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Une particule se déplace le long d’une droite. Son déplacement à l’instant 𝑡 est 𝑥 égale moins cosinus de 𝑡. Laquelle des assertions suivantes est correcte concernant l’accélération de la particule ? Est-ce (A) elle est égale à 𝑥 ? Est-ce (B) elle est égale à moins 𝑣, où 𝑣 est la vitesse de la particule. Est-ce (C) elle est égale à la vitesse de la particule. Ou est-ce (D) elle est égale à moins 𝑥 ?
Dans cette question, nous avons reçu des informations sur le déplacement d’une particule au temps 𝑡. Et nous cherchons à trouver des informations sur l’accélération de cette même particule. Et nous rappelons donc le lien entre accélération et déplacement. L’accélération est le taux de variation de la vitesse de la particule. Et la vitesse elle-même est le taux de variation du déplacement. Donc, nous dérivons une expression pour le déplacement par rapport au temps pour obtenir une expression pour la vitesse. Et puis nous nous dérivons une fois de plus pour obtenir une expression pour l’accélération.
Donc, pour trouver une expression pour l’accélération de la particule, nous allons dériver moins cosinus de 𝑡 par rapport à 𝑡. En fait, il existe un cycle qui peut nous aider à nous rappeler comment dériver les fonctions trigonométriques. La dérivée de sinus 𝑥 est cosinus 𝑥. Ensuite, la dérivée de cosinus 𝑥 est moins sinus 𝑥. Si nous dérivons moins sinus 𝑥 par rapport à 𝑥, nous obtenons moins cosinus 𝑥. Ensuite, si nous dérivons moins cosinus 𝑥 par rapport à 𝑥, nous revenons à sinus 𝑥. Commençons donc par dériver notre expression pour 𝑥 par rapport au temps 𝑡. Cela nous indique que la vitesse est la dérivée de moins cosinus 𝑡. Nous pouvons voir de notre cycle que la dérivée de moins cosinus 𝑥 est sinus 𝑥. Ainsi, la dérivée de moins cosinus 𝑡 par rapport à 𝑡 est sinus 𝑡.
Pour trouver une expression pour l’accélération, nous allons dériver notre expression pour la vitesse par rapport au temps. Une fois de plus, nous voyons dans notre cycle que la dérivée de sinus 𝑥 par rapport à 𝑥 est cosinus 𝑥. Et cela signifie donc que la dérivée de sinus 𝑡 par rapport à 𝑡 est cosinus 𝑡. Donc, nous avons trois expressions décrivant le mouvement de la particule. La vitesse est sinus 𝑡, l’accélération est cosinus 𝑡 et 𝑥, le déplacement, est moins cosinus 𝑡.
Nous pouvons voir que, en fait, nos expressions pour l’accélération et le déplacement se ressemblent assez. Cependant, elles sont l’opposée l’une de l’autre. On peut donc dire que 𝑥 est l’opposé de l’accélération ou inversement. Que 𝑎 est égale à moins 𝑥. En revenant aux options qui nous sont données dans cette question, nous voyons que cela équivaut à (D). La réponse est (D). Elle est égale à moins 𝑥.
