Transcription de la vidéo
Considérons les deux vecteurs 𝐩 égale quatre 𝐢 plus cinq 𝐣 et 𝐪 égale deux 𝐢 plus huit 𝐣. Calculez le produit vectoriel de 𝐩 croix 𝐪.
Bon, donc dans cette question, on nous donne deux vecteurs sous forme de leurs composantes, 𝐩 et 𝐪. Et on nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝐩 croix 𝐪. Commençons par dessiner rapidement ces vecteurs.
Notez que 𝐩 croix 𝐪 ont tous les deux une composante 𝐢 et une composante 𝐣. Rappelons que 𝐢 est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Cela signifie que nos vecteurs 𝐩 et 𝐪 se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Le vecteur 𝐩 s’étend de quatre unités dans la direction 𝑥 et de cinq unités dans la direction 𝑦, ce qui signifie que le vecteur ressemble à ceci. Le vecteur 𝐪 s’étend de deux unités dans la direction 𝑥 et de huit unités dans la direction 𝑦, il ressemble donc à ceci.
Pour répondre à la question, nous devons évaluer le produit vectoriel de 𝐩 croix 𝐪. Rappelons donc notre définition du produit vectoriel de deux vecteurs. Considérons deux vecteurs généraux qui se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Pour les distinguer des vecteurs qui nous sont donnés dans la question, nous appellerons ces vecteurs 𝐀 et 𝐁. Nous pouvons écrire les vecteurs en fonction de leurs composantes comme 𝐀 est égal à une composante 𝑥, 𝐀 indice 𝑥, multiplié par 𝐢 plus une composante 𝑦, 𝐀 indice 𝑦, multiplié par 𝐣, et de même pour 𝐁. Alors, le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 est défini comme la composante 𝑥 de 𝐀, soit 𝐀 indice 𝑥, multiplié par la composante component de 𝐁, soit 𝐁 indice 𝑦, moins la composante 𝑦 de 𝐀, 𝐀 indice 𝑦, multiplié par la composante 𝑥 de 𝐁, 𝐁 indice 𝑥. Et puis tout cela est multiplié par le vecteur unitaire 𝐤, qui pointe dans la direction 𝑧.
Ainsi, le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 produit un vecteur de cette amplitude et de direction perpendiculaire à la direction de 𝐀 et de 𝐁. Nous pouvons utiliser cette expression pour calculer le produit vectoriel des vecteurs 𝐩 et 𝐪 qui nous est donné dans la question. On nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝐩 croix 𝐪. Ainsi, le premier terme de notre expression de produit vectoriel nous dit que nous avons besoin de la composante 𝑥 de 𝐩, qui vaut quatre, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐪, qui est de huit. Ensuite, nous soustrayons le deuxième terme. Encore une fois, en regardant notre expression pour le produit vectoriel, nous voyons que ce deuxième terme nous dit que nous avons besoin de la composante 𝑦 du vecteur 𝐩, qui vaut cinq, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐪, qui est de deux. Enfin, nous devons multiplier tout cela par le vecteur unitaire 𝐤.
Il ne reste plus qu’à calculer la valeur de cette expression ici. Si nous faisons les multiplications, nous obtenons que le premier terme nous donne 32 et le deuxième terme, que nous soustrayons, nous donne 10. La soustraction de 10 à 32 nous donne 22. Et cela nous donne notre réponse à la question que le produit vectoriel de 𝐩 croix 𝐪 est égal à 22𝐤.
