Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer l'aire d'un secteur circulaire, et à résoudre des problèmes reliant cette aire à la longueur d'arc et au périmètre du secteur.
Avant d’apprendre comment trouver l’aire d’un secteur circulaire, on commence par rappeler la terminologie des éléments caractéristiques d’un secteur circulaire. On rappelle d’abord qu’un arc de cercle est une section du cercle entre deux rayons. Cependant, étant donnés deux rayons, il existe deux arcs entre les deux rayons. On en voit un exemple sur la figure suivante.
On peut voir que les deux arcs sont une section du cercle entre les deux rayons donnés. Pour contourner ce problème, on désigne le plus grand arc comme « majeur » et le plus petit comme « mineur ».
Cela équivaut à dire que si l’angle au centre est strictement inférieur à ou , alors on sait que l’arc est mineur et que s’il est strictement supérieur à cette valeur, alors l’arc est majeur. On peut alors définir les arcs de cercle comme suit.
Rappel : Arc de cercle
Un arc de cercle est une section de la circonférence d’un cercle entre deux rayons.
Étant donnés deux rayons, on désigne le plus grand des arcs comme l’arc majeur et le plus petit des arcs comme l’arc mineur. Le plus grand arc est celui avec l’angle au centre le plus grand.
Enfin, si les deux arcs sont de même longueur, alors on les appelle des arcs semi-circulaires. Ils apparaissent lorsque l’angle au centre est égal à ou , ou de manière équivalente, lorsque les rayons forment un diamètre.
Définition : Secteur circulaire
Un secteur circulaire est une partie d’un cercle délimitée par deux rayons et l’arc entre eux. On désigne les secteurs en fonction du type de l’arc entre les rayons.
Si l’angle au centre est strictement inférieur à ou , on parle de secteur mineur. Si l’angle au centre est strictement supérieur à cette valeur, on parle alors de secteur majeur. Et si l’angle est égal à , alors le secteur est un demi-cercle.
Comment : Calculer l’aire d’un secteur circulaire
On est maintenant prêt à déterminer l’aire d’un secteur. On commence par un exemple où l’angle au centre est de .
Il s’agit d’un quart de cercle, on peut donc calculer l’aire de ce secteur en multipliant l’aire du cercle entier par . Plus généralement, pour un secteur d’angle au centre mesuré en degrés, le secteur représente une portion de du cercle et son aire peut être calculée à l’aide de la formule .
On peut faire de même en radians. Si l’angle au centre du secteur, mesuré en radians, est , alors le secteur est une portion de du cercle. Par conséquent, l’aire de ce secteur est
Cela nous donne les formules suivantes pour déterminer les aires de secteurs circulaires.
Formules : Aire d’un secteur circulaire
L’aire d’un secteur de rayon et d’angle au centre mesuré en degrés est donnée par
L’aire d’un secteur de rayon et d’angle au centre mesuré en radians est donnée par
Étudions un exemple d’application de la formule de l’aire d’un secteur circulaire.
Exemple 1: Calculer l’aire d’un secteur à partir de la mesure de son angle en radians
Un arc a pour mesure et pour rayon 5. Donnez l’aire du secteur sous forme de fraction irréductible en fonction de .
Réponse
On rappelle que pour un cercle de rayon , si la mesure de l’angle au centre d’un secteur est , alors l’aire du secteur est donnée par
On trace un schéma des informations fournies dans l’énoncé et on obtient ce qui suit :
On a et , ce qui donne
Par conséquent, l’aire de ce secteur est de unités d’aire.
Nous pouvons également utiliser la formule de l’aire d’un secteur pour déterminer l’aire de formes plus complexes, comme nous allons le voir dans l’exemple suivant.
Exemple 2: Déterminer l’aire d’un secteur circulaire étant donnés son rayon et la mesure de l’angle du secteur
Déterminez l’aire de la partie colorée du schéma en donnant la réponse au dixième près.
Réponse
L’aire de la partie colorée sur le schéma est la différence d’aire entre deux secteurs des deux cercles partageant le même centre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Le rayon du cercle interne est de 7 cm et le rayon du cercle externe est de 15 cm. On peut déterminer l’aire de la partie colorée en déterminant l’aire du secteur du cercle le plus grand, puis en y soustrayant l’aire du secteur du cercle interne. On commence par le secteur du cercle externe.
On rappelle que l’aire du secteur d’un cercle de rayon et d’angle au centre mesuré en degrés est donnée par
Le rayon est de 15 cm et l’angle au centre est de . En les substituant dans la formule, on obtient
On peut alors trouver l’aire du secteur du cercle interne.
Le rayon est de 7 cm et l’angle au centre est de , ce qui donne
Enfin, l’aire de la partie colorée est égale à la différence entre ces valeurs :
Par conséquent, l’aire de la partie colorée sur le schéma est égale à 92,2 cm2 au dixième près.
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser le rayon d’un cercle et le périmètre d’un secteur pour déterminer l’aire du secteur. Avant de faire cela, on rappelle que pour un cercle de rayon et un arc dont l’angle au centre est , la longueur de l’arc peut être trouvée comme suit :
- Si est mesuré en radians, alors la longueur de l’arc est et l’aire du secteur est ; ainsi
- Si est mesuré en degrés, la longueur de l’arc est et l’aire du secteur est ; ainsi
Dans les deux cas, l’aire du secteur est égale à la moitié du produit du rayon et de la longueur de l’arc.
Formule : Aire d’un secteur circulaire en utilisant la longueur de l’arc
Si un secteur d’un cercle de rayon a une longueur d’arc de , alors l’aire du secteur est donnée par
Voyons comment appliquer ce résultat dans le prochain exemple.
Exemple 3: Déterminer l’aire d’un secteur étant donnés le rayon du cercle et le périmètre du secteur
Le rayon d’un cercle est de 10 cm et le périmètre d’un secteur est de 25 cm. Déterminez l’aire du secteur.
Réponse
Comme on ne connaît pas l’angle au centre du secteur mais qu’on a le périmètre du secteur, on commence par rappeler la formule suivante de l’aire d’un secteur. Si le secteur d’un cercle de rayon a une longueur d’arc , alors l’aire du secteur est donnée par
On sait que et on peut trouver la valeur de en utilisant le périmètre. On commence par tracer les informations fournies.
Le périmètre du secteur est la somme des longueurs de ses côtés, on a donc
Ainsi, en substituant et dans la formule de l’aire, on a
Par conséquent, l’aire de ce secteur est de 25 cm2.
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment appliquer des propriétés géométriques et la formule de l’aire d’un secteur d’un cercle pour trouver des aires tracées sur un schéma.
Exemple 4: Secteurs circulaires et aires de cercles
Trois cercles superposables de rayon 43 cm sont placés en contact les uns avec les autres. Calculez l’aire de la zone entre les cercles en donnant votre réponse au centimètre carré près.
Réponse
Pour trouver l’aire entre les cercles, on commence par relier les centres des cercles par des segments. L’aire que l’on recherche est la zone colorée dans le schéma suivant. Les trois cercles ont un rayon de 43 cm, on peut donc indiquer les longueurs des rayons suivants.
On peut alors voir qu’il s’agit d’un triangle équilatéral de côté de 86 cm. Puisqu’il s’agit d’un triangle équilatéral, les angles internes mesurent . Plutôt que rechercher l’aire de la zone colorée en bleu, on peut déterminer l’aire du triangle puis soustraire les aires des secteurs.
L’aire du triangle est égale à la moitié de la longueur de la base multipliée par la hauteur. Pour déterminer la hauteur du triangle, on construit le triangle rectangle suivant :
La hauteur du triangle équilatéral le divise en deux triangles rectangles superposables. L’hypoténuse de l’un de ces triangles rectangles est de longueur de 86 cm et la base est la moitié d’un côté du triangle équilatéral et possède donc une longueur de . On peut alors utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer :
Puis, en utilisant l’aire d’un triangle, la moitié de la longueur de la base multipliée par la hauteur, on a
On rappelle que l’aire d’un secteur de rayon et d’angle au centre mesuré en degrés est donnée par
En substituant et dans la formule de l’aire d’un secteur, on obtient
On peut alors déterminer l’aire de la zone entre les cercles en soustrayant les aires des trois secteurs à l’aire du triangle. Cela donne
Par conséquent, l’aire de la zone entre les cercles sur le schéma, au centimètre carré près, est égale à 298 cm2.
Dans le dernier exemple, nous allons voir comment appliquer la formule de l’aire du secteur dans un problème de la vie courante.
Exemple 5: Résoudre un problème impliquant des secteurs
Un paysagiste décide de concevoir une pelouse divisée en une série de secteurs avec des patios circulaires posés sur l’herbe, comme le montre la figure donnée. La pelouse circulaire sera divisée en six secteurs égaux, chacun de rayon de huit mètres. Les droites et sont tangentes au cercle, et l’arc touche le cercle en un seul point.
- Déterminez l’aire du secteur . Donnez votre réponse en fonction de .
- Le jardinier doit calculer le rayon du patio circulaire. En utilisant les rapports trigonométriques, calculez le rayon du patio. Donnez votre réponse sous forme de fraction.
- Calculez l’aire totale d’herbe dans un secteur. Donnez votre réponse sous forme de fraction irréductible en fonction de .
Réponse
Partie 1
On rappelle que l’aire d’un secteur de rayon et d’angle au centre mesuré en degrés est donnée par la formule suivante :
En substituant et dans cette formule, on obtient
Comme les longueurs sont mesurées en mètres, ce secteur possède une aire de .
Partie 2
Pour déterminer le rayon de ce cercle, on commence par ajouter les droites et points suivants au schéma :
Comme est une tangente au cercle, elle rencontre le cercle à angle droit, ce qui signifie que est un triangle rectangle. On sait que les longueurs de et sont , car ce sont des rayons du cercle interne. On sait aussi que a une longueur de 8 car il s’agit d’un rayon du cercle externe. On choisit de telle manière qu’il est une bissectrice de l’angle en .
Pour utiliser la trigonométrie sur le triangle , on doit déterminer la longueur de :
On sait que la longueur de est égale à 8 et que la longueur de est égale à , donc
En utilisant le sinus, on a on peut alors déterminer :
Par conséquent, le rayon du patio est de .
Partie 3
L’aire de l’herbe dans un secteur est égale à l’aire du secteur moins l’aire du patio.
L’aire d’un cercle de rayon est , donc l’aire du patio est
Dans la partie 1, on a montré que l’aire du secteur est de . Par conséquent, l’aire de l’herbe est
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Un secteur circulaire est une partie d’un cercle délimitée par deux rayons et l’arc entre eux.
- L’aire d’un secteur de rayon et d’angle au centre mesuré en degrés est donnée par
- L’aire d’un secteur de rayon et d’angle au centre mesuré en radians est donnée par
- Si le secteur d’un cercle de rayon a une longueur d’arc , alors l’aire du secteur est donnée par
