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Vidéo de la leçon : Propriétés des quadrilatères inscriptibles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés d’un quadrilatère inscriptible pour déterminer les angles manquants et indiquer si un quadrilatère est inscriptible ou non.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés d’un quadrilatère inscriptible pour déterminer les angles manquants et indiquer si un quadrilatère est inscriptible ou non. Nous commencerons par rappeler ce que l’on entend par angle inscrit.

Un angle inscrit est l’angle formé lorsque deux cordes se coupent sur la circonférence d’un cercle. Ceci signifie que le sommet de l’angle se trouve sur la circonférence. Nous pouvons utiliser notre compréhension des angles inscrits pour définir un quadrilatère inscriptible. C’est un polygone à quatre côtés dont les sommets sont inscrits sur un cercle. Si l’on considère le quadrilatère inscriptible 𝐴𝐵𝐶𝐷, on peut joindre deux sommets 𝐴 et 𝐶 au centre 𝑂 afin de créer deux rayons 𝐴𝑂 et 𝑂𝐶. Nous pouvons alors étiqueter les mesures d’angle créées au centre du cercle comme 𝑥 degrés et 𝑦 degrés. Puisque les angles autour d’un point totalisent 360 degrés, nous avons 𝑥 degrés plus 𝑦 degrés est égal à 360 degrés.

Le théorème de l’angle inscrit nous dit qu’un angle inscrit dans un cercle est la moitié de l’angle au centre deux qui intercepte le même arc sur le cercle, comme indiqué. En d’autres termes, l’angle de la circonférence est la moitié de l’angle au centre. Cela signifie que la mesure de l’angle au sommet 𝐵 est la moitié de 𝑥 degrés et la mesure de l’angle au sommet 𝐷 est la moitié de 𝑦 degrés. On peut alors combiner ces trois équations. Premièrement, nous avons la mesure de l’angle 𝐵 plus la mesure de l’angle 𝐷 est égale à un demi de 𝑥 degrés plus un demi de 𝑦 degrés. La factorisation de un demi sur le membre de droite nous donne un demi de 𝑥 degrés plus 𝑦 degrés. Et puisque 𝑥 degrés plus 𝑦 degrés est de 360 degrés, la mesure de l’angle 𝐵 plus la mesure de l’angle 𝐷 est égale à la moitié de ceci, ce qui est égal à 180 degrés. Cela signifie que la somme de ce couple d’angles opposés est de 180 degrés.

Nous pouvons compléter le même processus pour démontrer que la mesure de l’angle 𝐴 et la mesure de l’angle 𝐶 totalisent également 180 degrés. Et ces deux équations nous conduisent à la propriété suivante concernant les angles opposés dans un quadrilatère inscriptible. Les mesures des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible totalisent 180 degrés. Cela signifie que ce sont des angles supplémentaires. Nous pouvons utiliser ceci pour calculer les mesures des angles manquants dans un quadrilatère inscriptible. Si la mesure de l’angle 𝐷 était de 75 degrés, nous pourrions calculer la mesure de l’angle 𝐵 en le soustrayant de 180, ce qui nous donne 105 degrés. De la même manière, si l’angle 𝐴 mesurait 120 degrés, alors la mesure de l’angle 𝐶 serait de 60 degrés car 180 moins 120 est 60. Nous allons maintenant considérer un exemple où les angles dans le quadrilatère inscriptible sont donnés algébriquement.

Étant donné que la mesure de l’angle 𝐴 est égale à 𝑦 degrés, la mesure de l’angle est égale à quatre 𝑥 moins trois degrés, et la mesure de l’angle 𝐶 est égale à cinq 𝑥 degrés, trouvez les valeurs de et

La figure montre un quadrilatère inscriptible tel que les sommets du quadrilatère se trouvent sur la circonférence du cercle. On rappelle que les angles opposés dans un quadrilatère inscriptible s’additionnent à 180 degrés. On nous dit dans la question que la mesure de l’angle est de quatre moins trois degrés. Et d’après le diagramme, nous voyons que la mesure de l’angle est de 115 degrés. Ceci signifie que quatre moins trois degrés plus 115 degrés est égal à 180. Et puisque les angles sont tous donnés en degrés, nous pouvons réécrire cela comme indiqué. Moins trois plus 115 est égal à 112. L’équation se simplifie donc en quatre 𝑥 plus 112 est égal à 180. Nous pouvons alors soustraire 112 des deux membres de telle sorte que quatre 𝑥 soit égal à 68. Et en divisant par quatre, nous avons 𝑥 est égal à 17.

On nous dit aussi dans la question que la mesure de l’angle 𝐴 est de 𝑦 degrés et la mesure de l’angle est de cinq 𝑥 degrés. Cela signifie que 𝑦 plus cinq 𝑥 est égal à 180. Nous avons déjà calculé est égal à 17, donc 𝑦 plus cinq multiplié par 17 est égal à 180. Multiplier cinq par 17 nous donne 85. Et en soustrayant ceci des deux membres, nous avons 𝑦 est égal à 180 moins 85. Et cela est égal à 95. Les deux solutions de cette question sont 𝑥 est égal à 17 et 𝑦 est égal à 95.

Bien qu’il n’est pas demandé dans cette question, nous pourrions remplacer ces valeurs dans les expressions pour les mesures des angles 𝐴, et pour calculer les angles manquants. L’angle A est égal à 95 degrés. Quatre multiplié par 17 fait 68. Et en soustrayant trois de cela nous donne 65, donc la mesure de l’angle est de 65 degrés. Enfin, la mesure de l’angle est égale à 85 degrés. À ce stade, comme pour tout quadrilatère, il vaut la peine de vérifier que les quatre angles totalisent 360 degrés.

Voyons maintenant comment étendre la propriété des angles intérieurs d’un quadrilatère inscriptible à la mesure d’un angle extérieur. Commençons par considérer le quadrilatère inscriptible 𝐴𝐵𝐶𝐷, où la mesure de l’angle 𝐴 est de 𝑓 degrés et la mesure de l’angle 𝐶 est de 𝑔 degrés comme indiqué. Nous savons que 𝑓 degrés plus 𝑔 degrés est égal à 180 degrés. Et cela peut être réécrit comme degrés est égal à 180 degrés moins 𝑔 degrés. Considérons maintenant un angle externe en prolongeant le segment 𝐷𝐶 jusqu’au point 𝐸 afin de créer un angle externe 𝐵𝐶𝐸. Si nous étiquetons cet angle degrés et puisque les angles et se trouvent sur une ligne droite, leurs mesures totaliseront 180 degrés. Cela signifie que 𝑔 degrés plus ℎ degrés est égal à 180 degrés.

Encore une fois, nous pouvons réécrire cette équation comme degrés est égal à 180 degrés moins 𝑔 degrés. Puisque les membres de droite de nos deux équations sont égaux, les membres de gauche doivent être égaux et 𝑓 degrés est égal à ℎ degrés. En remplaçant ℎ par 𝑓 sur notre diagramme, nous voyons que l’angle 𝐵𝐶𝐸 est égal à 𝑓 degrés. Et cela nous conduit à une propriété générale. Un angle extérieur d’un quadrilatère inscriptible est égal à l’angle intérieur au sommet opposé. Nous allons maintenant appliquer cette propriété à un exemple.

Trouvez la mesure de l’angle et la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐹.

Dans cette question, on nous demande de trouver la mesure de deux angles, d’une part la mesure de l’angle 𝐸𝐶𝐹 et d’autre part la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐹. Et pour trouver ces deux mesures, nous allons utiliser deux propriétés des quadrilatères inscriptibles. Tout d’abord, nous rappelons que la somme des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible est de 180 degrés. Et deuxièmement, les angles extérieurs d’un quadrilatère inscriptible sont égaux à l’angle intérieur au sommet opposé. En utilisant la deuxième propriété, nous remarquons que la mesure de l’angle 𝐸𝐶𝐹 est égale à la mesure de l’angle au sommet 𝐴 et est donc égale à 80 degrés.

En utilisant la même propriété, la mesure de l’angle extérieur est égale à la mesure de l’angle intérieur au sommet 𝐷, c’est-à-dire la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐶. Puisque les angles sur une ligne droite totalisent 180 degrés, nous pouvons calculer la mesure de cet angle en soustrayant 104 degrés de 180 degrés. Ceci est égal à 76 degrés. La mesure de l’angle ABF est de 76 degrés. Et nous avons maintenant les deux solutions comme requis. Bien que nous ne l’ayons pas fait dans cette question, nous aurions pu utiliser la première propriété selon laquelle les angles opposés totalisent 180 degrés pour trouver les angles intérieurs aux sommets 𝐵 et en premier. Nous aurions alors pu utiliser ceux-ci ensemble avec le fait que les angles sur une ligne droite totalisent 180 degrés pour trouver les mesures de 𝐸𝐶𝐹 et 𝐴𝐵𝐹. Quoi qu’il en soit, nous nous retrouvons avec deux réponses de 80 degrés et 76 degrés.

Considérons maintenant la réciproque de ces théorèmes. Cela stipule qu’un quadrilatère est inscriptible si nous pouvons démontrer l’une des propriétés suivantes : soit les mesures des angles opposés sont supplémentaires, c’est-à-dire qu’elles totalisent 180 degrés, soit un angle extérieur est égal à l’angle intérieur au sommet opposé. Par exemple, puisque la somme des angles opposés dans le quadrilatère dessiné est de 180 degrés, ceci doit être un quadrilatère inscriptible. Si, d’autre part, les deux angles ne totalisaient pas 180 degrés, le quadrilatère ne serait pas inscriptible et nous ne serions pas en mesure de tracer un cercle passant par les quatre sommets du quadrilatère. Dans le deuxième diagramme, puisque l’angle extérieur est égal à l’angle intérieur au sommet opposé, le quadrilatère est également inscriptible. Voyons maintenant un exemple où nous devons prouver si un quadrilatère est inscriptible ou non.

ABCD est-il un quadrilatère inscriptible ?

Commençons par rappeler qu’il y a deux façons de prouver qu’un quadrilatère est inscriptible : premièrement, si la somme des angles opposés dans le quadrilatère est de 180 degrés et deuxièmement si un angle extérieur est égal à l’angle intérieur au sommet opposé. C’est la première propriété que nous utiliserons dans cette question. Si nous pouvons démontrer que la mesure de l’angle 𝐵 plus la mesure de l’angle 𝐷 est égale à 180 degrés, alors le quadrilatère est inscriptible. On peut aussi le faire avec les angles et 𝐶. On commence par remarquer que le triangle est isocèle. Cela signifie que la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐷 est égale à la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷, qui est égale à 53 degrés. Étant donné que les angles d’un triangle totalisent 180 degrés, la mesure de l’angleest égale à 180 degrés moins 53 degrés minus 53 degrés. Ceci est donc égal à 74 degrés.

Nous avons maintenant les mesures de deux angles opposés dans notre quadrilatère. 106 plus 74 est égal à 180. Ainsi, la mesure de l’angle 𝐵 et la mesure de l’angle 𝐷 ont une somme de 180 degrés. Et nous pouvons donc conclure que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible, et la bonne réponse est oui.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo qu’un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets sont inscrits sur un cercle. Nous avons vu que dans un quadrilatère inscriptible, les mesures des angles opposés sont supplémentaires, c’est-à-dire qu’elles totalisent 180 degrés, et qu’un angle extérieur est également égal à l’angle intérieur au sommet opposé. Enfin, nous avons vu que la réciproque est également vraie. Un quadrilatère est inscriptible si l’on peut prouver l’une des propriétés suivantes. La somme des angles opposés est de 180 degrés, ou un angle extérieur est égal à l’angle intérieur au sommet opposé.

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