 𝑥 égale un. Et en fait, nous avons déjà substitué par un dans notre première sous-fonction, ce qui nous a donné comme réponse deux. Cela signifie qu’on peut dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 et 𝑓 de un sont toutes les deux égales à deux. Nous avons donc rempli la condition de continuité et notre fonction est continue lorsque 𝑥 égale un. Passons maintenant à la dérivée de notre fonction.

Puisque notre fonction est définie par morceau, la dérivée de notre fonction sera également définie par morceaux. Et nous devrons dériver nos deux sous-fonctions. Et il est intéressant de noter que nous ne faisons aucune conclusion en tant que dérivée lorsque 𝑥 égale un, puisque c’est en fait ce que nous essayons de déterminer. L’un des outils que nous pouvons utiliser pour nous aider à dériver nos sous-fonctions est la règle de puissance énoncée ici. Pour nous aider à appliquer cette règle plus facilement, nous pouvons réexprimer trois sur 𝑥 comme trois 𝑥 à la puissance moins un. En appliquant la règle, nous trouvons que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à moins trois sur 𝑥 au carré si 𝑥 est strictement inférieure à un, et à moins trois 𝑥 au carré si 𝑥 est strictement supérieure à un.

Il faut maintenant envisager la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 prime de 𝑥. Nous le ferons en considérant les limites à gauche et à droite dans un processus similaire à celui que nous venons de réformer pour la condition de continuité. Par substitution directe par un, nous constatons que ces deux limites égalent moins trois. Et puisqu’elles existent et concordent, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 est aussi égale à moins trois. Puisque cette limite existe, nous savons que notre dérivée existe aussi en 𝑥 égale un. Nous avons maintenant terminé toutes les étapes de notre processus. Et ainsi, nous pouvons conclure que la fonction 𝑓 est dérivable au point où 𝑥 égale un.

Dans cet exemple, nous avons illustré le processus permettant de déterminer si une fonction est dérivable en un point donné. Nous l’avons fait en utilisant la relation entre la dérivabilité et la continuité ainsi que des outils de dérivabilité, tels que la règle de puissance. Pour résumer, passons en revue quelques points clés. La dérivée peut être représentée en utilisant soit la notation de Leibniz, soit la notation de Lagrange. Et nous avons deux définitions alternatives, mais équivalentes, qui utilisent toutes deux des limites. Lorsque la limite n’existe pas, la fonction elle-même n’est pas dérivable en ce point. Et cela peut se produire de différentes façons. Enfin, nous pouvons tirer des conclusions sur notre fonction en se basant sur la relation entre la dérivabilité et la continuité.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.