Transcription de la vidéo
Dérivabilité d’une fonction
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer si une fonction est dérivable. Et nous identifierons la relation entre la dérivabilité d’une fonction et sa continuité. Le processus de recherche d’une dérivée s’appelle la dérivation. Puisque les dérivées sont l’un des éléments fondamentaux de l’analyse, la dérivation est donc un outil très important. Il s’ensuit donc qu’être capable de dire si une fonction est dérivable ou non peut nous être très utile. Nous rappelons que la dérivée mesure le taux de variation de l’image d’une fonction 𝑓 par rapport à une variation de sa variable 𝑥.
De façon plus formelle, la dérivée peut être définie à l’aide de limites. La dérivée d’une fonction 𝑓 en 𝑥 égale 𝑥 zéro est définie comme la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 zéro, le tout divisé par ℎ. Alors il peut être utile de considérer le dénominateur de ce quotient comme 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑥 zéro, ce qui est bien sûr juste ℎ. Ainsi, nous voyons que notre formule ressemble beaucoup à la variation de l’image divisé par la variation de 𝑥 car nos variations deviennent infiniment petites. Une définition équivalente pour la dérivée est alors la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑥 zéro de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑓 de 𝑥 zéro, le tout divisé par 𝑥 moins 𝑥 zéro. Ces deux définitions sont couramment utilisées, mais dans le cadre de cette vidéo, nous utiliserons principalement la première.
Un point clé sur lequel nous reviendrons tout au long de cette vidéo est que la dérivée n’existe que si la limite qui la définit existe. Si la limite et donc la dérivée existent en un point, nous disons qu’en ce point notre fonction est dérivable. Avant de continuer, nous devons savoir qu’il existe deux formes de notation différentes pour nos dérivées. Si nous disons que 𝑦 est égal à notre image 𝑓 de 𝑥, alors la dérivée peut être écrite comme suit. La première forme est d𝑦 sur d𝑥, qui est appelée notation de Leibniz. Cette notation utilise les variations infinitésimales que nous voyons ici : d𝑦 et d𝑥.
La deuxième forme est 𝑓 prime de 𝑥. Cela est ce qu’on appelle la notation de Lagrange. Ces deux notations sont très couramment utilisées. Et nous les verrons dans cette vidéo. Pour en revenir à notre définition, si nous représentons 𝑓 de 𝑥 par une courbe, la dérivée de 𝑓 de 𝑥 est alors représentée par la tangente à cette courbe. Il est donc logique que si nous ne pouvons pas définir la tangente de notre courbe, alors la dérivée n’existe pas. L’observation de la courbe d’une fonction peut souvent nous donner une notion visuelle des points auxquels la fonction est ou n’est pas dérivable, comme nous le verrons dans l’exemple suivant.
La figure montre la courbe de 𝑓. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 égale moins quatre ?
On nous a donné une courbe définie sur l’intervalle de moins sept à moins un. À travers cet intervalle, nous voyons que notre courbe est lisse en tout point, à l’exception du point où 𝑥 est égal à moins quatre. En ce point de coordonnées moins quatre, cinq, nous avons un point anguleux. Cela signifie que la pente de la tangente, juste à gauche de 𝑥 égale moins quatre, est différente de la pente de la tangente juste à droite de 𝑥 égale moins quatre. Ici, nous pouvons même dire que l’une de nos pentes est positive et l’autre est négative. Étant donné que nous avons deux tangentes différentes de chaque côté, il s’ensuit qu’il n’est pas possible de définir une tangente en 𝑥 égale moins quatre. Et par conséquent, il n’est pas non plus possible de définir la dérivée.
Si nous devions représenter le graphique de 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥 notre dérivée première, nous verrions un saut brusque dans la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à moins quatre. De nos observations, nous concluons que la fonction n’est pas dérivable en 𝑥 égale moins quatre parce que le taux de variation de la fonction est différent de part et d’autre de ce point. Et avec cela, nous avons répondu à notre question.
Maintenant, il convient de noter que nous aurions pu faire un raisonnement plus rigoureux basé sur les limites qui définissent une dérivée. Cependant, cet exemple montre qu’il est parfois possible d’évaluer rapidement la dérivabilité d’une fonction à partir de sa courbe.
À part le point anguleux que nous avons vu dans l’exemple précédent, il existe de nombreuses raisons différentes pour lesquelles une fonction 𝑓 peut ne pas être dérivable en un point où 𝑥 est égal à 𝑥 zéro. Tous ces cas peuvent être compris en rappelant notre définition de la dérivée et en considérant les points où l’on peut dire que cette limite existe ou non. Nous avons ici représenté un certain nombre de courbes, voyons donc leurs significations à tour de rôle. Dans les deux premiers cas, nous avons une discontinuité et un point anguleux. Dans ces cas, les limites à gauche et à droite lorsque ℎ tend vers zéro sont différentes. Comme elles sont différentes, cela nous indique également que la limite qui définit la dérivée n’existe pas. Et par conséquent, les fonctions ne sont pas dérivables en 𝑥 zéro.
Pour les deux cas suivants, nous avons un point de rebroussement et une tangente verticale. Nous savons que sur un graphique, les droites verticales ou les courbent qui tendent vers la verticale correspondent à des pentes de plus ou moins l’infini. Cela signifie que nos limites à gauche et à droite lorsque ℎ tend vers zéro valent également plus ou moins l’infini. Dans le cas du point de rebroussement, ces limites à gauche et à droite sont différentes, prenant des valeurs de l’infini avec des signes opposés, alors que dans le cas d’une tangente verticale, elles sont de même signe. Nous savons déjà ce que signifie des limites à gauche et à droite de signes différents. Cependant, supposons que celles-ci soient de même signe, par exemple, valant toutes deux plus l’infini, et que notre limite soit aussi égale à plus l’infini. Eh bien cela est encore une façon particulière d’exprimer que la limite n’existe pas, puisque l’infini n’est pas un nombre mais plutôt un concept.
Enfin, dans le cas du comportement oscillant, nous observons des oscillations de plus en plus fréquentes lorsque notre valeur de 𝑥 tend vers 𝑥 zéro. Il est également clair que la pente de notre courbe représentant la dérivée oscille également de plus en plus rapidement lorsque notre valeur de 𝑥 tend vers 𝑥 zéro ou lorsque ℎ tend vers zéro. Cela signifie que nous ne pouvons pas donner une valeur à notre limite lorsque ℎ tend vers zéro. Et nous disons donc que cette limite n’existe pas. Comme pour tous ces cas, la limite n’existe pas. Et par conséquent, la dérivée n’existe pas. Et nous pouvons donc dire que notre fonction n’est pas dérivable en 𝑥 zéro.
Bien, en plus de l’évaluation d’une limite, il existe un certain nombre d’outils qui peuvent nous aider à dériver une fonction. Un exemple est la formule de la dérivée d’une puissance, qui nous dit que pour une fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance 𝑛, alors la dérivée de cette fonction est 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous notons ici que nos étapes ont été de multiplier par la puissance de 𝑥. Puis de soustraire un de cette puissance. Voyons un exemple utilisant la formule de la dérivée d’une puissance.
Soit la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale racine cubique de 𝑥. Partie a), quel est l’ensemble de définition de 𝑓 ?
Pour la partie a), on peut rappeler immédiatement que la racine cubique de tout nombre réel est définie sur l’ensemble des nombres réels. Si à la place nous avions une racine carrée, cette affirmation ne serait pas vraie, puisque la racine carrée des nombres réels négatifs n’est pas définie. Sous la forme donnée, cependant, nous pouvons répondre à la partie a) de manière très simple en disant que l’ensemble de définition de 𝑓 est ℝ, l’ensemble des nombres réels.
Passons à la partie b), déterminez la dérivée de 𝑓. L’un des outils dont nous disposons est la formule de la dérivée d’une puissance. Cette formule nous dit que pour une fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance 𝑛, la dérivée de notre fonction est 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Pour appliquer cela à notre question, il est utile d’exprimer la racine cubique de 𝑥 comme 𝑥 à la puissance un sur trois. Nous pouvons alors appliquer la formule de la dérivée d’une puissance, en multipliant notre 𝑥 par un sur trois, notre puissance et en soustrayant un de la puissance, ce qui nous donne moins deux sur trois. Une façon équivalente d’exprimer cela est un sur trois fois la racine cubique de 𝑥 au carré. Nous avons maintenant appliqué avec succès la règle de puissance. Et nous avons résolu la partie b), qui était de déterminer la dérivée de 𝑓.
Enfin, pour la partie c), trouvez l’ensemble de définition de cette dérivée, nous utilisons l’expression que nous venons de déterminer. Pour cette partie de la question, nous devons considérer tous les points pour lesquels 𝑓 prime de 𝑥 est indéfini. Puisque nous avons 𝑓 prime de 𝑥 sous la forme d’un quotient, nous pouvons dire que cela est indéfini lorsque le dénominateur de ce quotient est égal à zéro. Nous devons donc trouver une valeur de 𝑥, pour laquelle trois fois la racine cubique de 𝑥 au carré est égal à zéro. Et la seule valeur qui satisfait cela est 𝑥 égale zéro. Puisque 𝑥 égale zéro est le seul nombre réel pour lequel 𝑓 prime de 𝑥 est indéfini, nous pouvons dire ce qui suit. L’ensemble de définition de la dérivée de notre fonction 𝑓 prime est l’ensemble des nombres réels ℝ moins l’ensemble qui contient zéro.
Nous avons maintenant résolu les trois parties de notre question.
Et nous notons que l’ensemble de définition d’une fonction 𝑓 n’est pas nécessairement le même que celui de sa dérivée. Dans l’exemple que nous venons de voir, au lieu d’évaluer une limite pour trouver notre dérivée, nous avons plutôt utilisé la formule de la dérivée d’une puissance pour accélérer le processus. Il y a cependant quelques exemples où la formule de la dérivée d’une puissance peut ne pas nous donner une compréhension complète de notre fonction. Prenons un exemple pour illustrer cela.
Supposons que 𝑓 de 𝑥 égale moins six 𝑥 moins quatre, si 𝑥 est inférieur ou égal à moins un, et trois 𝑥 au carré si 𝑥 est supérieur à moins un. Que peut-on dire de la dérivabilité de la fonction en 𝑥 égale moins un ?
Ici, on nous a donné une fonction définie par morceaux composée de deux sous-fonctions, un binôme et un monôme. Ces deux sous-fonctions elles-mêmes sont régulières et définies sur l’ensemble des nombres réels. En fait, individuellement, nous pouvons dire que tous les polynômes sont réguliers, ce qui signifie qu’ils sont dérivables sur les nombres réels. Pour une fonction définie par morceaux, cependant, nous devons vérifier le point auquel se rejoignent nos deux sous-fonctions. Autrement dit, dans ce cas, 𝑥 égale moins un. Pour commencer le processus, dérivons nos deux sous-fonctions en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance.
La dérivée de moins six 𝑥 moins quatre est moins six fois 𝑥 à la puissance zéro, ce qui est bien sûr moins six. La dérivée de trois 𝑥 au carré est deux fois trois 𝑥, ce qui est bien sûr six 𝑥. Nous pouvons représenter cela de manière plus concise en disant que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à moins six, si 𝑥 est inférieur à moins un, et six 𝑥 si 𝑥 est supérieur à moins un. Il convient de noter que même si nous voyons ici un symbole d’inégalité inférieur ou égal, nous ne connaissons pas encore la valeur de notre dérivée lorsque 𝑥 est égal à moins un, puisque c’est ce que nous essayons de déterminer.
En considérant la dérivée de part et d’autre du point où nos deux sous-fonctions se rejoignent, nous pourrions essayer d’avancer en substituant la valeur de 𝑥 égale moins un dans les deux sous-fonctions que nous venons de trouver pour 𝑓 prime de 𝑥. Ce faisant, nous constaterions que nos deux valeurs sont moins six. Nous pourrions alors conclure que puisque ces deux valeurs sont égales, notre fonction est dérivable en 𝑥 égale moins un. Malheureusement, ce n’est pas le cas. Voyons donc pourquoi. Rappelons la définition de la dérivée comme limite.
Ici, nous avons montré la limite qui définit la dérivée. Puis, nous reconnaissons que comme notre fonction est définie différemment de part et d’autre du point où 𝑥 égale moins un, les limites à gauche et à droite ont donc des expressions différentes. En nous rappelant que notre 𝑥 zéro est égal à moins un, nous pouvons commencer par exprimer la limite à gauche comme suit. Alors nous ne pouvons pas simplement substituer ℎ égale zéro dans cette expression. Nous nous retrouverions avec la forme indéterminée zéro sur zéro. Au lieu de cela, nous savons que lorsque 𝑥 est inférieur à moins un, 𝑓 de 𝑥 est égal à moins six 𝑥 moins quatre. Par conséquent, 𝑓 de moins un plus ℎ vaudra deux moins six ℎ.
Par un raisonnement similaire, lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑓 de 𝑥 suit la même sous-fonction. Et donc 𝑓 de moins un vaut deux ; en substituant ces valeurs, nous constatons que l’expression de notre limite à gauche devient deux moins six ℎ moins deux, le tout sur ℎ, ce qui se simplifie en moins six ℎ sur ℎ. À ce stade, puisque nous savons que ℎ tend vers zéro sans être égal à zéro, nous pouvons le simplifier au numérateur et au dénominateur de notre fraction. Il nous reste alors la limite lorsque ℎ tend vers zéro par la gauche de moins six, ce qui, bien sûr, est égal à moins six.
Maintenant, pour la limite à droite, par un raisonnement similaire au précédent, nous savons que lorsque 𝑥 est supérieur à moins un, 𝑓 de 𝑥 est défini par la sous-fonction trois 𝑥 au carré. Par conséquent, dans ce cas, 𝑓 de moins un plus ℎ vaut trois moins six ℎ plus trois ℎ au carré. Pour 𝑓 de moins un, nous devons faire attention à ne pas utiliser à nouveau notre trois 𝑥 au carré. Car lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑓 est défini par l’autre sous-fonction. Nous avons déjà calculé cette valeur égale à deux. Encore une fois, par le même processus nous substituons ces valeurs et simplifions l’expression de notre limite. Cette fois, nous arrivons à un résultat différent. En regardant le premier terme de notre limite, nous avons la limite lorsque ℎ tend vers zéro par la droite de un sur ℎ, ce qui est égal à l’infini. Par extension, cela signifie que notre limite à droite totale est égale à l’infini.
Nous savons que cela est une façon particulière d’exprimer que la limite n’existe pas. Si la limite à droite n’existe pas, cela nous indique également que la limite de la fonction n’existe pas. Et par conséquent, la dérivée n’est pas définie. La raison pour laquelle c’est le cas est que notre courbe a en fait une discontinuité en 𝑥 égale moins un. Et nous pouvons voir cela en la dessinant. Puisque nous avons conclu que la dérivée n’est pas définie en 𝑥 égale moins un, nous sommes également en mesure de dire que la fonction n’est pas dérivable en 𝑥 égale moins un. Et cela est la réponse à notre question.
Comme nous l’avons vu dans notre exemple, pour vérifier la dérivabilité d’une fonction en un point, il n’est pas forcément suffisant de vérifier que les limites à gauche et à droite de la dérivée de la fonction sont égales en ce point. Au lieu de cela, pour une valeur 𝑥 zéro, nous devons également vérifier que les limites à gauche et à droite de la fonction elle-même lorsque 𝑥 tend vers 𝑥 zéro existent et sont toutes deux égales à la valeur de la fonction évaluée en 𝑥 zéro. On peut obtenir une forme plus familière de cela en rappelant que si ces deux conditions sont remplies, alors la limite existe également et a la même valeur. En fait, c’est la condition de la continuité.
Une règle générale importante que nous pouvons utiliser est que si une fonction est dérivable en un point 𝑥 zéro, alors elle est également continue en ce point. Pour cette règle, une affirmation logiquement équivalente est que si la fonction n’est pas continue en un point 𝑥 zéro, elle n’est pas non plus dérivable en 𝑥 zéro. Nous devons cependant faire attention à ne pas étendre cette règle et nous retrouver avec une fausse conclusion que si une fonction est continue en 𝑥 zéro, elle est également dérivable en 𝑥 zéro. Cela est faux. Et l’illustration suivante peut nous aider à comprendre cela.
Supposons que notre cercle orange représente toutes les fonctions continues. Notre cercle rose représente toutes les fonctions dérivables. Comme nous pouvons le voir, notre cercle dérivable est contenu dans le cercle de toutes les fonctions continues. Si nous avons une fonction d’image 𝑓 de 𝑥 à l’intérieur de notre cercle dérivable, alors nous savons qu’elle est également à l’intérieur de notre cercle continu. Considérons maintenant une autre fonction d’image 𝑔 de 𝑥, qui n’est pas dans notre cercle continu. En voyant cela, nous savons qu’elle ce n’est pas non plus dans notre cercle dérivable.
Maintenant, cependant, si nous considérons une troisième fonction d’image ℎ de 𝑥, il est possible qu’elle soit à l’intérieur de notre cercle continu sans nécessairement être à l’intérieur de notre cercle dérivable. Cela signifie que si ℎ de 𝑥 est continue, elle peut ou non être dérivable. Et nous ne pouvons pas tirer de conclusions simplement en fonction de sa continuité. En fait, il existe de nombreux exemples de fonctions continues mais non dérivables. Et nous avons déjà vu cela au point anguleux que nous avons évalué pour notre première question. Lorsque nous évaluons si une fonction est dérivable en 𝑥 zéro, nous pouvons donc suivre les étapes suivantes.
Nous vérifions d’abord que notre fonction 𝑓 est continue en 𝑥 zéro. Si ce n’est pas le cas, nous concluons que notre fonction n’est pas dérivable en 𝑥 zéro. Cependant, si c’est le cas, nous vérifions alors que les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑥 zéro de notre dérivée 𝑓 prime de 𝑥 existent et sont égales. Encore une fois, si ce n’est pas le cas, nous concluons que notre fonction n’est pas dérivable en 𝑥 zéro. Cependant, si tel est le cas. Alors nous concluons que notre fonction 𝑓 est dérivable en 𝑥 zéro. Voyons un dernier exemple pour illustrer ce processus.
Supposons que 𝑓 de 𝑥 est égal à moins un plus trois sur 𝑥 si 𝑥 est inférieur ou égal à un et moins 𝑥 au cube plus trois si 𝑥 est supérieur à un. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 égale un ?
Ici, on nous a donné une fonction définie par morceaux et on nous a demandé de vérifier sa dérivabilité. Si nous appelons 𝑥 zéro notre valeur de un, notre processus général pour ce type de question est d’abord de vérifier la continuité en 𝑥 zéro. Et puis si cela est satisfait, nous vérifions que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑥 zéro de notre dérivée existe, ce qui signifie vérifier que les limites à gauche et à droite existent et sont égales. Nous commençons par la condition de continuité énoncée ici. Puisqu’il s’agit d’une fonction définie par morceaux, nous devrons vérifier que les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 existent et sont égales. Lorsque 𝑥 est inférieur à un, notre fonction est moins un plus trois sur 𝑥. Par substitution directe, notre limite à gauche est alors égale à deux. Lorsque 𝑥 est supérieur à un, notre fonction est moins 𝑥 au cube plus trois. Et par la même approche, la limite à droite vaut également deux.
Puisque ces deux limites existent et sont égales, nous pouvons également dire que la limite de la fonction existe et est égale à deux. En passant à 𝑓 de un, la fonction elle-même est définie ici par notre première sous-fonction puisque 𝑥 égale un. Et en fait, nous avons déjà substitué un dans notre première sous-fonction, ce qui nous a donné une réponse de deux. Cela signifie que nous pouvons dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 et 𝑓 de un est égale à deux. Nous avons donc rempli la condition de continuité et notre fonction est continue lorsque 𝑥 égale un. Passons maintenant à la dérivée de notre fonction.
Puisque notre fonction est définie par morceaux, la dérivée de notre fonction sera également définie par morceaux. Et nous devons dériver nos deux sous-fonctions. Et ici, il convient de noter que nous ne connaissons pas encore la valeur de la dérivée lorsque 𝑥 est égal à un, puisque c’est en fait ce que nous recherchons. L’un des outils que nous pouvons utiliser pour nous aider à dériver nos sous-fonctions est la formule de la dérivée d’une puissance énoncée ici. Pour nous aider à appliquer cette formule, nous pouvons exprimer trois sur 𝑥 comme trois 𝑥 à la puissance moins un. En appliquant la formule, nous constatons que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à moins trois sur 𝑥 au carré si 𝑥 est inférieur à un et moins trois 𝑥 au carré si 𝑥 est supérieur à un.
Nous devons maintenant considérer la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 prime de 𝑥. Nous le faisons en considérant les limites à gauche et à droite dans un processus similaire à celui que nous venons de suivre pour la condition de continuité. Par substitution directe de un, nous constatons que ces deux limites sont égales à moins trois. Et comme elles existent et sont égales, la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 prime de 𝑥 vaut également moins trois. Puisque cette limite existe, nous savons que notre dérivée existe aussi en 𝑥 égale un. Nous avons maintenant terminé toutes les étapes de notre processus. Et de cela, nous pouvons conclure que la fonction 𝑓 est dérivable en 𝑥 égale un.
Dans cet exemple, nous avons illustré le processus permettant d’évaluer si une fonction est dérivable en un point donné. Nous avons fait cela en utilisant la relation entre la dérivabilité et la continuité avec des outils de dérivation, tels que la formule de la dérivée d’une puissance. Pour résumer, passons en revue quelques points clés. La dérivée peut être représentée en utilisant la notation de Leibniz ou la notation de Lagrange. Et nous avons deux définitions alternatives et équivalentes, qui utilisent toutes deux des limites. Lorsque la limite n’existe pas, la fonction elle-même n’est pas dérivable en ce point. Et cela peut se produire de différentes façons. Et enfin, nous pouvons tirer des conclusions sur notre fonction en fonction de la relation entre la dérivabilité et la continuité.
