Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment construire des cercles en connaissant un, deux ou trois points.
Rappelons que, mathématiquement, un cercle est défini comme un ensemble de points d’un plan qui sont à une distance égale du centre du cercle, on le note habituellement .
Un segment reliant le centre du cercle à sa circonférence est appelé un rayon du cercle, dont la longueur est désignée ici par .
Pour commencer, on considère le cas où nous avons un point , et où nous voulons tracer un cercle qui passe par ce point. Il faut garder à l’esprit que pour effectuer l’une des figures suivantes sur papier, nous aurons besoin d’un compas et d’un crayon.
Comment : Construire un cercle connaissant un point qui lui appartient
- Pour commencer, choisissons un point distinct qui est le centre de notre cercle. Ce point peut se situer n’importe où par rapport à .
- Ensuite, nous devons prendre un compas, placer la pointe sur et écarter le compas de sorte que l’autre pointe (qui comporte le crayon) soit sur . La distance entre ces deux points sera le rayon du cercle.
- Enfin, nous déplaçons le compas en formant un cercle autour de , pour obtenir un cercle de rayon .
Comme nous pouvons le voir, le tracé d’un cercle qui passe par est très simple. Comme nous pouvons choisir n’importe quel point distinct pour être le centre de notre cercle, cela signifie qu’il existe une infinité de cercles qui passent par .
Une question évidente se pose alors : que se passe-t-il si nous considérons uniquement des cercles de même rayon (c. -à-d. des cercles superposables) ? C’est-à-dire, supposons que nous voulons considérer uniquement les cercles passant par de rayon . Si le rayon d’un cercle passant par est égal à , cela revient à dire que la distance entre le centre du cercle et est . Ainsi, si on considère tous les points possibles où on pourrait placer le centre d’un tel cercle, alors cet ensemble de points forme lui-même un cercle autour de comme montré ci-dessous.
Tout cercle que nous traçons et dont le centre se situe quelque part sur ce cercle (le cercle bleu) doit passer par . Nous le démontrons avec deux points, et , comme indiqué ci-dessous.
Comme nous pouvons le voir, les trois cercles sont superposables (de même taille et de même forme), et ont tous leurs centres sur le cercle de rayon ayant pour centre . En fait, il y a un nombre infini de cercles qui peuvent être tracés en passant par un seul point, du fait que, comme nous le voyons ci-dessus, les centres de ces cercles peuvent être situés n’importe où sur la circonférence du cercle ayant pour centre ce point.
Maintenant, que se passera-t-il si nous avons deux points distincts et que nous voulons construire un cercle passant par ces deux points ? Nous notons que tout cercle passant par deux points doit avoir un centre équidistant (à égale distance) de ces deux points. Nous pouvons utiliser cette information pour déterminer les centres possibles de ce cercle. Ainsi, nous avons la méthode suivante qui permet de construire un cercle passant par deux points distincts.
Comment : Construire un cercle étant donnés deux points distincts lui appartenant
Commençons par deux points distincts et que nous voulons relier l’un à l’autre à l’aide d’un cercle.
Ces points ne sont pas nécessairement placés horizontalement, mais on peut toujours orienter la page pour qu’ils soient disposés horizontalement si on le souhaite.
- D’abord, nous traçons le segment de à .
- Ensuite, nous plaçons le milieu de ce segment.
- Maintenant, traçons une perpendiculaire passant par .
- On choisit un point appartenant à la perpendiculaire, disons . Nous construisons ensuite un cercle en plaçant la pointe du compas sur et l’autre pointe (qui comporte le crayon) sur ou , et nous traçons un cercle autour de . La figure ci-dessous nous le montre.
Nous notons que tout point appartenant à cette perpendiculaire à est équidistant de et . Donc, si nous prenons un point quelconque appartenant à cette perpendiculaire, il peut former le centre d’un cercle passant par et .
Nous notons que, comme nous pouvons choisir un point quelconque de cette perpendiculaire pour être le centre du cercle, il y a une infinité de cercles qui peuvent passer par deux points distincts donnés. Nous montrons d’autres possibilités ci-dessous.
Comme on peut le voir, la taille du cercle dépend de la distance entre le centre et le segment . Voyons un exemple qui teste notre compréhension de ce type de construction de cercle.
Exemple 1: Identifier les propriétés de la construction d’un cercle
On considère deux points et . Quel est le rayon du plus petit cercle qu’on peut tracer passant par ces deux points ?
Réponse
Rappelons que chaque point appartenant à un cercle est équidistant de son centre. Par conséquent, le centre d’un cercle passant par et doit être équidistant de ces deux points. Rappelons également que tous les points équidistants de et appartiennent à la perpendiculaire qui coupe en son milieu. Par conséquent, le centre doit appartenir à cette perpendiculaire. En prenant pour milieu, nous montrons cela sur la figure ci-dessous.
Le rayon d’un tel cercle sur cette perpendiculaire est la distance entre le centre du cercle et (ou ). Nous le démontrons ci-dessous.
Ici, nous voyons quatre centres possibles pour les cercles passant par et , notés , , et . Leurs rayons sont donnés par , , et . Nous notons que les points les plus éloignés du milieu (c. -à-d. et ) donnent des rayons plus grands, et que le point le plus proche, , donne un rayon plus petit. Nous pouvons voir que le point pour lequel la distance est la plus petite est le milieu lui-même. Si on trace un cercle autour de ce point, on aura :
Ici, on peut voir que ce rayon est égal à la moitié de la distance de . Ainsi, en utilisant le fait que est la longueur de , nous avons .
Nous avons maintenant vu comment construire des cercles passant par un ou deux points. Nous pouvons ensuite poser la question suivante : est-il également possible de le faire pour trois points ?
Rappelons que dans le cas de cercles passant par deux points distincts, et , les centres de ces cercles doivent être équidistants de ces deux points. Pour trois points distincts, , et , le centre doit être équidistant de tous les trois points. Ainsi, afin de construire un cercle passant par trois points, nous devons d’abord suivre la méthode qui consiste à déterminer les points qui sont équidistants de deux des points, et le faire deux fois. Plus précisément, nous allons déterminer les points qui appartiennent aux perpendiculaires tracées et qui sont équidistants de deux ensembles de points et , et et (ou et ). On détermine ensuite le point d’intersection de ces deux perpendiculaires, qui est un seul point équidistant des trois points à la fois.
Montrons comment trouver un tel centre dans la partie pratique suivante.
Comment : Construire un cercle connaissant trois de ses points.
- Commençons par considérer trois points , et .
- Tracez des segments entre deux paires de points quelconques. Ici, nous allons tracer des segments de à et de à (mais il est à noter qu’un segment de à serait possible également).
- Déterminez les milieux de ces segments. Nous les désignerons par et .
- Comme précédemment, tracez des perpendiculaires à ces segments, passant par et . Si possible, déterminez le point d’intersection de ces perpendiculaires, que nous notons .
- Enfin, placez la pointe du compas sur , qui est le centre du cercle, et l’autre pointe (qui comporte le crayon) sur , ou , puis tracez le cercle.
Nous notons que comme les deux perpendiculaires ne peuvent jamais se couper en plus d’un point, cela signifie qu’il peut y avoir au maximum un cercle passant par trois points. Cela conduit à la question suivante.
Exemple 2: Identifier des informations relatives à la construction d’un cercle
Vrai ou faux : si un cercle passe par trois points, alors ces trois points doivent être alignés.
Réponse
Tout d’abord, si trois points ne sont pas alignés, peut-on tracer un cercle qui passe par ces points ? On considère le cercle ci-dessous et on prend trois points quelconques, , et .
Ici, nous pouvons voir que bien que nous puissions tracer un segment passant par n’importe quelle paire de points, ils ne sont pas tous alignés. Donc, nous pouvons tout de suite dire que l’affirmation indiquée dans la question est fausse : trois points appartenant à un cercle ne sont pas nécessairement alignés.
Que se passerait-il s’ils étaient tous alignés ? Prenons trois points alignés comme le montre la figure suivante.
Si on applique la méthode de construction d’un cercle étant donnés trois points, on trace des segments qui les relient et on détermine leurs milieux pour obtenir ce qui suit.
Ensuite, on trace des perpendiculaires passant par les milieux et .
Ici, on peut voir que les points équidistants de et appartiennent à la perpendiculaire (bleue en pointillés) qui coupe en son milieu et les points équidistants de et appartiennent à la perpendiculaire (verte en pointillés) qui coupe en son milieu. Cependant, on a un problème. Comme les perpendiculaires qui coupent et en leurs milieux sont parallèles, elles ne se couperont jamais. Ainsi, il n’y a pas de point équidistant des trois points. Cela nous montre que nous ne pouvons pas tracer un cercle passant par ces points.
En conclusion, la réponse est faux, c’est en fait le contraire qui est vrai. Si un cercle passe par trois points, alors ils ne peuvent pas être alignés.
Cet exemple conduit à la règle suivante, dont nous aurons peut-être besoin dans de futurs exemples.
Règle : Construire un cercle passant par trois points distincts
Nous pouvons construire exactement un cercle passant par trois points distincts quelconques, à condition que ces points ne soient pas sur la même droite (c’est-à-dire que les points ne doivent pas être alignés).
Approfondissons davantage nos connaissances sur la construction d’un cercle et sur comment cela fonctionne.
Exemple 3: Identifier des informations sur la construction d’un cercle
Vrai ou faux : il existe un cercle passant par les sommets de n’importe quel triangle.
Réponse
Rappelons que nous pouvons construire un cercle passant par trois points distincts quelconques à condition qu’ils ne soient pas alignés. Il est également possible de tracer des segments passant par trois points distincts pour former un triangle comme suit.
C’est possible pour trois points distincts quelconques, à condition qu’ils ne soient pas alignés. S’ils sont alignés, tracer des segments les reliant n’aboutirait qu’à tracer un segment, pas un triangle.
Maintenant, rappelons que pour trois points distincts quelconques, tant qu’ils ne sont pas alignés, nous pouvons tracer un cercle passant par ces points. Ainsi, nous avons ce qui suit :
- Un triangle peut être décomposé en trois points distincts (ses sommets) qui ne sont pas alignés.
- On peut tracer un cercle qui passe par trois points distincts non alignés.
Ainsi, nous pouvons conclure que l’affirmation « il existe un cercle passant par les sommets de n’importe quel triangle » doit être vraie.
Cet exemple conduit à une autre règle utile à garder à l’esprit.
Règle : Tracer un cercle passant par les sommets d’un triangle
Pour chaque triangle, il existe exactement un cercle qui passe par tous les sommets de ce triangle. C’est ce qu’on appelle un cercle circonscrit.
En gardant à l’esprit la règle précédente, on étudie un autre exemple équivalent.
Exemple 4: Comprendre comment construire un cercle passant par trois points
Sur les figures suivantes, deux types de construction géométrique ont été réalisés sur le même triangle, . Quel point sera le centre du cercle passant par les sommets de ce triangle ?
Réponse
Rappelons que pour tout triangle, on peut tracer un cercle qui passe par les sommets de ce triangle. Pour la construction d’un tel cercle, on peut dire ce qui suit :
- Le centre de ce cercle doit être équidistant des sommets, , et .
- On peut déterminer les points équidistants de deux paires de points en prenant leurs médiatrices.
- Prendre l’intersection de ces médiatrices nous donne un point qui est équidistant de , et .
On le voit sur le triangle à droite : les côtés du triangle sont coupés en leurs milieux (codés par une, deux ou trois marques), des perpendiculaires sont déterminées (représentées par les angles droits), et le centre du cercle est repéré à l’aide de l’intersection des médiatrices. Comme cela correspond au raisonnement ci-dessus, doit être le centre du cercle.
Pour le triangle à gauche, les angles du triangle ont été coupés en deux et le point a été trouvé à l’aide de l’intersection de ces bissectrices. Cependant, ce point ne correspond pas au centre d’un cercle car il n’est pas nécessairement équidistant des trois sommets.
Ainsi, le point qui est le centre d’un cercle passant par tous les sommets est .
Pour notre dernier exemple, on étudie une autre règle générale qui s’applique à tous les cercles.
Exemple 5: Déterminer si les cercles peuvent se couper en plus de deux points
Vrai ou faux : deux cercles distincts peuvent se couper en plus de deux points.
Réponse
On suppose dans cette question que les deux cercles sont distincts ; s’il s’agissait du même cercle tracé deux fois, il se couperait avec lui-même en tous les points du cercle.
Étudions tous les cas où on peut avoir des cercles qui se coupent. Pour commencer, on peut avoir des cas où les cercles ne se coupent pas du tout.
Les cercles pourraient aussi se couper en un seul point, .
De plus, les cercles peuvent se couper en deux points, et .
Est-il possible que deux cercles distincts se coupent plus que deux fois ? Supposons que deux cercles se coupent trois fois. Cela signifie qu’il existe trois points d’intersection , et , pour lesquels les deux cercles passent par ces trois points. Rappelons que nous savons qu’il y a exactement un cercle qui passe par trois points , et qui ne sont pas tous alignés. Puisqu’il n’y a qu’un seul cercle où cela peut arriver, la réponse doit être faux : deux cercles distincts ne peuvent pas se couper en plus de deux points.
Terminons par récapituler quelques points clés que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- On peut tracer un nombre quelconque de cercles passant par un seul point en choisissant un autre point et en traçant un cercle de rayon égal à la distance entre les points.
- On peut tracer un nombre quelconque de cercles passant par deux points distincts et , en prenant la médiatrice du segment et en traçant un cercle de centre appartenant à cette médiatrice.
- Le plus petit cercle qu’on peut tracer pour qu’il passe par deux points distincts et a son centre sur le segment de à et a un rayon égal à .
- On peut tracer un seul cercle passant par trois points distincts , et à condition que les points ne soient pas alignés. Nous le faisons en trouvant les médiatrices de et , puis en déterminant leur intersection et en traçant un cercle autour de ce point passant par , et .
- Deux cercles distincts peuvent se couper en deux points au plus.
