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Utilisez des déterminants pour résoudre le système.
Étant donné un système d’équations linéaires, la règle de Cramer est un moyen pratique de déterminer une seule des variables sans avoir à résoudre tout le système. Cependant, dans ce cas, on attend de nous que nous les trouvions toutes : 𝑥, 𝑦 et 𝑧.
Commençons donc par prendre nos constantes et les déplacer vers la droite. De cette manière, nous pouvons écrire cela comme une équation matricielle. Maintenant que les constantes sont isolées, sur le membre droit de l’équation, nous pouvons transformer cela en équation matricielle.
Alors, prenons d’abord tous les coefficients et mettons-les dans une matrice. Ensuite, nous devons prendre cette matrice et la multiplier par la matrice 𝑥, 𝑦, 𝑧. Notre colonne réponse est alors un, moins trois, moins un. La règle de Cramer affirme que nous pouvons trouver 𝑥, 𝑦 et 𝑧 en utilisant cette formule. Alors, que signifient tous ces symboles ? Le triangle lui-même est la matrice des coefficients qui se trouvent ici. Donc, ce triangle avec 𝑥 signifie que c’est la matrice où la colonne 𝑥 sera remplacée par la colonne réponse, de même avec 𝑦 et 𝑧. Alors enfin, quelles sont toutes ces barres qui ressemblent à des barres de valeur absolue. Elles représentent, le calcul du déterminant. Nous devrons donc prendre le déterminant de chacune de ces matrices.
Commençons donc par trouver le déterminant de la matrice des coefficients, qui est situé au dénominateur de chaque fraction. Le déterminant de cette grande matrice trois-trois commencera donc par prendre le nombre en haut à gauche, trois. Et on fait le produit, nous multiplions par le déterminant des nombres qui ne sont ni dans la ligne, ni dans la colonne du trois avec lequel nous avons commencé. Et puis nous soustrayons le nombre du milieu en haut, deux, fois le déterminant de tous les nombres qui ne sont ni dans la ligne, ni dans la colonne de ce deux. Et puis nous ajoutons moins deux fois le déterminant de ces nombres, les nombres qui ne sont ni dans la ligne, ni dans la colonne du moins deux. Nous prenons donc trois fois ce déterminant.
Alors, comment trouver un déterminant ? Nous multiplions les nombres en diagonale, puis nous soustrayons les autres nombres en diagonale et maintenant, recommençons. Alors, nous devons maintenant soustraire deux fois, commencez par le nombre en haut à gauche, trois et moins cinq que nous multiplions puis nous soustrayons. Et après avoir soustrait moins deux fois moins trois, nous prenons maintenant moins deux et multiplions par ce déterminant, trois fois quatre moins moins deux fois trois. Et maintenant, nous simplifions. Nous avons donc trois fois moins trois moins deux fois moins 21 moins deux fois 18 et nous obtenons moins trois, qui est la réponse du déterminant des coefficients de la matrice. Nous pouvons donc remplacer tous les dénominateurs par moins trois.
Alors maintenant, nous prenons la matrice des coefficients, sauf la colonne 𝑥 que nous remplaçons par la colonne réponse. Et à présent, nous répétons nos étapes afin de trouver le déterminant d’une matrice trois-trois. Nous prenons donc une fois le déterminant de cette matrice moins deux fois le déterminant de ces nombres plus moins deux fois le déterminant de ces nombres. Bien, maintenant nous commençons à calculer comme nous le faisions auparavant. Et après simplification, nous obtenons moins neuf. Ainsi, on calcule 𝑥, moins neuf divisé par moins trois signifie que 𝑥 est égal à trois.
Alors maintenant, procédons de la même manière mais avec 𝑦. Nous prenons donc la matrice des coefficients mais maintenant, nous remplaçons la colonne 𝑦 par la colonne réponse. Nous avons donc trois fois le déterminant de ces nombres moins un fois le déterminant de ces nombres plus moins deux fois le déterminant de ces nombres. Alors à présent, nous calculons les déterminants, puis nous multiplions et nous simplifions et nous obtenons 75. Et 75 divisé par moins trois signifie que 𝑦 vaut moins 25.
Bien, on s’occupe enfin de 𝑧. Allons-y et remplaçons la colonne 𝑧 par la colonne réponse. Et maintenant, nous calculons. Trois fois le déterminant de ces nombres moins deux fois le déterminant de ces nombres plus une fois le déterminant de ces nombres. Donc, après calcul, nous devons maintenant multiplier et simplifier et nous obtenons 63. Et 63 divisé par moins trois vaut moins 21.
Ainsi, après avoir résolu ce système en utilisant des déterminants, 𝑥 égal trois, 𝑦 égal moins 25 et 𝑧 égal moins 21.
