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Combien de cercles peuvent passer par trois points ?
La définition mathématique d’un cercle est qu’il s’agit d’un ensemble de points dans un plan qui sont à une distance constante d’un point au centre. Nous allons voir combien de cercles peuvent passer par trois points. Alors considérons trois points, et nous pouvons les définir comme 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Un cercle passerait par ces trois points si son centre était à égale distance des trois points. Un exemple de cercle qui ne passerait pas par des points aurait un centre ici. Un cercle avec un centre ici ne fonctionnerait pas parce que nous pouvons voir qu’il n’y a pas la même distance du centre à chacun des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶.
Et donc nous devons nous demander comment trouver le centre d’un cercle qui passerait par ces trois points ? Comment trouver le point qui est équidistant de ces trois points ? Commençons par tracer des segments de droite entre deux paires de points. Donc, ici, nous avons le segment 𝐴𝐵 et le segment 𝐵𝐶. Le segment 𝐴𝐶 fonctionnerait également. Nous allons maintenant construire les bissectrices perpendiculaires de chacun de ces segments de droite. Pour ce faire, nous avons besoin de l’un de ces outils, qui sera un compas.
Commençons par la bissectrice perpendiculaire du segment de droite 𝐴𝐵. Nous prenons l’extrémité pointue du compas et la mettons au point 𝐴, puis nous l’étirons pour qu’elle soit plus longue que la moitié de la longueur du segment de droite 𝐴𝐵. En utilisant le crayon, nous dessinons un arc au-dessus du segment de droite et en dessous. Nous répétons ensuite le processus. Cette fois, nous plaçons l’extrémité pointue au point 𝐵 et créons un autre ensemble d’arc, un au-dessous de la droite et un au-dessus de la droite.
Nous observons que chacun des ensembles d’arc au-dessus et au-dessous du segment de droite a un point d’intersection. Tracer la droite entre ces deux points d’intersection crée la bissectrice perpendiculaire. Remarquez comment cette droite est à 90 degrés du segment 𝐴𝐵, et nous avons créé deux segments de droite congruents. Il est généralement très bon de conserver nos lignes de construction, mais supprimons-les afin que nous puissions voir exactement ce qui se passe.
La droite que nous avons dessinée ici représente tous les points équidistants de 𝐴 et 𝐵. Nous pouvons maintenant répéter le processus en trouvant la bissectrice perpendiculaire du segment de droite 𝐵𝐶. Nous pouvons dessiner le premier ensemble d’arcs à partir du point 𝐵 et le deuxième ensemble à partir du point 𝐶. Et nous avons terminé la deuxième bissectrice perpendiculaire.
Cette droite représente tous les points qui sont équidistants des points 𝐵 et 𝐶. Nous n’avons pas besoin de dessiner le segment 𝐴𝐶 et de trouver sa bissectrice perpendiculaire. Et c’est parce que le point d’intersection de ces deux bissectrices est le point qui est à égale distance de 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Ce point peut donc être le centre d’un cercle qui passe par les trois points. Cela ressemblerait à quelque chose comme ça.
Et combien de cercles passeront à travers les trois points? Eh bien, nous savons qu’il y en a un parce que nous l’avons dessiné. Mais y en aura-t-il d’autres ? Nous pouvons également demander, y a-t-il d’autres points qui sont également équidistants de 𝐴, 𝐵 et 𝐶? Rappelez-vous que la première bissectrice perpendiculaire représente tous les points équidistants de 𝐴 et 𝐵. La deuxième bissectrice représente tous les points qui sont équidistants de 𝐵 et 𝐶. Le point d’intersection de ces deux droites est le point qui est équidistant des trois points.
Donc, ces deux bissectrices perpendiculaires pourraient-elles se croiser en un point différent ? Pourquoi pas ici, au-dessus des trois points, ou peut-être ici, au-dessous des trois points encore ? Et bien sûr, nous devons reconnaître qu’aucun de ces deux cas n’est possible. Deux droites ne peuvent se croiser qu’en un seul point. Et par conséquent, il n’y a qu’un seul cercle qui peut passer par trois points.
Avant de terminer en donnant la réponse, il y a une chose très importante à noter. Cela ne se produit que lorsque les trois points ne se sont pas alignés. Si nous prenons l’exemple de 𝐴, 𝐵 et 𝐶 en ligne droite, alors nous pouvons voir qu’il n’est pas physiquement possible de tracer un cercle à travers les trois points. Nous pourrions tracer un cercle qui passe par deux des points, mais pas les trois. Lorsque les trois points se trouvent sur une droite, alors aucun cercle ne peut être tracé.
En excluant ce cas, cependant, nous pouvons donner la réponse d’un seul et unique cercle. Enfin, il convient de mentionner que ce n’est pas seulement que nous pourrions tracer un cercle à travers trois points qui ne sont pas en ligne droite. Mais qu’il y aura toujours un cercle que pouvant passant par trois points.
