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Vidéo de la leçon : Puissance d’une matrice Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le produit matriciel pour déterminer le carré et le cube d'une matrice carrée.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le produit matriciel pour déterminer le carré et le cube d'une matrice carrée. Bien qu’on puisse étendre les méthodes que nous allons utiliser à des puissances supérieures, dans cette vidéo, nous ne considérerons que le carré et le cube. Il est important de noter qu’on peut élever toute matrice carrée de dimensions 𝑛 fois 𝑛 à n’importe quelle puissance. Dans cette vidéo, nous ne traiterons que des matrices deux fois deux et trois fois trois.

Commençons par quelques définitions clés. Pour une matrice carrée 𝐴 et un entier positif 𝑘, la puissance 𝑘-ième de 𝐴 est obtenue en multipliant cette matrice par elle-même plusieurs fois. C’est-à-dire, 𝐴 puissance 𝑘 est égal à 𝐴 multiplié par 𝐴 multiplié par 𝐴, et ainsi de suite, multiplié par 𝐴, avec la matrice 𝐴 qui se répète 𝑘 fois. Dans cette vidéo, nous allons calculer la matrice 𝐴 au carré en multipliant la matrice 𝐴 par la matrice 𝐴. Nous allons aussi calculer 𝐴 au cube en multipliant la matrice 𝐴 par elle-même et par elle-même une fois de plus. Cela est équivalent à la matrice 𝐴 multipliée par la matrice 𝐴 au carré.

Alternativement, on peut multiplier la matrice 𝐴 au carré par la matrice 𝐴. Il est important de noter que, élever une matrice à une puissance n’est possible que si la matrice est carrée. Si la matrice 𝐴 est de dimension 𝑛 fois 𝑛, alors ça sera la même dimension pour 𝐴 au carré, 𝐴 au cube, ainsi de suite. Mettre une matrice au carré et au cube ne change pas sa dimension. Comme nous l’avons déjà mentionné, dans cette vidéo, nous allons nous focaliser sur les matrices carrées deux fois deux et trois fois trois. Nous allons maintenant voir un exemple dans lequel nous devons élever au carré une matrice deux fois deux.

Etant donnée la matrice 𝐴 qui est égale à moins six, un, moins cinq, cinq, déterminez 𝐴 au carré.

Nous rappelons que lorsqu’on a affaire aux puissances de matrices, la matrice 𝐴 au carré n’est définie que si la matrice 𝐴 est carrée. Dans ce cas, 𝐴 est une matrice deux fois deux. Pour calculer 𝐴 au carré, nous devons multiplier la matrice 𝐴 par elle-même. Cela est égal à moins six, un, moins cinq, cinq multiplié par moins six, un, moins cinq, cinq. Lorsqu’on multiplie des matrices, on commence par multiplier les éléments de la première ligne de la première matrice par la première colonne de la seconde matrice. L’élément ou la composante du coin supérieur gauche de la matrice résultante sera égal à moins six fois moins six plus un fois moins cinq.

Ensuite, on multiplie la première ligne de la première matrice par la seconde colonne de la seconde matrice. Cela nous donne moins six multiplié par un plus un multiplié par cinq. Nous pouvons ensuite répéter ce processus pour la seconde ligne de la première matrice. Cela nous donne moins cinq multiplié par moins six plus cinq multiplié par moins cinq et moins cinq multiplié par un plus cinq multiplié par cinq. Lorsqu’on simplifie chacun de nos éléments on obtient la matrice 31, moins un, cinq, 20. Si la matrice 𝐴 est égale à moins six, moins un, moins cinq, cinq, alors 𝐴 au carré est égal à 31, moins un, cinq, 20. Nous remarquons que la dimension de la matrice ne change pas. Et cela est vrai lorsqu’on élève une matrice carrée à n’importe quelle puissance.

Nous allons maintenant examiner ce qui se passe lorsqu’on élève une matrice trois fois trois au carré et au cube.

Soit la matrice 𝐴 qui est égale à un, un, deux, un, zéro, un, deux, un, zéro. Cette question comporte deux parties. Premièrement, déterminez 𝐴 au carré, et deuxièmement, déterminez 𝐴 au cube.

Nous rappelons que pour élever au carré une matrice, on la multiplie par elle-même. De plus, pour que la matrice 𝐴 au carré soit définie, la matrice 𝐴 doit être une matrice carrée. Dans ce cas, il s’agit d’une matrice trois fois trois. Cela signifie que 𝐴 au carré est égal à un, un, deux, un, zéro, un, deux, un, zéro multiplié par un, un, deux, un, zéro, un, deux, un, zéro. Lorsqu’on multiplie deux matrices, on commence par multiplier les éléments de la première ligne de la première matrice par la première colonne de la seconde matrice. L’élément dans le coin supérieur gauche sera égal à un fois un plus un fois un plus deux fois deux. Ce qui est égal à six.

Ensuite, on multiplie les éléments de la première ligne de la première matrice par la deuxième colonne de la seconde matrice. Cela nous donne un multiplié par un plus un multiplié par zéro plus deux multiplié par un, ce qui est égal à trois. Pour la troisième colonne de la seconde matrice, on obtient également une réponse de trois, car un multiplié par deux plus un multiplié par un plus deux multiplié par zéro est égal à trois. Nous répétons ensuite ce processus pour la deuxième ligne de la première matrice. Cela nous donne les réponses trois, deux et deux. Enfin, lorsqu’on multiplie la troisième ligne de la première matrice par chacune des colonnes de la seconde matrice on obtient les valeurs trois, deux et cinq. 𝐴 au carré est la matrice trois fois trois ; six, trois, trois, trois, deux, deux, trois, deux, cinq.

La seconde partie de notre question nous demande de déterminer la matrice 𝐴 au cube. On peut faire cela en multipliant la matrice 𝐴 par la matrice 𝐴 au carré ou en multipliant la matrice 𝐴 au carré par la matrice 𝐴. Dans cette question, nous allons utiliser la première méthode. 𝐴 au cube est égal à un, un, deux, un, zéro, un, deux, un, zéro multiplié par six, trois, trois, trois, deux, deux, trois, deux, cinq. Nous utilisons la même méthode que nous avons utilisée dans la première partie de la question. On commence par multiplier les éléments de la première ligne de la première matrice par la première colonne de la seconde matrice. Un multiplié par six plus un multiplié par trois plus deux multiplié par trois est égal à 15.

Lorsqu’on multiplie la première ligne de la première matrice par la deuxième colonne de la seconde matrice on obtient neuf. Et lorsqu’on multiplie par la troisième colonne de la seconde matrice on obtient 15. La deuxième ligne de la matrice 𝐴 au cube contient les éléments neuf, cinq et huit. Enfin, la troisième ligne est égale à 15, huit et huit. La matrice 𝐴 au cube est égale à 15, neuf, 15, neuf, cinq, huit, 15, huit, huit. Si on nous donne une matrice carrée 𝐴, nous pouvons calculer 𝐴 au carré en multipliant la matrice par elle-même et 𝐴 au cube en multipliant la matrice 𝐴 par la matrice 𝐴 au carré.

Dans notre prochaine question, nous allons simplifier une expression en utilisant des matrices au carré et au cube.

Étant donnée la matrice 𝐴, qui est égale à quatre, zéro, moins trois, sept, calculez 𝐴 au cube moins trois 𝐴 au carré.

Nous rappelons que, étant donnée une matrice carrée 𝐴, on peut calculer la matrice 𝐴 au carré en multipliant 𝐴 par elle-même. Dans cette question, 𝐴 au carré est égal à quatre, zéro, moins trois, sept multiplié par quatre, zéro, moins trois, sept. Lorsqu’on multiplie deux matrices, on commence par multiplier les éléments de la première ligne de la première matrice par les éléments de la première colonne de la seconde matrice. Quatre multiplié par quatre plus zéro multiplié par moins trois est égal à 16. Nous répétons ensuite cela pour la seconde colonne de la seconde matrice. Quatre multiplié par zéro plus zéro multiplié par sept est égal à zéro.

Ensuite, on multiplie la seconde ligne de la première matrice par chacune des colonnes de la seconde matrice. Cela nous donne moins 33 et 49. 𝐴 au carré est égal à la matrice deux fois deux ; 16, zéro, moins 33, 49. Dans notre expression, nous voulons trois 𝐴 au carré. Cela signifie qu’on doit multiplier la matrice 𝐴 au carré par le scalaire ou la constante trois. On multiplie chaque élément par trois, ce qui nous donne 48, zéro, moins 99, 147. Ensuite, nous devons calculer 𝐴 au cube, et nous savons que cela est égal à 𝐴 multiplié par 𝐴 au carré. 𝐴 au cube est donc égal à quatre, zéro, moins trois, sept multiplié par 16, zéro, moins 33, 49. Nous multiplions ces deux matrices exactement comme nous avons calculé 𝐴 au carré, ce qui nous donne 𝐴 au cube est égal à 64, zéro, moins 279, 343.

Nous avons maintenant une matrice pour 𝐴 au cube et aussi pour trois 𝐴 au carré. On nous demande dans la question de les soustraire. On a 64, zéro, moins 279, 343 moins 48, zéro, moins 99, 147. Lorsqu’on soustrait des matrices, on soustrait les différents éléments ou composantes. Cela signifie qu’on commence par soustraire 48 de 64. Cela est égal à 16. Lorsqu’on soustrait les éléments du coin supérieur droit on obtient zéro. Moins 279 moins moins 99 revient à ajouter 99 à moins 279. Cela est égal à moins 180. Enfin, 343 moins 147 est égal à 196. Si la matrice 𝐴 est égale à quatre, zéro, moins trois, sept, alors 𝐴 au cube moins trois 𝐴 au carré est égal à 16, zéro, moins 180, 196.

Dans notre dernière question, nous allons résoudre un système d’équations du premier degré en effectuant des opérations sur des matrices.

Sachant que la matrice 𝑀 est égale à cinq, six, moins cinq, moins quatre, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 telles que 𝑀 au carré plus 𝑥𝑀 plus 𝑦𝐼 est égal à 𝑂, où 𝑂 est la matrice nulle de dimension deux fois deux et 𝐼 est la matrice unité de dimension deux fois deux.

Nous rappelons que tous les éléments d’une matrice nulle sont des zéros. Par conséquent, la matrice 𝑂 est égale à zéro, zéro, zéro, zéro. La matrice unité ou identité a des uns sur sa diagonale principale et des zéros partout ailleurs. Par conséquent, 𝐼 est égal à un, zéro, zéro, un. Lorsqu’on multiplie une matrice par une constante, dans ce cas 𝑥 et 𝑦, on multiplie simplement chaque élément de la matrice par la constante. Cela signifie que la matrice 𝑦𝐼 est égale à 𝑦, zéro, zéro, 𝑦. Puisque 𝑀 est égal à cinq, six, moins cinq, moins quatre, alors 𝑥𝑀 est égal à cinq 𝑥, six 𝑥, moins cinq 𝑥, moins quatre 𝑥. Enfin, nous devons calculer la matrice 𝑀 au carré. Ceci est égal à la matrice 𝑀 multipliée par elle-même. On doit multiplier cinq, six, moins cinq, moins quatre par cinq, six, moins cinq, moins quatre.

Lorsqu’on multiplie deux matrices, on multiplie chacune des lignes de la première matrice par chacune des colonnes de la seconde matrice. Cinq multiplié par cinq plus six multiplié par moins cinq est égal à moins cinq. Lorsqu’on multiplie les éléments de la première ligne de la première matrice par la seconde colonne de la seconde matrice on obtient six. Si on répète cela pour la seconde ligne de la première matrice, on obtient les éléments moins cinq et moins 14. Lorsqu’on introduit les quatre matrices dans l’équation, on a moins cinq, six, moins cinq, moins 14 plus cinq 𝑥, six 𝑥, moins cinq 𝑥, moins quatre 𝑥 plus 𝑦, zéro, zéro, 𝑦 est égal à zéro, zéro, zéro, zéro. Nous pouvons maintenant mettre en place quatre équations et comparer les composantes ou éléments correspondants.

Lorsqu’on compare les éléments du coin supérieur gauche, on a moins cinq plus cinq 𝑥 plus 𝑦 est égal à zéro. Nous l’appellerons équation un. Les éléments du coin supérieur droit nous donnent six plus six 𝑥 plus zéro est égal à zéro. Puisqu’il n’y avait qu’un inconnu dans cette équation, nous pouvons la résoudre. Lorsqu’on soustrait six des deux membres on a six 𝑥 est égal à moins six. Si on divise les deux membres de cette équation par six on obtient 𝑥 est égal à moins un. Nous pouvons ensuite introduire cette valeur dans l’équation un pour calculer la valeur de 𝑦. Lorsqu’on simplifie le membre gauche, on a moins 10 plus 𝑦 est égal à zéro. Cela signifie que 𝑦 est égal à 10. Les valeurs de 𝑥 et 𝑦 sont respectivement moins un et 10.

Nous devons cependant vérifier si ces valeurs sont valables pour la ligne inférieure de nos matrices. Ici, nous avons les deux équations : moins cinq plus moins cinq 𝑥 plus zéro est égal à zéro et moins 14 plus moins quatre 𝑥 plus 𝑦 est égal à zéro. Si on ajoute cinq 𝑥 aux deux membres de la première équation on obtient cinq 𝑥 est égal à moins cinq. Et si on divise les deux membres par cinq, on constate que 𝑥 est encore une fois égal à moins un. Lorsqu’on substitue 𝑥 égale moins un dans la seconde équation on a moins 14 plus quatre plus 𝑦 est égal à zéro. Encore une fois, cela confirme que 𝑦 est égal à 10. Si la matrice 𝑀 est égale à cinq, six, moins cinq, moins quatre, alors les valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui vérifient l’équation 𝑀 au carré plus 𝑥𝑀 plus 𝑦𝐼 égale 𝑂 sont 𝑥 égale moins un et 𝑦 égale 10.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Pour une matrice carrée 𝐴 et un entier positif 𝑘, 𝐴 puissance 𝑘 est égal à 𝐴 multiplié par 𝐴 multiplié par 𝐴, et ainsi de suite, multiplié par 𝐴, avec la matrice 𝐴 qui se répète 𝑘 fois. La puissance d’une matrice n’est bien définie que si la matrice est carrée. Dans cette vidéo, nous avons traité des matrices carrées deux fois deux et trois fois trois. Cependant, cela s’étend à toute matrice carrée de dimension 𝑛 fois 𝑛. Dans cette vidéo, nous avons utilisé la règle générale pour élever au carré et au cube les matrices, où 𝐴 au carré est égal à 𝐴 multiplié par 𝐴 et 𝐴 au cube est égal à 𝐴 au carré multiplié par 𝐴 ou 𝐴 multiplié par 𝐴 au carré. On peut également utiliser cette méthode pour des puissances supérieures.

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