Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer si une fonction est dérivable et à identifier la relation entre la dérivabilité d’une fonction et sa continuité.
La dérivation est un concept très important en mathématiques, et être capable de déterminer si une fonction est dérivable est une compétence très utile. La dérivée d’une fonction mesure le taux de variation de la valeur de la fonction par rapport à sa variable.
Lorsque l’on commence à étudier les dérivées, on commence par deux définitions importantes ; tout d’abord, la dérivée est la pente de la tangente à la courbe représentative en un point ; ensuite, la dérivée est définie par une limite et n’existe donc que si cette limite existe. En utilisant ces deux notions importantes sur les dérivées, on peut déterminer si des dérivées existent. Commençons par rappeler la définition de la dérivée comme une limite.
Définition : Dérivée d’une fonction
La dérivée d’une fonction en un point est définie par
Une autre définition équivalente de la dérivée est
On dit qu’une fonction est dérivable en si ces limites existent. Si seule la limite à gauche ou à droite existe, alors on dit que la fonction est dérivable en à gauche ou à droite respectivement.
Notez que la dérivée d’une fonction peut également être notée qui se lit comme « la dérivée de par rapport à » ou « sur ».
Une fonction dérivable est une fonction dont la dérivée existe en chaque point de son ensemble de définition. En d’autres termes, si appartient à l’ensemble de définition de la fonction, alors est dérivable en si et seulement si sa dérivée existe et si la tangente à la courbe représentative de au point n’est pas verticale.
On peut également étudier la dérivabilité d’une fonction lorsqu’elle est définie sur un intervalle. Si une fonction est dérivable sur un ensemble ouvert , cela signifie que la fonction est dérivable pour tout . Pour un intervalle fermé , la fonction ne peut pas être dérivable en car la limite existerait uniquement d’un côté de ; on dit toutefois qu’une fonction est dérivable sur quand elle est dérivable sur et dérivable à droite en et à gauche en .
Dans la définition ci-dessus, la dérivée est définie comme une limite, si elle existe ; cela indique qu’il est possible que la limite n’existe pas. Dans de tels cas, on dit que la fonction n’est pas dérivable en ce point. Dans cette fiche explicative, nous allons explorer la relation entre la continuité d’une fonction et sa dérivabilité, et examiner différentes raisons pour lesquelles une fonction peut ne pas être dérivable.
Comme la dérivée en un point représente la pente de la tangente à la courbe représentative en ce point, on en déduit que si on ne peut pas définir de tangente à la courbe représentative, la dérivée n’existe pas. Le premier cas que nous allons étudier est le cas où la fonction n’est pas continue. Si la fonction a un saut de discontinuité, il n’est pas possible de définir de tangente à sa courbe représentative en ce point. On s’attend donc à ce que la dérivée ne soit pas définie en un tel point.
Dans le premier exemple, nous allons étudier la dérivabilité d’une fonction définie par morceaux avec un saut de discontinuité.
Exemple 1: Dérivabilité d’une fonction avec un saut de discontinuité
On suppose que
Que peut-on dire de la dérivabilité de en ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons étudier la dérivabilité d’une fonction définie par morceaux en un point.
Cette fonction est constituée de deux fonctions régulières, donc dérivables. Pour des fonctions comme celle-ci, la dérivée de la fonction est généralement constituée des dérivées des fonctions définies sur chaque morceau. Nous devons cependant également déterminer si les sous-fonctions sont égales aux bornes des intervalles. Si on applique cette approche, on peut dériver chaque sous-fonction en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance :
On peut alors étudier les points où ces deux fonctions se rejoignent et on constate que la dérivée de chaque côté de est égale à . À ce stade, on pourrait naïvement conclure que la fonction est dérivable. Ce n’est cependant pas la bonne réponse. Pour le voir, nous allons utiliser la définition de la dérivée, et montrer que cette limite n’existe pas en . Comme la fonction est définie différemment de chaque côté du point , on calcule les limites à gauche et à droite. En commençant par la limite à gauche, on a
En utilisant la définition de la fonction , on a et on peut réécrire la limite comme
Comme , on peut annuler ce facteur commun du numérateur et du dénominateur pour obtenir
On peut maintenant calculer la limite à droite,
En utilisant la définition de la fonction, on a
On peut séparer cette fraction et la réécrire comme
Dans ce cas, puisque , la limite est divergente. La limite dans la définition de la dérivée n’existe pas parce que la fonction n’est en réalité pas continue en ce point, comme on peut le voir sur sa courbe représentative.
Comme la limite n’existe pas, la dérivée n’est pas définie. On peut donc dire que la fonction n’est pas dérivable en .
Cet exemple a montré que la fonction n’était pas dérivable au point de discontinuité. Il s’agit en fait d’une propriété générale : une fonction n’est pas dérivable aux points où elle n’est pas continue. Pour cet exemple, la solution la plus efficace aurait ainsi été de montrer d’abord que la fonction n’était pas continue et donc pas dérivable.
Nous allons maintenant étudier la dérivabilité d’une fonction dont la courbe représentative présente un point anguleux.
Exemple 2: Analyser la dérivabilité d’une fonction à partir de sa courbe représentative
La courbe représentative ci-dessous est celle de . Que peut-on dire de la dérivabilité de en ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons évaluer la dérivabilité d’une fonction en un point à partir de sa courbe représentative.
La courbe représentative de la fonction a un point anguleux en . Cela signifie que la pente de la tangente à gauche de n’est pas égale à la pente de la tangente à droite de . Par conséquent, la dérivée a un saut de discontinuité et n’est pas définie en ce point car ses limites à droite et à gauche ne sont pas égales. La fonction n’est donc pas dérivable en parce que le taux de variation de la fonction est différent de chaque côté de ce point.
Il existe de nombreux exemples de fonctions dont les courbes représentatives présentent des points anguleux ou des points de rebroussement. Deux types communs de ces fonctions sont les fonctions définies par morceaux ou les fonctions définies en fonction de la valeur absolue. Dans l’exemple suivant, nous allons étudier un autre cas où la dérivée n’est pas définie.
Exemple 3: Existence d’une dérivée en un point de rebroussement
La courbe représentative ci-dessous correspond à . En quels points la dérivée de la fonction n’est-elle pas définie ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer si la dérivée d’une fonction qui présente des points de rebroussement existe.
La courbe représentative présente deux points de rebroussement en et en . À ces points de rebroussement, la tangente à la courbe représentative est verticale. Lorsque la tangente est verticale, sa pente est infinie, ce qui implique que la limite est divergente. Par conséquent, la dérivée de cette fonction n’est pas définie aux points et .
Cet exemple a permis de montrer que la dérivée d’une fonction à valeurs réelles n’est pas définie en un point de rebroussement. Plus généralement, si la tangente à une courbe représentative est verticale, la dérivée n’est pas définie. L’exemple suivant met en évidence une telle fonction.
Exemple 4: Ensemble de définition de la dérivée
On considère la fonction .
- Quel est l’ensemble de définition de ?
- Déterminez l’expression de la dérivée de .
- Quel est l’ensemble de définition de la dérivée ?
Réponse
Dans cet exemple, nous allons étudier l’ensemble de définition de la dérivée d’une fonction racine cubique, c’est-à-dire l’ensemble des points où elle est définie.
Partie 1
La racine cubique réelle de tout nombre réel est définie. Par conséquent, l’ensemble de définition de est l’ensemble des nombres réels, .
Partie 2
On peut trouver une expression de la dérivée de en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance qui stipule que
Par conséquent,
Partie 3
Pour trouver l’ensemble de définition de la dérivée, nous devons considérer les points auxquels n’est pas définie. Le seul point où elle n’est pas définie est lorsque le dénominateur est égal à zéro. Cela se produit lorsque . Par conséquent, l’ensemble de définition de est représenté par tous les réels que l’on peut noter .
L’exemple précédent montre que la dérivée d’une fonction continue peut ne pas exister en certains points de l’ensemble de définition. En particulier, si la tangente à la courbe représentative d’une fonction est verticale, la dérivée n’existe pas en ce point.
Étudions maintenant un exemple où une fonction n’est pas dérivable en un point car elle présente des oscillations infinitésimales.
Exemple 5: Fonction à oscillations et dérivée
La fonction est-elle dérivable en ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons analyser la dérivabilité en un point d’une fonction à oscillations définie par morceaux.
Pour l’analyser en , nous allons étudier l’existence de la limite :
En utilisant la définition de la fonction , on a
Comme , on peut l’annuler au numérateur et au dénominateur pour obtenir
Il s’agit donc d’un exemple de limite non définie dû aux oscillations de la fonction. Par conséquent, la limite n’existe pas. On conclut donc que n’est pas dérivable en . La courbe représentative de montre que la fonction a de nombreuses oscillations autour de l’origine, ce qui est la raison pour laquelle la dérivée n’existe pas.
Nous avons à présent étudié plusieurs exemples illustrant dans quels cas des fonctions peuvent ne pas être dérivables. Dans de nombreux cas, il s’agissait de fonctions continues. Nous avons donc vu que des fonctions continues peuvent ne pas être dérivables. Il existe en réalité des fonctions continues partout mais dérivables nulle part. Le premier exemple connu d’une telle fonction est la fonction de Weierstrass. Bien que des fonctions telles que la fonction de Weierstrass semblent inhabituelles, il peut être démontré mathématiquement que la grande majorité des fonctions continues ont des points où elles ne sont pas dérivables ! Par exemple, une fonction avec un point anguleux, un point de rebroussement ou une tangente verticale peut être continue mais non dérivable au point de l’anomalie.
Bien qu’il soit possible et assez fréquent d’avoir des fonctions continues non dérivables, la réciproque n’est pas vraie : toutes les fonctions dérivables sont continues, comme nous allons le montrer ci-dessous.
Soit une fonction dérivable en un point . Alors, par définition,
Nous allons montrer que est continue en montrant que
On commence par considérer la limite
En multipliant et en divisant par , on a
En utilisant les propriétés des limites finies, on peut le réécrire comme
En utilisant la définition de la dérivée ci-dessus, on a
Et on sait que . Par conséquent,
Une fois encore, on peut utiliser les propriétés des limites finies pour obtenir
Par conséquent,
Comme est indépendant de , la limite à droite est et on a
Nous avons ainsi montré qu’une fonction est continue en tout point où elle est dérivable : la dérivabilité implique la continuité.
Bien que nous ayons vu que la réciproque n’est pas vraie (c’est-à-dire qu’une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable), on peut tout de même utiliser cette propriété pour en déduire que si une fonction n’est pas continue en un point, alors elle n’est pas dérivable en ce point.
Dans les derniers exemples, nous allons appliquer ce que nous avons appris sur l’existence de dérivées et sur le lien entre dérivabilité et continuité.
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la dérivabilité pour calculer une limite.
Exemple 6: Fonctions et dérivées
Soit une fonction telle que et . Calculez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer la limite d’une fonction en utilisant le lien entre dérivabilité et continuité ; de plus, on a
L’énoncé indique que donc est dérivable en . Puisque la dérivabilité implique la continuité, nous savons que
Par conséquent, .
Dans les deux derniers exemples, nous allons étudier des fonctions définies par morceaux. Pour de telles fonctions, il est important de vérifier d’abord leur continuité avant de dériver chaque sous-fonction séparément et d’étudier les bornes des intervalles.
Dans le prochain exemple, nous allons évaluer la dérivabilité en un point d’une fonction définie par morceaux.
Exemple 7: Évaluer la dérivabilité d’une fonction
On suppose que
Que peut-on dire de la dérivabilité de en ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons évaluer la dérivabilité en un point de cette fonction définie par morceaux.
On commence par vérifier que la fonction est continue en . D’après la définition, on peut voir que ; de plus, on a
Par conséquent, la fonction est continue en . On peut maintenant appliquer la formule de la dérivée d’une puissance pour dériver chaque sous-fonction :
On calcule à présent les limites à gauche et à droite pour vérifier si elles sont égales. D’après la définition de , on a
On peut donc conclure que la limite existe et que . Par conséquent, la fonction est dérivable en .
Dans le dernier exemple, nous devons déterminer les valeurs de paramètres inconnus d’une fonction définie par morceaux continue et évaluer sa dérivabilité en un point.
Exemple 8: Évaluer la dérivabilité d’une fonction
Déterminez les valeurs de et et étudiez la dérivabilité de la fonction en sachant que est continue et que
Réponse
Dans cet exemple, nous devons évaluer la dérivabilité de la fonction ci-dessus définie par morceaux en un point.
Comme est continue, elle est continue en et
Donc,
Par conséquent, . De plus,
Donc, . Et
On peut maintenant calculer la dérivée de chaque côté de en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance :
On calcule à présent les limites à gauche et à droite en . D’après la définition de , on a
Par conséquent, les limites à gauche et à droite ne sont pas égales et la fonction n’est pas dérivable en .
Nous allons terminer cette fiche explicative en récapitulant certains des concepts importants.
Points clés
- La dérivée d’une fonction en est définie par Une autre définition équivalente de la dérivée est
- Une fonction n’est pas dérivable lorsque cette limite n’existe pas. Cela peut se produire dans différents cas, dont les suivants :
- Si une fonction est dérivable, alors elle est continue. La contraposée de cette affirmation (qui est logiquement équivalente et par conséquent également vraie) est qu’une fonction n’est pas dérivable aux points où elle n’est pas continue.
- Il existe de nombreuses fonctions continues qui ne sont pas dérivables.
