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Fiche explicative de la leçon : Aire d'un secteur circulaire Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer l'aire d'un secteur circulaire, et à résoudre des problèmes reliant cette aire à la longueur d'arc et au périmètre du secteur.

Avant d’apprendre comment trouver l’aire d’un secteur circulaire, on commence par rappeler la terminologie des éléments caractéristiques d’un secteur circulaire. On rappelle d’abord qu’un arc de cercle est une section du cercle entre deux rayons. Cependant, étant donnés deux rayons, il existe deux arcs entre les deux rayons. On en voit un exemple sur la figure suivante.

On peut voir que les deux arcs sont une section du cercle entre les deux rayons donnés. Pour contourner ce problème, on désigne le plus grand arc comme « majeur » et le plus petit comme « mineur ».

Cela équivaut à dire que si l’angle au centre est strictement inférieur à 180 ou 𝜋radians, alors on sait que l’arc est mineur et que s’il est strictement supérieur à cette valeur, alors l’arc est majeur. On peut alors définir les arcs de cercle comme suit.

Rappel : Arc de cercle

Un arc de cercle est une section de la circonférence d’un cercle entre deux rayons.

Étant donnés deux rayons, on désigne le plus grand des arcs comme l’arc majeur et le plus petit des arcs comme l’arc mineur. Le plus grand arc est celui avec l’angle au centre le plus grand.

Enfin, si les deux arcs sont de même longueur, alors on les appelle des arcs semi-circulaires. Ils apparaissent lorsque l’angle au centre est égal à 180 ou 𝜋rad, ou de manière équivalente, lorsque les rayons forment un diamètre.

Définition : Secteur circulaire

Un secteur circulaire est une partie d’un cercle délimitée par deux rayons et l’arc entre eux. On désigne les secteurs en fonction du type de l’arc entre les rayons.

Si l’angle au centre est strictement inférieur à 180 ou 𝜋rad, on parle de secteur mineur. Si l’angle au centre est strictement supérieur à cette valeur, on parle alors de secteur majeur. Et si l’angle est égal à 180, alors le secteur est un demi-cercle.

Comment : Calculer l’aire d’un secteur circulaire

On est maintenant prêt à déterminer l’aire d’un secteur. On commence par un exemple où l’angle au centre est de 90.

Il s’agit d’un quart de cercle, on peut donc calculer l’aire de ce secteur en multipliant l’aire du cercle entier 𝜋𝑟 par 14. Plus généralement, pour un secteur d’angle au centre 𝜃 mesuré en degrés, le secteur représente une portion de 𝜃360 du cercle et son aire peut être calculée à l’aide de la formule 𝜃360𝜋𝑟.

On peut faire de même en radians. Si l’angle au centre du secteur, mesuré en radians, est 𝜃, alors le secteur est une portion de 𝜃2𝜋 du cercle. Par conséquent, l’aire de ce secteur est 𝜃2𝜋𝜋𝑟=12𝑟𝜃.

Cela nous donne les formules suivantes pour déterminer les aires de secteurs circulaires.

Formules : Aire d’un secteur circulaire

L’aire d’un secteur de rayon 𝑟 et d’angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par 𝐴=𝜃360𝜋𝑟.

L’aire d’un secteur de rayon 𝑟 et d’angle au centre 𝜃 mesuré en radians est donnée par 𝐴=12𝑟𝜃.

Étudions un exemple d’application de la formule de l’aire d’un secteur circulaire.

Exemple 1: Calculer l’aire d’un secteur à partir de la mesure de son angle en radians

Un arc a pour mesure 𝜋3radians et pour rayon 5. Donnez l’aire du secteur sous forme de fraction irréductible en fonction de 𝜋.

Réponse

On rappelle que pour un cercle de rayon 𝑟, si la mesure de l’angle au centre d’un secteur est 𝜃radians, alors l’aire du secteur est donnée par 𝐴=12𝑟𝜃.

On trace un schéma des informations fournies dans l’énoncé et on obtient ce qui suit:

On a 𝑟=5 et 𝜃=𝜋3, ce qui donne 𝐴=12𝜋35=25𝜋6.

Par conséquent, l’aire de ce secteur est de 25𝜋6 unités d’aire.

Nous pouvons également utiliser la formule de l’aire d’un secteur pour déterminer l’aire de formes plus complexes, comme nous allons le voir dans l’exemple suivant.

Exemple 2: Déterminer l’aire d’un secteur circulaire étant donnés son rayon et la mesure de l’angle du secteur

Déterminez l’aire de la partie colorée du schéma en donnant la réponse au dixième près.

Réponse

L’aire de la partie colorée sur le schéma est la différence d’aire entre deux secteurs des deux cercles partageant le même centre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Le rayon du cercle interne est de 7 cm et le rayon du cercle externe est de 15 cm. On peut déterminer l’aire de la partie colorée en déterminant l’aire du secteur du cercle le plus grand, puis en y soustrayant l’aire du secteur du cercle interne. On commence par le secteur du cercle externe.

On rappelle que l’aire du secteur d’un cercle de rayon 𝑟 et d’angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par 𝐴=𝜃360𝜋𝑟.

Le rayon est de 15 cm et l’angle au centre est de 60. En les substituant dans la formule, on obtient airedusecteurexternecm=60360𝜋(15)=75𝜋2.

On peut alors trouver l’aire du secteur du cercle interne.

Le rayon est de 7 cm et l’angle au centre est de 60, ce qui donne airedusecteurinternecm=60360𝜋(7)=49𝜋6.

Enfin, l’aire de la partie colorée est égale à la différence entre ces valeurs:airedelapartiecoloréecm=75𝜋249𝜋6=88𝜋392,153.

Par conséquent, l’aire de la partie colorée sur le schéma est égale à 92,2 cm2 au dixième près.

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser le rayon d’un cercle et le périmètre d’un secteur pour déterminer l’aire du secteur. Avant de faire cela, on rappelle que pour un cercle de rayon 𝑟 et un arc dont l’angle au centre est 𝜃, la longueur de l’arc 𝑙 peut être trouvée comme suit:

  • Si 𝜃 est mesuré en radians, alors la longueur de l’arc est 𝑙=𝑟 et l’aire du secteur est 𝐴=12𝑟𝜃;ainsi 𝐴=12𝑟𝜃=12𝑟(𝑟𝜃)=12𝑟𝑙.
  • Si 𝜃 est mesuré en degrés, la longueur de l’arc est 𝑙=2𝜋𝑟𝜃360 et l’aire du secteur est 𝐴=𝜃360𝜋𝑟;ainsi 𝐴=𝜃360𝜋𝑟=12𝑟2𝜋𝑟𝜃360=12𝑟𝑙.

Dans les deux cas, l’aire du secteur est égale à la moitié du produit du rayon et de la longueur de l’arc.

Formule : Aire d’un secteur circulaire en utilisant la longueur de l’arc

Si un secteur d’un cercle de rayon 𝑟 a une longueur d’arc de 𝑙, alors l’aire 𝐴 du secteur est donnée par 𝐴=12𝑟𝑙.

Voyons comment appliquer ce résultat dans le prochain exemple.

Exemple 3: Déterminer l’aire d’un secteur étant donnés le rayon du cercle et le périmètre du secteur

Le rayon d’un cercle est de 10 cm et le périmètre d’un secteur est de 25 cm. Déterminez l’aire du secteur.

Réponse

Comme on ne connaît pas l’angle au centre du secteur mais qu’on a le périmètre du secteur, on commence par rappeler la formule suivante de l’aire d’un secteur. Si le secteur d’un cercle de rayon 𝑟 a une longueur d’arc 𝑙, alors l’aire 𝐴 du secteur est donnée par 𝐴=12𝑟𝑙.

On sait que 𝑟=10cm et on peut trouver la valeur de 𝑙 en utilisant le périmètre. On commence par tracer les informations fournies.

Le périmètre du secteur est la somme des longueurs de ses côtés, on a donc 25=10+10+𝑙𝑙=5.

Ainsi, en substituant 𝑙=5 et 𝑟=10 dans la formule de l’aire, on a 𝐴=12×5×10=25.cm

Par conséquent, l’aire de ce secteur est de 25 cm2.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment appliquer des propriétés géométriques et la formule de l’aire d’un secteur d’un cercle pour trouver des aires tracées sur un schéma.

Exemple 4: Secteurs circulaires et aires de cercles

Trois cercles superposables de rayon 43 cm sont placés en contact les uns avec les autres. Calculez l’aire de la zone entre les cercles en donnant votre réponse au centimètre carré près.

Réponse

Pour trouver l’aire entre les cercles, on commence par relier les centres des cercles par des segments. L’aire que l’on recherche est la zone colorée dans le schéma suivant. Les trois cercles ont un rayon de 43 cm, on peut donc indiquer les longueurs des rayons suivants.

On peut alors voir qu’il s’agit d’un triangle équilatéral de côté de 86 cm. Puisqu’il s’agit d’un triangle équilatéral, les angles internes mesurent 60. Plutôt que rechercher l’aire de la zone colorée en bleu, on peut déterminer l’aire du triangle puis soustraire les aires des secteurs.

L’aire du triangle est égale à la moitié de la longueur de la base multipliée par la hauteur. Pour déterminer la hauteur du triangle, on construit le triangle rectangle suivant:

La hauteur du triangle équilatéral le divise en deux triangles rectangles superposables. L’hypoténuse de l’un de ces triangles rectangles est de longueur de 86 cm et la base est la moitié d’un côté du triangle équilatéral et possède donc une longueur de 862=43cm. On peut alors utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer :86=43+=8643=5547.

Puis, en utilisant l’aire d’un triangle, la moitié de la longueur de la base multipliée par la hauteur, on a airedutrianglecm=12×86×5547=18493.

On rappelle que l’aire d’un secteur de rayon 𝑟 et d’angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par 𝐴=𝜃360𝜋𝑟.

En substituant 𝜃=60 et 𝑟=43cm dans la formule de l’aire d’un secteur, on obtient 𝐴=60360𝜋(43)=1849𝜋6.

On peut alors déterminer l’aire de la zone entre les cercles en soustrayant les aires des trois secteurs à l’aire du triangle. Cela donne airecm=1849331849𝜋6=184931849𝜋2298,159.

Par conséquent, l’aire de la zone entre les cercles sur le schéma, au centimètre carré près, est égale à 298 cm2.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment appliquer la formule de l’aire du secteur dans un problème de la vie courante.

Exemple 5: Résoudre un problème impliquant des secteurs

Un paysagiste décide de concevoir une pelouse divisée en une série de secteurs avec des patios circulaires posés sur l’herbe, comme le montre la figure donnée. La pelouse circulaire sera divisée en six secteurs égaux, chacun de rayon de huit mètres. Les droites 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 sont tangentes au cercle, et l’arc 𝐴𝐵 touche le cercle en un seul point.

  1. Déterminez l’aire du secteur 𝑂𝐴𝐵. Donnez votre réponse en fonction de 𝜋.
  2. Le jardinier doit calculer le rayon du patio circulaire. En utilisant les rapports trigonométriques, calculez le rayon du patio. Donnez votre réponse sous forme de fraction.
  3. Calculez l’aire totale d’herbe dans un secteur. Donnez votre réponse sous forme de fraction irréductible en fonction de 𝜋.

Réponse

Partie 1

On rappelle que l’aire d’un secteur de rayon 𝑟 et d’angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par la formule suivante:airedunsecteur=𝜃360𝜋𝑟.

En substituant 𝑟=8 et 𝜃=60 dans cette formule, on obtient airedusecteur=60360𝜋(8)=32𝜋3.

Comme les longueurs sont mesurées en mètres, ce secteur possède une aire de 32𝜋3mètrescarrés.

Partie 2

Pour déterminer le rayon de ce cercle, on commence par ajouter les droites et points suivants au schéma:

Comme 𝑂𝐴 est une tangente au cercle, elle rencontre le cercle à angle droit, ce qui signifie que 𝑂𝑃𝐶 est un triangle rectangle. On sait que les longueurs de 𝑃𝐶 et 𝐶𝐷 sont 𝑟, car ce sont des rayons du cercle interne. On sait aussi que 𝑂𝐷 a une longueur de 8 car il s’agit d’un rayon du cercle externe. On choisit 𝑂𝐷 de telle manière qu’il est une bissectrice de l’angle en 𝑂.

Pour utiliser la trigonométrie sur le triangle 𝑂𝑃𝐶, on doit déterminer la longueur de 𝑂𝐶:𝑂𝐷=𝑂𝐶+𝐶𝐷.

On sait que la longueur de 𝑂𝐷 est égale à 8 et que la longueur de 𝐶𝐷 est égale à 𝑟, donc 8=𝑂𝐶+𝑟𝑂𝐶=8𝑟.

En utilisant le sinus, on a sin(30)=𝑃𝐶𝑂𝐶; on peut alors déterminer 𝑟:sin(30)=𝑟8𝑟12=𝑟8𝑟8𝑟=2𝑟𝑟=83.

Par conséquent, le rayon du patio est de 83mètres.

Partie 3

L’aire de l’herbe dans un secteur est égale à l’aire du secteur moins l’aire du patio.

L’aire d’un cercle de rayon 𝑟 est 𝜋𝑟, donc l’aire du patio est 𝜋83=64𝜋9.mètrescarrés

Dans la partie 1, on a montré que l’aire du secteur est de 32𝜋3mètrescarrés. Par conséquent, l’aire de l’herbe est 32𝜋364𝜋9=32𝜋9.mètrescarrés

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Un secteur circulaire est une partie d’un cercle délimitée par deux rayons et l’arc entre eux.
  • L’aire d’un secteur de rayon 𝑟 et d’angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par 𝐴=𝜃360𝜋𝑟.
  • L’aire d’un secteur de rayon 𝑟 et d’angle au centre 𝜃 mesuré en radians est donnée par 𝐴=12𝑟𝜃.
  • Si le secteur d’un cercle de rayon 𝑟 a une longueur d’arc 𝑙, alors l’aire 𝐴 du secteur est donnée par 𝐴=12𝑟𝑙.

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