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Déterminez la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷.
On nous fournit donc un diagramme d’un cercle avec le centre 𝑀 et un quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷. L’angle dont on nous demande de déterminer la mesure est l’angle formé lorsque nous voyageons de 𝐵 à 𝐶 à 𝐷. C’est donc cet angle que j’ai marqué ici en orange. Nous pouvons voir que nous avons a donné deux autres angles dans la figure. Ce sont les deux angles du triangle 𝐴𝐵𝐶. Il y a un angle droit et un angle de 64 degrés. Cela signifie que nous pouvons immédiatement calculer le troisième angle de ce triangle, l’angle marqué en vert, car la somme des angles dans un triangle est toujours de 180 degrés. Cela nous dira ce que vaut cette partie de l’angle 𝐵𝐶𝐷.
Nous avons donc que la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐴 est égale à 180 degrés moins 90 degrés moins 64 degrés. Cela fait 26 degrés. Rappelez-vous, nous cherchons à calculer l’angle 𝐵𝐶𝐷. Nous savons maintenant qu’une partie de cet angle est de 26 degrés. Mais nous devons déterminer quelle est l’autre partie, l’angle 𝐴𝐶𝐷. Voyons comment faire cela. Si nous considérons le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷, nous pouvons voir qu’il s’agit en fait d’un quadrilatère inscriptible car ses quatre sommets se trouvent sur la circonférence du cercle. Une information clé sur les quadrilatères inscriptibles, ce qui n’est pas le cas des quadrilatères en général, est que leurs angles opposés font 180 degrés.
Nous avons l’un des angles dans ce quadrilatère inscriptible. L’angle 𝐴𝐵𝐶 est de 64 degrés. Par conséquent, nous pouvons calculer l’angle opposé, l’angle 𝐴𝐷𝐶. En utilisant le raisonnement qui vient d’être décrit, il est égal à 180 degrés moins 64 degrés, ce qui correspond à 116 degrés. Nous nous rapprochons donc de trouver l’angle que l’on nous avait demandé de calculer. Maintenant, pensons au triangle 𝐴𝐷𝐶. Une information clé donnée dans la question, que nous n’avons pas encore utilisée, est que deux des côtés de ce triangle sont de longueur égale. Ces lignes bleues sur les côtés 𝐴𝐷 et 𝐶𝐷 indiquent qu’elles sont congruentes. Et par conséquent, le triangle 𝐴𝐷𝐶 est un triangle isocèle.
Les deux angles actuellement inconnus dans ce triangle sont les angles de base. Et par conséquent, ils sont égaux entre eux. Cela signifie qu’ils peuvent chacun être calculés en trouvant la moitié de la somme des angles restants dans ce triangle. Soit 180 degrés moins l’angle connu de 116 degrés, puis divisé par deux, pour les deux angles de base. Chacun des angles de base est égal à 32 degrés. J’ai donc ajouté cette information sur le diagramme.
Rappelez-vous, notre objectif global dans cette question était de trouver la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷, que nous pouvons maintenant voir comme étant composé d’un angle de 26 degrés et d’un angle de 32 degrés. Donc, pour trouver la somme de cet angle, nous devons additionner ces deux parties. La mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷 est de 58 degrés.
Rappelez-vous, l’information clé que nous avons utilisée dans cette question, autre que les informations sur la somme des angles dans un triangle, est que si un quadrilatère est inscriptible, ce qui signifie que ses quatre sommets se trouvent sur la circonférence d’un cercle, les angles opposés doivent faire 180 degrés.
