Video Transcript
Calculez l’aire de la partie colorée de la figure suivante au dixième de centimètres carré près.
Regardons la figure qui nous a été donnée. Elle se compose de deux secteurs circulaires : l’un avec un rayon de 15 centimètres et l’autre avec un rayon de sept centimètres. L’angle au centre de ces secteurs - soit l’angle entre les deux rayons qui font partie du périmètre de chaque secteur - est de 60 degrés. On nous demande de trouver l’aire de la partie colorée de la figure, qui sera la différence entre les aires de ces deux secteurs. Cela donnera l’aire du plus grand secteur - celle avec un rayon de 15 centimètres - moins l’aire du petit secteur - celle avec un rayon de sept centimètres.
L’aire d’un secteur de rayon 𝑟 et d’angle central 𝜃 mesuré en degrés est 𝜃 sur 360 multipliée par 𝜋𝑟 au carré. Cela provient de la multiplication de l’aire d’un cercle complet, 𝜋𝑟 au carré, par la fraction 𝜃 sur 360, ce qui correspond à la partie du cercle représentée par ce secteur. Nous pouvons alors déterminer les aires du secteur le plus grand et du plus petit en substituant 𝜃 égal à 60 pour les deux et 𝑟 égal à 15 pour le plus grand secteur et 𝑟 égal à sept pour le plus petit secteur.
Nous avons alors 60 sur 360 multiplié par 𝜋 multiplié par 15 au carré moins 60 sur 360 multiplié par 𝜋 multiplié par sept au carré. Dans chaque cas, la fraction 60 sur 360 peut être simplifiée en un sixième en supprimant un facteur commun de 60 au numérateur et au dénominateur. Si nous le souhaitons, nous pouvons alors factoriser 𝜋 sur six à partir de ces deux expressions. Nous avons 𝜋 sur six multiplié par 15 au carré moins sept au carré. 15 au carré donne 225 et sept au carré donne 49. 225 moins 49 vaut 176. Nous avons donc 176𝜋 sur six.
La question précise que nous devons donner notre réponse au dixième près Nous devons donc évaluer cela comme un nombre décimal. Cela vaut 92,1533 etc. La valeur de la deuxième décimale est un cinq. Nous allons donc arrondir vers le haut. Les unités pour les longueurs de cette question sont les centimètres. Ainsi, les unités de l’aire seront en centimètres carrés.
En reconnaissant alors que la partie colorée de la figure est la différence entre les aires de deux secteurs circulaires, nous avons constaté que l’aire de la partie colorée au dixième près est de 92,2 centimètres carrés.
