Transcription de vidéo
Construire des cercles
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment construire des cercles en connaissant un, deux ou trois points. Nous verrons également sous quelles conditions nous pouvons construire ces cercles et, en particulier, comment trouver le cercle circonscrit à un triangle. Il s’agit du cercle passant par ses trois sommets.
Commençons par rappeler la définition d’un cercle. Un cercle est l’ensemble de tous les points situés à une distance fixe d’un autre point appelé son centre. Et cette distance fixe est appelée le rayon du cercle. Ainsi, chaque point de ce cercle est équidistant du point 𝑀. Si nous appelons le rayon 𝑟, alors la distance entre 𝑀 et 𝐴 sera 𝑟 pour tout point du cercle. Et il convient également de noter que le segment entre 𝑀 et 𝐴 est appelé un rayon du cercle. Donc la longueur du rayon est égale à 𝑟 et cette distance est parfois simplement appelée le rayon.
Maintenant que nous avons rappelé la définition d’un cercle, nous sommes prêts à parler des conditions sous lesquelles nous pouvons construire un cercle. Commençons par essayer de construire un cercle passant par un point 𝐴. Nous choisissons pour cela simplement un point distinct dans plan qui sera le centre du cercle. Nous appelons ce point 𝑀. Ensuite, comme chaque point du cercle doit être équidistant du point 𝑀, nous pouvons trouver le rayon du cercle. Il est égal à la distance entre 𝑀 et 𝐴. Cela définit alors notre cercle mathématiquement ; il est de centre 𝑀 et de rayon 𝑟.
Nous pouvons également tracer ce cercle en utilisant un compas. On place la pointe du compas sur le point 𝑀 et on ajuste le compas de sorte que le rayon soit égal à 𝑟 ou que le crayon se trouve sur le point 𝐴. Faire tourner le compas permet alors de tracer un cercle passant par le point 𝐴. Mais rappelez-vous que nous aurions pu choisir n’importe quel autre point 𝑀 distinct dans plan pour être le centre du cercle. Cela signifie qu’il existe une infinité de cercles passant par le point 𝐴. Une propriété encore plus forte est en fait vraie. Il existe une infinité de cercles superposables au cercle que nous venons de tracer passant par le point 𝐴. On rappelle que deux figures superposables doivent avoir la même taille et la même forme. Donc pour qu’un cercle soit superposable au cercle que nous avons tracé, il doit simplement être de même rayon.
Pour vérifier pourquoi cela est vrai, commençons par tracer un cercle de rayon 𝑟 et de centre 𝐴. Bien sûr, puisque 𝑀 est à une distance 𝑟 du point 𝐴, 𝑀 se trouve sur ce cercle. En fait, tout point du cercle de centre 𝐴 est à une distance 𝑟 de 𝐴. Par exemple, la distance entre le point 𝑀 deux et 𝐴 est 𝑟. Mais nous pouvons maintenant tracer un cercle de rayon 𝑟 et de centre 𝑀 deux. Cela nous donne alors un deuxième cercle passant par le point 𝐴 qui est également de rayon 𝑟. Nous avons donc tracé deux cercles de rayon 𝑟 passant tous les deux par le point 𝐴. Ce sont des cercles superposables. Et nous pouvons choisir n’importe quel point du cercle de centre 𝐴 et de rayon 𝑟 pour être le centre d’un tel cercle. Cela signifie qu’il existe une infinité de cercles superposables passant par le point 𝐴 et de rayon 𝑟.
Maintenant que nous avons vu comment construire un cercle passant par un point, essayons de construire un cercle passant par deux points distincts. Prenons par exemple les points 𝐴 et 𝐵. Pour construire un cercle, nous avons vu que nous avons besoin de deux choses. Nous devons déterminer son centre et son rayon. Comme les deux points 𝐴 et 𝐵 doivent être sur le cercle, ils doivent être à la même distance du centre du cercle. Donc, la première chose que devons faire est de trouver un point à égale distance de 𝐴 et 𝐵. Nous rappelons pour cela la propriété suivante. Tout point équidistant de deux points 𝐴 et 𝐵 se trouve sur la médiatrice du segment 𝐴𝐵.
Avant de voir pourquoi cela est vrai, commençons par tracer la médiatrice du segment 𝐴𝐵. Nous traçons le segment 𝐴𝐵 et nous appelons son milieu 𝑀. Nous savons alors que 𝐴𝑀 et 𝑀𝐵 sont de même longueur. Et c’est en fait déjà suffisant pour répondre à la question. 𝑀 est équidistant des points 𝐴 et 𝐵, nous pourrions donc le choisir comme centre du cercle. Nous devrions ensuite simplement définir le rayon comme la distance entre 𝐴 et 𝑀 ou entre 𝑀 et 𝐵. Cela ne nous donnerait cependant qu’un seul cercle passant par et 𝐵. Essayons de voir si nous pouvons en trouver d’autres.
Nous traçons maintenant une droite perpendiculaire au segment 𝐴𝐵 passant par 𝑀. Il s’agit de la médiatrice de 𝐴𝐵. La propriété précédente nous indique alors que tout point de cette droite est équidistant de 𝐴 et 𝐵, et que tout point équidistant de 𝐴 et 𝐵 se trouve également sur cette droite. Et nous pouvons démontrer que cela est vrai. Par exemple, montrons que 𝑀 deux est équidistante de 𝐴 et 𝐵. Nous avons deux triangles rectangles, le triangle 𝐴𝑀𝑀 deux et le triangle 𝐵𝑀𝑀 deux. Nous pouvons trouver une expression de l’hypoténuse de chaque triangle en utilisant le théorème de Pythagore.
On rappelle qu’il stipule que le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Donc dans le triangle de gauche, on a 𝐴𝑀 deux au carré égale 𝐴𝑀 au carré plus 𝑀𝑀 deux au carré. Mais on rappelle que 𝐴𝑀 est égal à 𝑀𝐵. On peut donc remplacer la longueur de 𝐴𝑀 par 𝑀𝐵 dans l’équation. Cela nous donne alors 𝑀𝐵 au carré plus 𝑀𝑀 deux au carré.
Mais d’après le théorème de Pythagore, cela est en fait égal au carré de l’hypoténuse de l’autre triangle rectangle. Donc d’après le théorème de Pythagore, cela est égal à 𝐵𝑀 deux au carré. On réécrit maintenant le membre gauche de l’équation. 𝐴𝑀 deux au carré égale 𝐵𝑀 deux au carré. Et comme il s’agit de deux longueurs, on peut simplement prendre la racine carrée positive des deux membres de l’équation. La distance entre 𝐴 et 𝑀 deux est égale à la distance entre 𝐵 et 𝑀 deux. Par conséquent, tout point sur cette droite est équidistant de 𝐴 et 𝐵, ce qui signifie qu’il peut être le centre d’un cercle passant par 𝐴 et 𝐵.
Par exemple, pour tracer un cercle de centre 𝑀 trois passant par 𝐴 et 𝐵, il suffit de mettre la pointe du compas sur le point 𝑀 trois puis de choisir le rayon égal à la distance entre 𝑀 trois et 𝐴 ou 𝐵. Encore une fois, comme nous pouvons choisir n’importe quel point situé sur la médiatrice, il existe une infinité de cercles passant par 𝐴 et 𝐵. Passons maintenant à une question demandant de calculer le rayon du plus petit cercle passant par deux points 𝐴 et 𝐵.
Soient deux points 𝐴 et 𝐵. Quel est le rayon du plus petit cercle passant par ces deux points ?
Dans cette question, nous devons déterminer le rayon du plus petit cercle passant par deux points 𝐴 et 𝐵. Pour cela, nous commençons par rappeler que chaque point d’un cercle est équidistant de son centre. Et nous rappelons également une autre propriété. Chaque point équidistant des deux points 𝐴 et 𝐵 se situe sur la médiatrice de 𝐴𝐵. Le centre de notre cercle doit donc se trouver sur la médiatrice de 𝐴𝐵. Commençons par la tracer. On trace le segment de 𝐴 à 𝐵 puis on marque son milieu. On l’appelle 𝑀. La médiatrice de 𝐴𝐵 est alors la droite perpendiculaire à 𝐴𝐵 passant par 𝑀. Tout point situé sur cette droite est équidistant de 𝐴 et 𝐵.
Et nous pouvons donc choisir ces points pour être le centre de notre cercle. Par exemple, 𝑀, 𝑀 deux, 𝑀 trois ou 𝑀 quatre pourraient être les centres de notre cercle. Le rayon de ce cercle serait alors simplement égal à la distance entre le centre et n’importe quel point du cercle, par exemple, la distance entre le centre et le point 𝐴. Graphiquement, il semble que plus on s’éloigne du point 𝑀, plus ce rayon est grand. En nous pouvons prouver que c’est bien le cas. Par exemple, nous pouvons voir que le triangle 𝐴𝑀𝑀 deux est un triangle rectangle. En particulier, cela signifie que son hypoténuse est plus longue que les deux autres côtés. 𝐴𝑀𝑀 trois est également un triangle rectangle et 𝐴𝑀𝑀 quatre est un autre triangle rectangle. Donc 𝑟 trois est plus grand que 𝑟 et 𝑟 quatre est plus grand que 𝑟. Par conséquent, 𝑀 est le centre du cercle de plus petit rayon qui passe par 𝐴 et 𝐵.
Et bien que cela ne nous ait pas été demandé, nous pouvons même tracer ce cercle en plaçant la pointe de notre compas sur le point 𝑀 et le crayon au point 𝐴 ou 𝐵. La question demandait de calculer le rayon de ce cercle. Rappelez-vous que nous avons défini 𝑀 comme étant le milieu du segment 𝐴𝐵. Et cela signifie que la valeur de 𝑟 est égale à la moitié de la distance de 𝐴 à 𝐵. En d’autres termes, le rayon du plus petit cercle passant par deux points distincts 𝐴 et 𝐵 est égal à la moitié de la distance de 𝐴 à 𝐵.
Jusqu’à présent, nous avons construit des cercles passant par un point ou par deux points distincts. Essayons maintenant de construire un cercle passant par trois points distincts 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Nous devons pour cela trouver le centre de ce cercle qui doit être à égale distance des trois points. Si le centre du cercle est à égale distance des trois points, alors il doit être à égale distance de 𝐴 et de 𝐵. Et l’ensemble de tous les points équidistants de 𝐴 et 𝐵 se situe sur la médiatrice de 𝐴𝐵. On commence donc par trouver le milieu du segment entre 𝐴 et 𝐵. Puis on trace la droite perpendiculaire au segment 𝐴𝐵 passant par le milieu 𝑀 un. Chaque point équidistant de 𝐴 et 𝐵 se situe sur la médiatrice de 𝐴𝐵. Donc, si le centre de notre cercle existe, il doit se situer sur cette droite.
Mais le même raisonnement s’applique pour les points 𝐶 et 𝐵. Le centre du cercle doit être équidistant de 𝐶 et 𝐵, il doit donc se trouver sur la médiatrice du segment 𝐵𝐶. On ajoute donc la médiatrice de 𝐵𝐶 au schéma. On trouve le point 𝑀 deux qui est le milieu de ce segment puis on trace une droite perpendiculaire à ce segment passant par 𝑀 deux. Chaque point sur cette droite est équidistant de 𝐵 et 𝐶, et nous pouvons voir qu’il existe un point d’intersection entre les deux médiatrices. Puisque ce point se trouve sur les deux médiatrices, il est équidistant de 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Cela signifie que nous pouvons construire un cercle de centre 𝑀 passant par les trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Le rayon de ce cercle sera alors la distance entre 𝑀 et 𝐴, 𝑀 et 𝐵 ou 𝑀 et 𝐶.
Nous pouvons alors nous poser une autre question. Existe-t-il un autre cercle passant par ces trois points ? Et en utilisant exactement le même raisonnement, nous pouvons montrer que ce n’est pas le cas. Il n’existe qu’un seul cercle passant par ces trois points. Pour voir pourquoi cela est vrai, rappelez-vous que le centre de notre cercle doit se situer sur la médiatrice entre 𝐴 et 𝐵 et sur la médiatrice entre 𝐵 et 𝐶. Et dans le plan, des droites distinctes ne peuvent se couper qu’en un point au plus. Donc 𝑀 est le seul point appartenant à ces deux droites. Par conséquent, il est le seul centre possible de ce cercle. Et il s’agit donc de l’unique cercle passant par 𝐴, 𝐵 et 𝐶.
Nous pouvons en fait aller un peu plus loin. Et si nous cherchions un cercle passant également par un autre point 𝐷 ? Nous pouvons voir que 𝐷 ne se trouve pas sur le cercle. Et comme il s’agit du seul cercle qui passe par 𝐴, 𝐵 et 𝐶, nous pouvons conclure qu’il n’existe pas de cercle passant par ces quatre points. Nous avons pour le moment uniquement montré que nous pouvons construire un cercle passant par ces trois points. Et si nous avions trois autres points ? Cela est-il possible en général ? Dans le prochain exemple, nous allons établir la condition sous laquelle il est possible de tracer un cercle passant par trois points.
Vrai ou faux : si un cercle passe par trois points, les trois points doivent être sur une même droite.
Pour répondre à cette question, commençons par tracer un cercle. Nous pouvons choisir trois points sur ce cercle. Nous les appelons 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Nous pouvons voir que ces trois points ne se trouvent pas sur une même droite. Alors que le cercle passe bien par ces trois points. Cela suffit pour prouver que l’affirmation est fausse. Si un cercle passe par trois points, les trois points n’ont pas besoin d’appartenir à la même droite.
Cela nous amène à nous poser une question intéressante. Que se passerait-il si les trois points étaient alignés ? Par exemple, pouvons-nous construire un cercle passant par ces trois points 𝑃, 𝑄 et 𝑅 ? Le centre du cercle doit être à égale distance de ces trois points. En particulier, le centre du cercle doit être à égale distance de 𝑃 et de 𝑄. Et nous savons que la médiatrice de 𝑃𝑄 contient tous les points équidistants de 𝑃 et 𝑄. Donc, le centre de notre cercle doit se situer sur cette droite. De même, le centre de ce cercle est équidistant de 𝑄 et 𝑅, il doit donc se trouver sur la médiatrice de 𝑄𝑅.
Et nous faisons alors face à un problème. Ces deux droites sont parallèles. Elles ne se coupent jamais, donc il n’y a pas de point équidistant de 𝑃, 𝑄 et 𝑅. Cela conduit à un résultat légèrement plus fort. Il n’existe aucun cercle passant par trois points distincts situés sur une même droite. Nous pouvons donc répondre à la question par faux. Si un cercle passe par trois points, les trois points ne doivent pas nécessairement être alignés. L’affirmation est fausse.
Nous pouvons alors donner une propriété encore plus forte. Si trois points ne sont pas alignés, ce qui signifie qu’ils ne se situent pas sur une même droite, alors il existe un unique cercle passant par ces trois points. Et nous avons vu comment construire ce cercle précédemment. Il suffit de trouver l’intersection des médiatrices de deux couples de ces points. Cela nous donne le centre du cercle ; et le rayon du cercle est alors égal à la distance entre ce centre et l’un des trois points. Voyons maintenant un exemple d’utilisation de cette propriété dans un problème impliquant des triangles.
Vrai ou faux : il est possible de tracer un cercle passant les sommets de tout triangle.
Pour répondre à cette question, nous pourrions commencer par dessiner un triangle et voir comment nous pourrions construire un cercle passant par ses trois sommets. Cela n’est cependant pas nécessaire car nous pouvons simplement rappeler une propriété utile des cercles. Nous savons que pour trois points non alignés, il existe un unique cercle passant par ces trois points ; où on rappelle que des points non alignés signifie qu’ils ne se situent pas sur une même droite. Et les sommets d’un triangle ne se situent pas sur une même droite. Il s’agit de la définition même d’un triangle. Pour trois points situés sur une même droite, si nous essayions en effet de les relier, nous nous retrouverions simplement avec une droite.
Par conséquent, nous pouvons simplement énoncer cette propriété pour montrer que la réponse est « vraie ». Il est possible de tracer un cercle passant par les sommets de tout triangle. On l’appelle cercle circonscrit au triangle.
Voyons maintenant un exemple où nous devons déterminer comment construire le cercle circonscrit à un triangle.
Sur les schémas suivants, deux types d’éléments ont été ajoutés au même triangle 𝐴𝐵𝐶. Quel point est le centre du cercle passant par les sommets du triangle ?
Dans cette question, nous devons déterminer le centre d’un cercle passant les trois sommets d’un triangle. Ce sont les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Nous rappelons pour cela que le centre d’un cercle est équidistant de tous les points sur la circonférence du cercle. Par conséquent, nous devons déterminer quel point sur l’un des deux schémas est équidistant des trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Nous voyons que les médiatrices des trois côtés du triangle sont représentées sur le deuxième schéma. Elles coupent en effet les côtés du triangle suivant un angle droit. Et elles coupent les côtés du triangle en en leurs milieux, ce qui est représenté par un, deux ou trois petits traits.
Cela est utile car chaque point de la médiatrice de 𝐵𝐶 est à égale distance de 𝐵 et 𝐶. En particulier, le point 𝐹 est équidistant de 𝐵 et de 𝐶. Cette propriété est vraie pour toute médiatrice et nous pouvons voir que 𝐹 se trouve également sur la médiatrice de 𝐴𝐵. Donc 𝐹 est aussi équidistant de 𝐴 et 𝐵. Cela signifie qu’il est à égale distance des trois sommets du triangle. Par conséquent, si on trace un cercle de centre 𝐹 et de rayon égal à la distance entre 𝐴 et 𝐹, on obtient un cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
Cela n’est pas le cas du point 𝑁 ; le fait qu’il se trouve à l’intersection des bissectrices des angles du triangle ne signifie pas nécessairement qu’il est à égale distance des trois sommets du triangle. Par conséquent, nous pouvons conclure que le point 𝐹 est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle.
Dans le dernier exemple, nous allons étudier une propriété concernant le nombre d’intersections de deux cercles distincts.
Vrai ou faux : deux cercles distincts peuvent se couper en plus que deux points.
Pour répondre à cette question, commençons par réfléchir à la manière dont des cercles peuvent se couper. Il existe deux situations dans lesquelles deux cercles n’ont aucun point d’intersection. Il peut s’agir d’un cercle à l’intérieur d’un autre cercle ou de deux cercles côte à côte. Il est également possible que deux cercles ne se coupent qu’en un seul point et cela peut se produire de deux manières différentes. Les deux cercles peuvent être côte à côte ou un cercle peut être à l’intérieur de l’autre. Dans les deux cas, les cercles n’ont qu’un seul point d’intersection. Enfin, il est possible que deux cercles se coupent en deux points distincts, par exemple pour la figure suivante qui ressemble à un diagramme de Venn.
Mais pourrions-nous trouver deux cercles qui se coupent en trois points distincts ? Si les trois points d’intersection sont non alignés, alors nous savons qu’il existe un unique cercle passant par ces trois points. Il s’agit du cercle circonscrit au triangle 𝐴𝐵𝐶, et comme il est unique, nous ne pouvons pas trouver deux cercles distincts dans ce cas. Mais nous n’avons pas encore terminé. Nous devons également considérer le cas où les trois points d’intersection se situent sur une même droite. Cela n’est en fait pas possible non plus car nous rappelons qu’il n’existe aucun cercle passant par trois points situés sur une même droite. Par conséquent, nous avons montré que l’affirmation est fausse. Deux cercles distincts ne peuvent pas se couper en plus que deux points.
Récapitulons maintenant les points clés de cette vidéo. Tout d’abord, nous avons montré qu’il existe une infinité de cercles passant par un seul point 𝐴. On peut construire un de ces cercles en choisissant n’importe quel point 𝑀 pour le centre et le rayon du cercle est alors la distance entre 𝐴 et 𝑀. Nous avons ensuite vu qu’il existe une infinité de cercles passant par deux points distincts 𝐴 et 𝐵. On peut construire un de ces cercles en choisissant n’importe quel point sur la médiatrice du segment 𝐴𝐵 pour le centre du cercle. Et le rayon de ce cercle est alors la distance entre 𝐴 et 𝑀 ou entre 𝐵 et 𝑀.
Nous avons alors montré qu’il existe un unique cercle passant par trois points distincts non alignés 𝐴, 𝐵 et 𝐶. On peut construire ce cercle en rappelant que son centre se situe à l’intersection des médiatrices des segments entre deux couples de points, par exemple, les médiatrices des segments 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Et le rayon de ce cercle est la distance entre 𝐴 et 𝑀, 𝐵 et 𝑀, ou 𝐶 et 𝑀. Et il convient également de souligner que nous avons montré que le fait que les points soient non alignés est une condition nécessaire. Si les trois points se situent sur une même droite, alors il n’existe pas de cercle passant par ces trois points. Enfin, nous avons vu que deux cercles distincts peuvent se couper en deux points au plus.
