Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le produit matriciel pour déterminer le carré et le cube d’une matrice carrée.
Beaucoup d’opérations de l’algèbre linéaire telles que l’addition, la soustraction et la mise à l’échelle, sont très semblables aux opérations connues de l’algèbre conventionnelle. En outre, bien que le produit matriciel soit fondamentalement plus complexe que son équivalent conventionnel, il reflète encore, dans une certaine mesure, certaines des propriétés algébriques de la multiplication originale.
Une opération centrale de l’algèbre conventionnelle et de l’algèbre linéaire est l’exponentiation, qui est communément appelée élever à une puissance un nombre ou une matrice. En algèbre conventionnelle, il est possible de prendre n’importe quel nombre et de l’élever à une puissance , donnant . À l’exception de prendre zéro à une puissance négative, peu importe que ou soit nul, non nul, entier, non entier, rationnel, non rationnel ou complexe, car le résultat peut toujours être calculé. La même chose n’est pas vraie dans l’algèbre linéaire, où une matrice ne peut pas être toujours élevée à une puissance donnée. Pour mieux cerner ces complications potentielles, définissons d’abord la forme la plus simple d’exponentiation matricielle : l’élévation au carré d’une matrice.
Définition : Carré d’une matrice
Si est une matrice carrée, est définie par
En d’autres termes, comme pour l’exponentiation des nombres (c.-à-d. ), le carré est obtenu en multipliant la matrice par elle-même.
Comme on peut le constater, la condition la plus élémentaire pour définir une exponentiation matricielle est la suivante : doit être au carré. En effet, pour deux matrices générales et , le produit matriciel est seulement bien défini s’il y a le même nombre de colonnes dans comme il y a des lignes dans . Si est de dimension et est de dimension , alors est bien définie et est de dimension . Si l’on ne considère que la matrice et qu’on tente de compléter le produit matriciel , alors on essaierait de multiplier une matrice de dimension par une autre matrice de dimension . Cela ne peut être bien défini que si , ce qui signifie que doit être une matrice de dimension (en d’autres termes, le carré). La dimension de est donc identique à la matrice d’origine .
Il y a aussi d’autres restrictions liées à l’élévation aux puissances des matrices qui n’existent pas pour les nombres réels. Par exemple, contrairement aux nombres réguliers, nous n’avons aucun moyen de définir ce que représente , et la puissance négative d’une matrice est beaucoup plus difficile à calculer. De plus, les lois habituelles de l’exponentiation ne s’étendent pas nécessairement aux matrices de la même manière que pour les nombres, chose que nous étudierons plus loin dans cette fiche explicative.
Pour l’instant, montrons comment l’élévation au carré fonctionne dans un cas simple et facile. On définit la matrice
Pour calculer une matrice , on multiplie la matrice par elle-même. En d’autres termes, nous avons
Comme prévu, cette multiplication est bien définie, car nous avons une matrice de dimension multipliée par une matrice de dimension . Il reste maintenant à compléter le produit matriciel, que nous pouvons faire pour chaque coefficient en multipliant les éléments par une ligne de la matrice de gauche par les éléments de la colonne de la matrice de droite et en les additionnant. Nous démontrons cette démarche ci-dessous :
Maintenant que tous les coefficients ont été calculés, nous pouvons écrire que
Considérons maintenant un exemple où nous pouvons appliquer cette technique d’élévation au carré d’une matrice pour résoudre un problème.
Exemple 1: Déterminer le carré d’une matrice
Pour écrivez sous forme de multiple de .
Réponse
Avant d’essayer d’écrire sous forme de multiple de , nous devons calculer elle-même. En complétant le produit matriciel nécessaire, on obtient
La matrice de sortie est la même que la matrice d’origine , sauf que chaque coefficient a été multiplié par . On constate donc que peut être écrit en fonction d’elle-même par l’expression .
Après avoir vu un exemple simple de prendre la puissance d’une matrice, nous notons que nous devrons souvent avoir affaire à des expressions qui impliquent potentiellement plusieurs matrices, ainsi qu’à d’autres opérations matricielles. Heureusement, nous ne devrions avoir aucun problème à résoudre de telles questions, tant que nous appliquons les mêmes principes que nous venons d’apprendre.
Exemple 2: Calcul d’expressions matricielles impliquant des puissances
On considère les matrices Que vaut ?
Réponse
Nous devrions commencer par calculer les deux et de la manière habituelle. On calcule cela
On a aussi
Maintenant que l’on a les deux et , il est simple de calculer
Il n’est probablement pas surprenant que nous puissions facilement calculer, les troisième et quatrième puissances d’une matrice par exemple et ce en utilisant la même technique de calcul de la deuxième puissance d’une matrice, comme nous l’avons fait ci-dessus.
Voyons comment fonctionne la troisième puissance d’une matrice. Par définition, la troisième puissance d’une matrice carrée est donnée par
Notez que l’utilisation de la propriété associative du produit matriciel, avec la définition de , on peut écrire le côté droit de celle-ci comme
Ou bien, nous pouvons utiliser l’associativité sur les deux derniers termes pour écrire ceci comme
Ainsi, nous avons montré que . En d’autres termes, une fois que nous avons calculé , on peut trouver en multipliant à droite (ou à gauche) par .
Après avoir vu le fonctionnement de l’exponentiation pour l’élévation au carré et l’élévation au cube, on pourrait imaginer que l’on peut appliquer les mêmes principes à toute puissance de . Avec la définition suivante, cela est possible.
Définition : Puissance d’une matrice
Si est une matrice carrée et est un entier positif, la puissance de est donnée par où il y a copies de matrice .
En plus de cette définition, nous notons que, en utilisant la même logique que celle indiquée ci-dessus, il est possible de calculer (pour tout entier positif ) en calculant d’abord et en multipliant par un autre à droite ou à gauche. Ainsi, par exemple, , et ainsi de suite.
Considérons maintenant un exemple où nous devons calculer la troisième puissance d’une matrice.
Exemple 3: Calcul des puissances plus élevées de matrices
Soit la matrice calculez .
Réponse
On doit commencer par calculer puis utiliser ce résultat pour calculer . On trouve que
On a maintenant les deux matrices ce qui signifie que l’on peut calculer comme le produit matriciel de et :
On a maintenant tout le nécessaire pour calculer l’expression demandée :
Jusqu’à présent, nous n’avons vu que des calculs impliquant des matrices de dimension , mais l’extension à des ordres plus élevés de matrices carrées est très naturelle. Voyons maintenant un exemple de la façon dont nous trouverions la puissance d’une matrice de dimension .
Exemple 4: L’élévation au carré d’une matrice de dimension 3 × 3
Considérez
Déterminez .
Réponse
La matrice est de de dimension , ce qui signifie que aura également cet ordre. Par conséquent, nous nous attendons à trouver une matrice de la forme où les coefficients doivent être calculés. Nous compléterons entièrement le produit matriciel, en illustrant chaque étape complètement.
Tout d’abord, nous calculons le coefficient dans la première ligne et la première colonne de la matrice la plus à droite :
Le calcul est . Maintenant, nous calculons le coefficient dans la première ligne et la deuxième colonne de la matrice la plus à droite :
Le calcul est . Ensuite, nous nous concentrons sur le coefficient de la première ligne et de la troisième colonne de la matrice la plus à droite :
Le calcul est . Maintenant, passons à la deuxième ligne de la matrice la plus à droite, en revenant à la première colonne :
Le calcul est . Ensuite, nous prenons le coefficient dans la deuxième ligne et la deuxième colonne :
Le calcul est . Le dernier coefficient de la deuxième ligne est calculé :
Le calcul est . Le coefficient dans la troisième ligne et la première colonne est calculé :
Le calcul est . L’avant-dernier coefficient est ensuite complété :
Le calcul est . Le dernier coefficient est ensuite calculé :
Le calcul est . Maintenant que tous les coefficients de la matrice la plus à droite ont été déterminés, nous pouvons écrire la réponse sous la forme
Sachant qu’élever une matrice à une puissance implique de répéter le produit matriciel, on peut raisonnablement s’attendre à ce que les règles algébriques du produit matriciel influenceraient, dans une certaine mesure, les règles de l’exponentiation matricielle. Même si cela est évident dans une certaine mesure, il est risqué de se tourner vers les règles de l’algèbre conventionnelle en complétant des questions impliquant des matrices en supposant qu’elles seront toujours valides. Dans l’exemple suivant, nous traiterons chaque affirmation individuellement et présenterons les propriétés pertinentes du produit matriciel associées, en expliquant pourquoi les affirmations données sont vraies ou fausses.
Exemple 5: Vérification des propriétés des puissances des matrices
Laquelle des affirmations suivantes est vraie pour toutes les matrices de dimension et ?
Réponse
- Le produit matriciel est associatif, ce qui signifie que . Nous pourrions continuer à jouer ce rôle pour obtenir des résultats tels que , et ainsi de suite. Dans l’équation donnée, le côté gauche est , qui par définition peut s’écrire . Étant donnée la propriété d’associativité du produit matriciel, on peut écrire que et donc confirmer que l’affirmation donnée est vraie.
- L’algèbre conventionnelle est commutative par rapport à la multiplication. Pour deux nombres réels et , cela signifie que . Ce résultat nous permet de prendre une expression telle que et d’utiliser la propriété commutative pour collecter les deux termes médians du côté droit : Cependant, le produit matriciel n’est généralement pas commutatif, ce qui signifie que sauf dans des circonstances spéciales (telles que les matrices diagonales ou les matrices simultanément diagonales). Par conséquent, le développement ne peut pas être simplifié en supposant que . Par conséquent, l’affirmation donnée est fausse.
- Pour compléter le produit matriciel , on peut commencer par écrire où nous avons utilisé la propriété d’associativité pour organiser l’expression finale. Parce que le produit matriciel n’est pas commutatif, le terme entre parenthèses ne peut pas être réarrangé comme , ce qui signifie que nous ne pouvons pas réécrire l’expression finale comme , ce qui aurait permis la simplification . Étant donné que ce n’est pas le cas, l’affirmation est fausse.
- Nous avons cela Puisqu’il est généralement vrai que , on ne peut pas obtenir la simplification donnée dans la question.
- Nous commençons par compléter le développement On sait qu’en général, , ce qui signifie que nous ne pouvons pas écrire le membre de droite comme et donc l’affirmation dans la question est fausse.
Par conséquent, la réponse correcte est l’option A.
Bien que certaines règles conventionnelles de l’algèbre ne soient pas valables pour les matrices, il y a encore des règles qui régissent les puissances des matrices sur lesquelles nous pouvons compter. En particulier, les règles des exposants pour les nombres peuvent être étendues aux matrices de la manière suivante.
Propriété : Addition et multiplication des puissances d’une matrice
Si est une matrice carrée et et sont des entiers positifs, alors
Dans le dernier exemple, nous envisagerons de prendre une matrice à une puissance beaucoup plus élevée et verrons comment les propriétés ci-dessus peuvent être utilisées dans la tangente pour identifier un motif dans le comportement de la matrice lors d’une exponentiation.
Exemple 6: Déterminer la puissance d’ordre supérieur d’une matrice en étudiant le motif de ses puissances
Complétez : si , alors .
Réponse
Comme (cinquante fois), il est clair que nous devrions éviter d’essayer de le calculer directement. Au lieu de cela, examinons l’effet que l’élévation aux puissances de a pour de petites puissances de et voir si nous pouvons déterminer un motif.
Si on multiplie par elle-même, en d’autres termes, si l’on trouve , nous avons
Nous notons que, comme il s’agit d’une matrice diagonale, cela pourrait être une forme utile pour la matrice. En continuant, si on calcule , nous avons
Fait intéressant, la matrice n’est plus diagonale. Pour continuer à étudier la régularité, calculons . C’est
À ce stade, il est possible d’identifier un motif. Pour les puissances égales de , nous émettons l’hypothèse que la matrice est diagonale et que les coefficients non nuls sont , où est la puissance de la matrice. Pour les puissances impaires, ce n’est pas le cas, car il y a un coefficient non nul en bas à gauche, et le coefficient en bas à droite devient négatif. Cependant, comme il suffit de trouver où 50 est une puissance paire, il suffit de considérer le premier cas.
Montrons maintenant comment nous pouvons trouver en utilisant une puissance paire de la matrice, . Rappelons que
On note que le nombre réel peut être pris en dehors de la matrice, en la réécrivant sous la forme :
Ceci est la matrice identité de dimension notée fois une constante. Maintenant, nous savons que la matrice identité a la propriété où est toute matrice de dimension . En particulier, si , nous avons
Nous pouvons étendre cela à toute puissance de , c’est-à-dire
On peut utiliser cette propriété pour calculer . Rappelons également la propriété , ce qui nous permet de réécrire comme suit :
Parce que nous avons , cela signifie
Comme,
Alors
Il y a beaucoup de sujets connexes qui étayent la justification de l’étude de l’exponentiation matricielle. Lorsqu’on travaille avec une matrice carrée, il est clair que la multiplication répétée d’une telle matrice par elle-même conduira généralement à des résultats qui sont successivement plus compliqués à calculer étant donnés les grands nombres impliqués, comme nous l’avons vu dans plusieurs exemples ci-dessus. Il est donc avantageux de pouvoir réduire autant que possible la complexité de ces calculs. Dans certaines circonstances, il est possible de rendre diagonale une matrice, ce qui réduit considérablement la complexité du calcul de ses puissances entières.
Finissons par passer en revue les principales informations que nous avons apprises dans cette fiche explicative.
Points clés
- Pour une matrice carrée et un entier positif , on définit la puissance d’une matrice en répétant le produit matriciel ; par exemple, où il y a copies de la matrice sur le côté droit.
- Il est important de reconnaître que la puissance d’une matrice n’est bien définie que si la matrice est une matrice carrée. En outre, si est de dimension , alors ce sera le cas pour , , et ainsi de suite.
- Des puissances supérieures d’une matrice peuvent être calculées en référence aux puissances inférieures d’une matrice. En d’autres termes, , , et ainsi de suite.
- Si est une matrice carrée et et sont des entiers positifs, alors
