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Déterminez l’équation de la normale à la courbe d’équation 𝑥 fois au carré 𝑦 au carré moins quatre 𝑥 plus deux 𝑦 moins 20 est égal à zéro au point de coordonnées un, quatre.
La question veut que nous trouvions l’équation d’une normale à une courbe définie implicitement au point un, quatre. Pour trouver l’équation d’une normale, nous rappelons que si la tangente à la courbe au point 𝑝 a une pente de 𝑚. Alors la normale à la courbe au point 𝑝 a pour pente moins un divisé par 𝑚. C’est parce que la tangente et la normale sont perpendiculaires l’une à l’autre.
En fait, cela nous indique que si la tangente est horizontale, alors la normale sera verticale, et vice versa. Nous pouvons donc utiliser la pente de la tangente pour trouver la pente de notre normale.
Pour trouver la pente de notre tangente au point un, quatre, nous allons dériver. Nous dérivons les deux côtés de notre équation par rapport à 𝑥 pour trouver une expression pour la pente d𝑦 sur d𝑥. Cela nous donne la dérivée de 𝑥 au carré 𝑦 au carré moins quatre 𝑥 plus deux 𝑦 moins 20 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de zéro par rapport à 𝑥.
Nous pouvons dériver chaque terme séparément. Nous savons que la dérivée de zéro par rapport à 𝑥 est juste égale à zéro. La dérivée de moins 20 par rapport à 𝑥 est également égale à zéro. Et la dérivée de moins quatre 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins quatre. Pour dériver les deux termes restants, nous rappelons que 𝑦 est une fonction de 𝑥. Nous pouvons donc les dériver en utilisant la règle de dérivation en chaîne.
La règle de dérivation en chaîne nous dit que puisque 𝑦 est une fonction de 𝑥, la dérivée de 𝑓 de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑦 multipliée par la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous pouvons utiliser ceci pour trouver la dérivée de deux 𝑦 par rapport à 𝑥. Elle est égale à la dérivée de deux 𝑦 par rapport à 𝑦 multiplié par d𝑦 sur d𝑥. Et nous savons que la dérivée de deux 𝑦 par rapport à 𝑦 est juste égale à deux.
Nous voyons que le dernier terme à dériver est le produit de deux fonctions. Nous devrons donc utiliser la règle du produit. La règle du produit dit que la dérivée du produit de deux fonctions 𝑢 et 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous pouvons donc utiliser la règle du produit et la règle de dérivation en chaîne ensemble pour dériver 𝑥 au carré 𝑦 au carré par rapport à 𝑥.
L’application de la règle du produit nous donne 𝑥 au carré fois la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 plus 𝑦 au carré fois la dérivée de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Nous pouvons dériver 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 en utilisant la règle de dérivation en chaîne. C’est la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑦. Cela fait deux 𝑦 multiplié par d𝑦 sur d𝑥. Et nous pouvons évaluer la dérivée de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 comme étant deux 𝑥.
Nous avons donc deux 𝑥 au carré 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 plus deux 𝑥 𝑦 au carré moins quatre plus deux d𝑦 sur d𝑥 plus zéro est égal à zéro. Et nous voulons trouver une expression pour la pente de nos tangentes. Nous devons donc réécrire cette expression pour isoler d𝑦 sur d𝑥.
Tout d’abord, nous allons soustraire deux 𝑥𝑦 au carré et ajouter quatre des deux côtés de l’équation. Ensuite, nous retirerons le facteur commun d𝑦 sur d𝑥 des deux autres termes. Cela nous donne deux 𝑥 au carré 𝑦 plus deux multiplié par d𝑦 sur d𝑥 est égal à quatre moins deux 𝑥𝑦 au carré.
Enfin, nous pouvons diviser les deux côtés de notre équation par deux 𝑥 au carré 𝑦 plus deux pour obtenir d𝑦 sur d𝑥 égale quatre moins deux 𝑥𝑦 au carré le tout divisé par deux 𝑥 au carré 𝑦 plus deux. Nous voulons trouver l’équation de la normale à la courbe au point un, quatre. C’est lorsque 𝑥 est égal à un et 𝑦 est égal à quatre. Nous pouvons donc substituer 𝑥 égale un et 𝑦 égale quatre dans notre expression pour d𝑦 sur d𝑥 pour trouver la pente de la tangente à la courbe au point un, quatre. Nous avons donc quatre moins deux fois un fois quatre au carré le tout divisé par deux fois un au carré fois quatre plus deux.
Nous pouvons évaluer cela pour obtenir moins 14 divisé par cinq. Cependant, il s’agit de la pente de la tangente à la courbe en ce point. Et nous voulons la pente de la normale à la courbe en ce point. Nous pouvons le faire en prenant moins un fois l’inverse de cette valeur. L’inverse de moins 14 divisé par cinq est moins cinq divisé par 14. Nous multiplions ensuite cela par moins un pour obtenir cinq divisé par 14.
Puisque nous avons trouvé que la pente de notre droite normale est cinq divisé par quatorze, nous pouvons l’écrire sous la forme réduite pour une droite. Qui est 𝑦 égale cinq divisé par 14 fois 𝑥, plus 𝑏. Et de la question, nous savons que notre droite normale doit passer par le point un, quatre. Puisque notre droite passe par le point un, quatre, nous pouvons substituer 𝑥 égale un et 𝑦 égale quatre pour trouver la valeur de 𝑏.
Nous soustrayons cinq divisé par 14 des deux côtés. Et nous voyons que 𝑏 est égal à 51 divisé par 14. Par conséquent, en utilisant le fait que 𝑏 est égal à 51 sur 14, puis en réarrangeant l’équation. Nous obtenons que l’équation de la normale à la courbe 𝑥 au carré 𝑦 au carré moins quatre 𝑥 plus deux 𝑦 moins 20 égale zéro au point un, quatre est 𝑦 moins cinq 𝑥 sur 14 moins 51 sur 14 égale zéro.
