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Étant donné que 𝐴 est la matrice carrée d’ordre deux, deux, zéro et deux, zéro, laquelle des valeurs suivantes est égale à 𝐴 à la puissance 60 ? Est-ce l’option (A) deux à la puissance 60 multipliée par la matrice carrée d’ordre deux, deux, zéro et deux, zéro ? Est-ce l’option (B) deux à la puissance 60 multipliée par la matrice carrée d’ordre deux, un, zéro et un, zéro ? Est-ce l’option (C) la matrice carrée d’ordre deux, un, zéro et un, zéro ? L’option (D) deux fois la matrice carrée d’ordre deux, un, zéro et un, zéro ? Ou est-ce l’option (E) deux à la puissance 60 multipliée par la matrice carrée d’ordre deux, un, un et un, un?
Dans cette question, on nous donne une matrice 𝐴 carrée d’ordre deux. Et nous devons déterminer laquelle des cinq options données est une représentation de 𝐴 à la puissance 60. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que signifie élever une matrice à un exposant. Nous rappelons que si 𝐴 est une matrice carrée et que l’exposant est un entier positif, cela signifie que nous multiplions la matrice par elle-même autant de fois que l’exposant l’indique. En particulier, cela nous indique que 𝐴 à la puissance 60 est 𝐴 multiplié par elle-même, où 𝐴 apparaît 60 fois dans le produit.
Et bien sûr, nous ne pourrons pas calculer ce produit directement. Puisque 𝐴 est une matrice carrée d’ordre deux, cela signifie que nous multiplions 60 matrices carrée d’ordre deux ensemble. Au lieu de cela, nous pouvons simplifier cette expression légèrement en utilisant les propriétés d’associativité de la multiplication matricielle, ce qui nous dit bien sûr que nous pouvons calculer ce produit dans n’importe quel ordre. En particulier, nous pouvons simplifier 𝐴 fois 𝐴 par 𝐴 au carré. Alors calculons l’expression de 𝐴 au carré. Rappelez-vous, c’est 𝐴 fois 𝐴, qui est la matrice carrée d’ordre deux : deux, zéro et deux, zéro multiplié par elle-même.
Pour calculer le produit de deux matrices, nous devons trouver la somme des produits des éléments correspondants dans les lignes de la première matrice avec les éléments des colonnes de la seconde matrice. Par exemple, l’élément de la première ligne et de la première colonne de la matrice 𝐴 au carré sera deux fois deux plus zéro fois deux, que nous pouvons calculer comme étant égal à quatre. Nous pouvons suivre la même méthode pour trouver l’élément dans la première ligne et la seconde colonne. C’est deux fois zéro plus zéro fois zéro. Et ces deux termes ont un facteur nul. Donc, cela nous donne zéro. Nous pouvons continuer ainsi pour trouver l’élément dans la seconde ligne de la première colonne. C’est deux fois deux plus zéro fois deux, ce que nous pouvons calculer comme étant égal à quatre. Enfin, nous pouvons trouver l’élément de la seconde ligne et de la seconde colonne. C’est égal à deux fois zéro plus zéro fois zéro, que nous pouvons calculer comme étant égal à zéro.
Par conséquent, nous avons montré que 𝐴 au carré est la matrice carrée d’ordre deux : quatre, zéro et quatre, zéro. Et c’est un résultat vraiment utile. Nous pouvons voir que c’est un multiple scalaire de la matrice 𝐴. Nous retirons le scalaire deux de cette matrice. Cela nous donne deux multiplié par la matrice carrée d’ordre deux : deux, zéro et deux, zéro, qui est juste la matrice 𝐴. Donc, 𝐴 au carré est égal à deux fois 𝐴.
Et nous pouvons maintenant utiliser cette équation pour calculer 𝐴 élevé à n’importe quel exposant entier positif. Pour voir comment nous pouvons faire, utilisons cela pour calculer 𝐴 au cube. Premièrement, nous savons que 𝐴 au cube est égal à 𝐴 fois 𝐴 fois 𝐴, que nous pouvons réécrire 𝐴 au carré fois 𝐴. On peut alors remplacer 𝐴 au carré par deux multiplié par 𝐴. Cela nous donne deux 𝐴 multiplié par 𝐴, que nous pouvons simplifier par deux 𝐴 au carré. Mais rappelez-vous, 𝐴 au carré est égal à deux 𝐴. Par conséquent, cela est égal à deux multiplié par deux 𝐴. Et deux fois deux qui est égal à quatre. Par conséquent, 𝐴 au cube est égal à quatre fois 𝐴.
Par conséquent, nous avons montré que 𝐴 au carré est égal à deux 𝐴 et 𝐴 au cube est égal à quatre 𝐴. Et nous pouvons commencer à remarquer une tendance. Chaque fois que nous multiplions par un facteur supplémentaire 𝐴, nous semblons multiplier 𝐴 par un facteur supplémentaire égal à deux. Et nous pouvons prouver que c’est vrai. Multiplions les deux membres de notre équation à droite par la matrice 𝐴. Cela nous donne 𝐴 au cube multiplié par 𝐴 égal quatre fois 𝐴 fois 𝐴.
Tout d’abord, nous simplifions 𝐴 au cube fois 𝐴 par 𝐴 à la puissance quatre. Ensuite, 𝐴 fois 𝐴 égal 𝐴 au carré. Et nous avons déjà montré que 𝐴 au carré est égal à deux 𝐴. Par conséquent, 𝐴 à la puissance quatre est égal à quatre multiplié par deux 𝐴, soit huit 𝐴. Chaque fois que nous multiplions à droite par 𝐴, nous obtenons un facteur deux supplémentaire.
Utilisons maintenant cette propriété pour trouver une expression de 𝐴 à la puissance 60. Pour ce faire, nous devons multiplier 𝐴 à la puissance quatre par 𝐴 56 fois. Et chaque fois que nous multiplions par 𝐴, nous obtenons un facteur deux supplémentaire. Nous le faisons 56 fois, donc nous obtenons 56 facteurs deux. Cela fait deux à la puissance 56. Par conséquent, 𝐴 à la puissance 60 vaut huit multiplié par deux à la puissance 56 𝐴.
Cependant, ce n’est pas l’une de nos options, nous devons donc simplifier davantage. Nous allons le faire en notant d’abord que huit vaut deux au cube. Et deux au cube multiplié par deux à la puissance 56 vaut deux à la puissance 59. Et ce n’est toujours pas l’une de nos options. Nous devons plutôt remarquer que la matrice 𝐴 possède également un facteur deux. La matrice 𝐴 vaut deux fois la matrice carrée d’ordre deux : un, zéro et un, zéro. Donc, en réécrivant 𝐴 de cette manière et en simplifiant, nous obtenons deux à la puissance 60 fois la matrice carrée d’ordre deux, un, zéro et un, zéro et nous pouvons voir que c’est l’option (B).
Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝐴 est la matrice carrée d’ordre deux : deux, zéro et deux, zéro, alors 𝐴 à la puissance 60 est égal à deux à la puissance 60 multiplié par la matrice carrée d’ordre deux : un, zéro et un, zéro, qui est l’option (B).
