Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver l’aire d’un secteur circulaire et à résoudre des problèmes qui relient cette aire à la longueur de l’arc et au périmètre du secteur. Nous rappelons d’abord qu’un arc est une partie de la circonférence d’un cercle. Un secteur est une partie du disque lui-même formée de deux rayons. Ce sont les lignes qui relient le centre du cercle à sa circonférence et donc à un arc. C’est un peu comme la surface d’un morceau de fromage rond coupé ou d’une tranche de pizza. L’angle au centre de ce secteur, l’angle entre les deux rayons, que nous désignons souvent en utilisant la lettre grecque 𝜃, est appelé l’angle au centre du secteur.
Si cet angle 𝜃 au centre est inférieur à 180 degrés, nous parlons de secteur mineur. En effet, il y aura également un autre secteur du cercle dont l’angle au centre sera supérieur à 180 degrés. Ce secteur est plus grand, nous l’appelons donc secteur majeur. Maintenant, trouver une formule pour l’aire d’un secteur est assez simple, mais cela dépend du fait que nous travaillons en degrés ou en radians pour l’angle au centre.
Considérons tout d’abord une formule en degrés. Nous savons que l’aire d’un disque complet est calculée en utilisant la formule 𝜋𝑟 carré. Mais lorsque nous travaillons avec un secteur, nous n’avons qu’une partie du disque complet, et nous ne voulons donc qu’une fraction de sa surface. La fraction du disque que nous avons est déterminée par l’angle au centre. Ce sera 𝜃 sur 360 car il y a 360 degrés dans un tour complet. Donc, pour trouver l’aire d’un secteur, nous multiplions simplement l’aire du disque complet par la fraction que représente le secteur. Nous avons donc 𝜃 divisé par 360 multiplié par 𝜋𝑟 au carré.
Ceci est parfait si nous travaillons en degrés. Mais si nous travaillons en radians, nous avons besoin d’une formule différente. Dans notre premier problème, nous verrons comment trouver une formule alternative à utiliser si l’angle au centre est mesuré en radians.
Écrivez une expression pour l’aire d’un secteur dont la mesure de l’arc est 𝜃 radians, en sachant que l’expression pour l’aire d’un secteur de 𝜃 degrés est 𝜋𝑟 au carré 𝜃 divisé par 360.
On nous rappelle donc la formule que nous pouvons utiliser pour calculer l’aire d’un secteur lorsque l’angle au centre est donné en degrés. Et on nous demande d’utiliser cela pour déterminer une formule différente que nous pouvons utiliser lorsque l’angle est donné en radians. Rappelons que lorsque nous travaillons en radians, un tour complet, qui en degrés équivaut à 360 degrés, est égal à deux 𝜋 radians. Ainsi, nous pouvons prendre la formule que nous connaissons pour l’aire d’un secteur en degrés, et nous pouvons remplacer le 360 au dénominateur, qui représente les 360 degrés dans un tour complet par deux 𝜋. Cela donne 𝜋𝑟 au carré 𝜃 sur deux 𝜋. Maintenant, bien sûr, nous pouvons annuler le facteur 𝜋 du numérateur et du dénominateur de cette fraction, ce qui donne 𝑟 au carré 𝜃 sur deux ou, de manière équivalente, un demi 𝑟 carré 𝜃.
Nous avons donc utilisé l’aire d’un secteur en degrés pour trouver une expression pour l’aire d’un secteur lorsque l’angle au centre est donné en radians. Cela donne un demi 𝑟 carré 𝜃.
Nous avons donc maintenant les deux formules pour déterminer l’aire d’un secteur pour l’angle au centre mesuré en degrés ou en radians. Lorsqu’on résout un problème, on doit s’assurer qu’on choisit la formule appropriée pour la mesure qui a été utilisée pour l’angle au centre. Il sera également utile à ce stade de rappeler les formules de calcul de la longueur d’un arc en degrés et en radians.
En degrés d’abord, la longueur de l’arc est 𝜃 divisé par 360 multiplié par 𝜋𝑑 ou deux 𝜋𝑟. Cela correspond à la fraction du cercle que nous avons multipliée par la circonférence du cercle. Et en radians, la longueur de l’arc est simplement 𝑟𝜃. Ceci parce que, si nous prenons la formule en degrés puis remplaçons 360 par deux 𝜋 et 𝑑, le diamètre, par deux 𝑟, nous avons 𝜃 sur deux 𝜋 multiplié par 𝜋 multiplié par deux 𝑟. Et bien sûr, les 𝜋 s’annuleront, de même que les facteurs deux et il nous reste simplement 𝑟𝜃.
Nous avons toutes les formules dont nous avons besoin. Alors maintenant, considérons quelques exemples. Les problèmes que nous considérons dans cette vidéo seront des applications de ces résultats à des questions qui nécessitent une part de réflexion.
Le rayon d’un cercle est de cinq centimètres et l’aire d’un secteur est de 15 centimètres carrés. Trouvez l’angle au centre, en radians, arrondi à une décimale.
Dans ce problème, nous avons le secteur d’un disque. Nous savons que le rayon du cercle est de cinq centimètres et nous savons que l’aire du secteur est de 15 centimètres carrés. Mais nous ne connaissons pas l’angle au centre. Il nous est demandé de trouver l’angle au centre en radians. Nous devons donc rappeler les formules clés dont nous avons besoin. Lorsque l’on travaille en radians, l’aire d’un secteur est donnée par un demi 𝑟 carré 𝜃, où 𝑟 représente le rayon du cercle et 𝜃 représente l’angle au centre. Nous pouvons donc utiliser les informations qui nous sont données pour former une équation. L’aire du secteur est de 15 centimètres carrés et le rayon du cercle est de cinq centimètres. Nous avons donc l’équation 15 égal un demi multiplié par cinq au carré multiplié par 𝜃. Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer la valeur de 𝜃.
Tout d’abord, nous calculons cinq au carré, soit 25. Nous pouvons alors multiplier les deux côtés de l’équation par deux, puis diviser les deux côtés par 25, ce qui donne 𝜃 égal deux multiplié par 15 sur 25. Deux multiplié par 15 est 30, et nous pouvons alors annuler un facteur de cinq au numérateur et au dénominateur. Donc, cela simplifie à six sur cinq. Six sur cinq équivaut à un plus un cinquième ou 1,2. Et donc nous avons trouvé la réponse au problème. L’angle au centre du secteur en radians est de 1,2 radians.
Notez que dans cette question, il était important d’utiliser la formule de l’aire en radians. Il aurait été possible d’utiliser à la place la formule de l’aire en degrés, puis de convertir la réponse des degrés aux radians à la fin. Mais cela nécessiterait une étape supplémentaire. Et bien sûr, on risque d’oublier de convertir la réponse.
Prenons maintenant un exemple dans lequel nous utilisons nos connaissances de l’aire d’un secteur pour trouver l’aire d’une région connexe.
Trouvez l’aire de la partie colorée du quadrant sur la figure en fonction de 𝜋.
Nous cherchons donc à trouver l’aire de la zone bleue dans la figure. On nous dit que nous avons affaire à un quadrant. C’est un quart de cercle, ce qui signifie qu’il s’agit d’un secteur dont l’angle au centre est un angle droit. Maintenant, en regardant attentivement la figure, nous pouvons voir que cette zone bleue est composée d’un quadrant dont le rayon est de 25 centimètres duquel un plus petit quadrant dont le rayon est de 17 centimètres a été retiré. L’aire que nous recherchons sera alors la différence entre les aires de ces deux quadrants. Maintenant, l’énoncé nous demande de donner notre réponse en fonction de 𝜋, on pourrait nous demander de le faire pour deux raisons, soit parce qu’une réponse exacte est requise, soit parce que nous sommes censés répondre à ce problème sans calculatrice.
On ne nous a pas dit de travailler en degrés ou en radians, alors choisissons de travailler en degrés. Nous savons que l’aire d’un secteur dont l’angle au centre est 𝜃 et le rayon 𝑟 est 𝜃 sur 360 multiplié par 𝜋𝑟 au carré. Dans ce problème, l’angle au centre est de 90 degrés, nous avons donc 90 sur 360 multiplié par 𝜋𝑟 au carré, ce qui se simplifie en un quart multiplié par 𝜋𝑟 au carré ou 𝜋𝑟 au carré sur quatre. Cela, bien sûr, paraît logique car nous savons qu’un quadrant est le quart d’un disque, donc l’aire d’un quadrant sera le quart de l’aire du disque complet. Pour l’aire du plus grand quadrant, nous avons tout d’abord un quart multiplié par 𝜋 multiplié par 25 au carré. Et pour le petit quadrant, c’est un quart multiplié par 𝜋 multiplié par 17 au carré.
Si nous voulons, nous pouvons factoriser par 𝜋 sur quatre donnant 𝜋 sur quatre multiplié par 25 au carré moins 17 au carré. 25 au carré vaut 625 et 17 au carré vaut 289. 625 moins 289 vaut 336. Nous avons donc 336𝜋 sur quatre. Et enfin, nous pouvons annuler un facteur de quatre au numérateur et au dénominateur pour obtenir 84𝜋. Les unités du rayon étaient des centimètres et donc les unités de l’aire seront des centimètres carrés. Nous avons donc trouvé que l’aire de la partie coloriée du quadrant en fonction de 𝜋 est de 84𝜋 centimètres carrés.
Examinons maintenant le problème où nous verrons comment trouver la longueur d’arc d’un secteur si nous connaissons son aire et que nous connaissons son angle au centre.
L’aire d’un secteur circulaire est de 1888 centimètres carrés et son angle au centre est de 1,7 radians. Trouvez la longueur d’arc du secteur en donnant la réponse au centimètre près.
Dans ce problème, nous avons donc un secteur circulaire. Nous savons que son aire est de 1888 centimètres carrés et nous savons que son angle au centre, que nous pouvons appeler 𝜃, est de 1,7 radians. Nous voulons calculer la longueur d’arc du secteur, que nous notons souvent en utilisant la lettre 𝑠. L’essentiel à noter est que l’angle au centre du secteur est mesuré en radians. Les formules que nous allons utiliser pour l’aire du secteur et la longueur de l’arc doivent donc être les formules en radians. Ces formules sont un demi 𝑟 carré 𝜃 pour l’aire du secteur et 𝑟𝜃 pour la longueur de l’arc.
Pour calculer la longueur de l’arc, nous devons donc connaître à la fois le rayon et l’angle au centre. Utilisons les informations qui nous ont été données sur l’aire pour former une équation. L’aire est de 1888 centimètres carrés. Nous ne connaissons pas le rayon, nous allons donc garder la lettre 𝑟. Et l’angle au centre 𝜃 en radians est de 1,7. Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer le rayon du secteur, que nous pourrons ensuite remplacer dans notre formule par la longueur de l’arc. Nous pouvons multiplier les deux côtés de l’équation par deux, puis diviser par 1,7, ce qui donne 𝑟 au carré est égal à 1888 multiplié par deux sur 1,7, qui sous forme décimale est 2221,176.
Pour trouver 𝑟, nous prenons la racine carrée de chaque côté de cette équation, en ne prenant que la valeur positive car 𝑟 représente une longueur. Cela donne 47,129, nous conserverons cette valeur exacte sur l’écran de notre calculatrice pour le moment. Nous avons donc calculé le rayon du secteur, il ne reste plus qu’à calculer la longueur de l’arc. En utilisant la formule de la longueur de l’arc égale à 𝑟𝜃, nous multiplions la valeur que nous venons de calculer par l’angle au centre de 1,7, ce qui donne 80,119. On nous a demandé de donner une réponse au centimètre près, alors nous arrondissons. En utilisant l’aire connue et l’angle au centre connu de ce secteur circulaire, nous avons calculé que la longueur de l’arc au centimètre près est de 80 centimètres.
Dans notre dernier exemple, nous verrons comment résoudre un problème géométrique différent en appliquant ces techniques.
Trois cercles isométriques de rayon 43 centimètres se touchent l’un l’autre. Trouvez l’aire de la partie entre les cercles en donnant la réponse au centimètre carré près.
Nous voulons donc trouver l’aire de la partie entre ces cercles. Il s’agit de la partie ici. Nous savons que les cercles sont isométriques, c’est-à-dire identiques, chacun avec un rayon de 43 centimètres. Si nous joignons les centres des trois cercles, nous avons un triangle. Chaque côté de ce triangle est composé de deux rayons. Et donc, en fait, il s’agit d’un triangle équilatéral avec une longueur de côté de deux fois 43, ce qui fait 86 centimètres. La zone que nous cherchons à trouver se trouve à l’intérieur de ce triangle. Les autres zones à l’intérieur de ce triangle, à savoir ces trois zones ici, sont trois secteurs circulaires superposables. Donc, notre approche pour trouver la zone bleue va être de trouver l’aire du triangle puis de soustraire l’aire de ces trois secteurs.
Le triangle, tout d’abord. Il ne s’agit pas d’un triangle rectangle, nous devons donc utiliser la formule un demi 𝑎𝑏 sinus 𝑐, où 𝑎 et 𝑏 représentent les deux côtés du triangle et 𝑐 représente l’angle entre eux. Chacune des longueurs latérales du triangle est de 86 centimètres. Et comme il s’agit d’un triangle équilatéral, tous les angles sont de 60 degrés. Nous avons donc un demi multiplié par 86 multiplié par 86 multiplié par le sinus de 60 degrés. Le sinus de 60 degrés vaut racine de trois sur deux, de sorte que l’aire du triangle se simplifie en 1849 racine de trois, que nous garderons dans sa forme exacte pour l’instant.
Maintenant, pour l’aire des secteurs, l’aire de chaque secteur travaillant en degrés est 𝜃 sur 360 multipliée par 𝜋𝑟 au carré, où 𝜃 est l’angle au centre. Mais ces trois secteurs étant identiques, nous allons donc multiplier par trois. Cela donne alors la formule 𝜃 sur 120 multipliée par 𝜋𝑟 au carré, car trois sur 360 égale un sur 120. Donc, en substituant l’angle de 60 degrés et le rayon du secteur qui, rappelez-vous, est de 43 centimètres, nous avons 60 sur 120 multiplié par 𝜋 multiplié par 43 au carré. 60 sur 120 se simplifie en un demi et 43 au carré vaut 1849. Nous avons donc 1849𝜋 sur deux pour l’aire des secteurs.
Nous pouvons maintenant évaluer cela à l’aide de nos calculatrices. Cela donne 298,159. Nous sommes tenus de donner une réponse au centimètre carré près, nous allons donc arrondir vers le bas. Nous avons alors constaté que l’aire de la partie entre les cercles, qui est la différence entre l’aire d’un triangle non rectangle et de trois secteurs circulaires, est de 298 centimètres carrés.
Passons maintenant en revue certains des points clés que nous avons couverts dans cette vidéo. Un secteur circulaire est une partie d’un disque formé de deux rayons et d’un arc. Nous utilisons la lettre grecque 𝜃 pour désigner l’angle entre les deux rayons, appelé angle au centre du secteur. Si l’angle au centre est inférieur à 180 degrés ou 𝜋 radians, nous avons un secteur mineur, alors que s’il est supérieur à 180 degrés, c’est-à-dire supérieur à 𝜋 radians, nous avons un secteur majeur. La formule que nous utilisons pour calculer l’aire d’un secteur dépend de l’unité de mesure de l’angle au centre, en degrés ou en radians. En degrés, cela donne 𝜃 sur 360 multiplié par 𝜋𝑟 au carré, alors qu’en radians, on utilise un demi 𝑟 au carré 𝜃.
Nous devons également rappeler les formules pour calculer une longueur d’arc. En degrés, cela donne 𝜃 sur 360 multiplié par deux 𝜋𝑟 ou 𝜋𝑑. Et en radians, on utilise simplement 𝑟𝜃. Nous utilisons souvent la lettre 𝑠 pour désigner la longueur de l’arc. Si nous voulions calculer le périmètre d’un secteur circulaire et non juste la longueur de l’arc, nous devrions ajouter le double du rayon. Nous avons donc que le périmètre du secteur est égal à 𝑠 plus deux 𝑟. Nous pouvons utiliser ces formules pour résoudre des problèmes relatifs à des longueurs d’arcs et à des aires de secteurs, ainsi que des problèmes dans d’autres contextes géométriques et réels.