Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble des valeurs vérifiant racine de trois fois cosécante de 𝜃 moins deux égale zéro, sachant que 𝜃 est supérieur ou égal à zéro degré et strictement inférieur à 360 degrés.
Pour résoudre l’équation trigonométrique donnée dans cette question, on commence par ajouter deux des deux côtés. Cela nous donne que la racine de trois fois la cosécante de 𝜃 égale deux. On divise ensuite par la racine de trois et on obtient que la cosécante de 𝜃 est égale à deux sur la racine de trois. On rappelle que la fonction cosécante est l’inverse de la fonction sinus, donc la cosécante de 𝜃 est égale à un sur le sinus de 𝜃. On en déduit que un sur le sinus de 𝜃 est égal à deux sur la racine de trois. Donc le sinus de 𝜃 est égal à la racine de trois sur deux.
On a obtenu une équation qu’on est en mesure de résoudre en utilisant les fonctions trigonométriques réciproques et notre connaissance du cercle unité et des angles remarquables. Comme notre sinus de 𝜃 est égal à une valeur positive, on sait que s’il existe des solutions, alors elles se trouvent dans le premier ou le deuxième quadrant. Ici, certains se souviendront que le sinus de 60 degrés est égal à la racine de trois sur deux. Si on ne connaît pas le sinus de cet angle remarquable par cœur, on peut appliquer la fonction réciproque du sinus aux deux membres de notre équation pour obtenir que 𝜃 est égal à l’arc sinus de la racine de trois sur deux. On utilise ensuite notre calculatrice réglée en mode degré pour déterminer que 𝜃 est égal à 60 degrés. Voici donc la solution qui se trouve dans le premier quadrant. En utilisant la symétrie de la fonction sinus dans le cercle unité, on peut voir qu’on a une seconde solution égale à 180 degrés moins 60 degrés, c’est-à-dire 120 degrés.
L’ensemble des valeurs vérifiant racine de trois fois cosécante de 𝜃 moins deux égale zéro, sachant que 𝜃 est supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à 360, est l’ensemble qui contient les angles 60 degrés et 120 degrés.
