Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés du quadrilatère inscriptible pour déterminer les angles manquants et indiquer si un quadrilatère est inscriptible ou non.
On peut commencer par rappeler ce qu’on entend par angle inscrit. Un angle inscrit est l’angle formé par l’intersection de deux cordes sur la circonférence d’un cercle. Le sommet de l’angle se situe sur la circonférence du cercle.
Nous allons maintenant utiliser notre compréhension des angles inscrits pour définir un quadrilatère inscriptible.
Définition : Quadrilatère inscriptible
Un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets sont inscrits dans un cercle.
Avant d’étudier les propriétés d’un quadrilatère inscriptible, nous allons rappeler un théorème important sur les angles inscrits et les angles au centre (un angle au centre d’un cercle avec les extrémités sur sa circonférence).
Définition : Théorème de l’angle au centre
La mesure d’un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc sur le cercle. En d’autres termes, la mesure de l’angle sur la circonférence est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre.
On considère maintenant le quadrilatère inscriptible . On peut joindre deux sommets, et au centre, en créant deux rayons, et . On peut nommer les mesures des angles créés au centre du cercle et .
Par conséquent, on a
Donc,
Par conséquent, la somme des mesures de ces deux angles opposés est égale à . On peut suivre le même processus pour démontrer que la somme de et est aussi égale à . Par conséquent, dans un quadrilatère inscriptible, nous avons prouvé la propriété suivante.
Définition : Angles opposés dans un quadrilatère inscriptible
Les angles opposés dans un quadrilatère inscriptible sont supplémentaires ; c’est-à-dire que la somme de leurs mesures est égale à .
Nous allons voir quelques exemples d’utilisation de cette propriété pour déterminer des angles inconnus dans un quadrilatère inscriptible.
Exemple 1: Déterminer la mesure d’un angle dans un quadrilatère inscriptible à partir de la mesure de l’angle opposé
Déterminez .
Réponse
On observe que le quadrilatère a ses quatre sommets inscrits sur la circonférence du cercle. Cela signifie que est un quadrilatère inscriptible, et on peut utiliser les propriétés des angles d’un quadrilatère inscriptible pour trouver l’angle inconnu. La somme des mesures des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible est égale à .
L’angle dont on cherche la mesure, , est opposé à .
On sait que et que la somme des mesures des deux angles opposés est égale à , on calcule donc
Par conséquent, est égale à .
Nous pouvons également appliquer notre compréhension des angles dans un quadrilatère inscriptible à des problèmes géométriques où les mesures des angles sont données algébriquement. Voyons comment le faire dans l’exemple suivant.
Exemple 2: Utiliser les propriétés des quadrilatères inscriptibles pour trouver des valeurs inconnues
Sachant que , et , déterminez les valeurs de et .
Réponse
On peut commencer par ajouter les mesures d’angles fournies sur le schéma.
Le quadrilatère est un quadrilatère inscriptible car ses quatre sommets sont inscrits dans le cercle. On rappelle que les angles opposés d’un quadrilatère inscriptible sont supplémentaires : la somme de leurs mesures est égale à .
En utilisant les angles opposés et , on peut former une équation et substituer les mesures des angles pour obtenir
On a maintenant trouvé la première valeur inconnue, . On peut alors utiliser les deux angles opposés restants, et , et résoudre l’équation suivante :
Comme on a calculé que , on peut substituer cette valeur dans l’équation et déterminer , ce qui donne
Pour vérifier les résultats, on peut substituer les valeurs trouvées de et dans l’expression de chaque angle. Cela donne
On peut confirmer que la paire d’angles opposés vérifie et que l’autre paire vérifie .
En outre, comme pour tout quadrilatère, la somme des quatre mesures des angles est égale à . On a donc confirmé que
Nous allons maintenant voir comment nous pouvons étendre la propriété des angles internes des quadrilatères inscriptibles à la mesure d’un angle externe.
On peut considérer le quadrilatère suivant, . On peut désigner par et par .
Comme est un quadrilatère inscriptible, on sait que
Alternativement, on peut aussi écrire que
On étudie ce qui se passe si on considère un angle externe. On peut prolonger le segment au point pour créer un angle externe .
Sachant que les angles et se situent sur une droite, la somme de leurs mesures est égale à . On peut écrire que
Sachant que , on peut calculer
On a déjà établi qu’un autre angle est équivalent à car .
Par conséquent, on a
Nous pouvons répéter cette méthode pour démontrer que tout angle extérieur d’un quadrilatère inscriptible est égal à l’angle interne du sommet opposé. Nous pouvons formuler cette propriété ci-dessous.
Définition : Angles externes dans un quadrilatère inscriptible
Un angle externe d’un quadrilatère inscriptible est égal à l’angle interne du sommet opposé.
Nous allons maintenant voir comment appliquer cette propriété pour déterminer des angles inconnus dans un problème géométrique impliquant un quadrilatère inscriptible.
Exemple 3: Utiliser les propriétés des quadrilatères inscriptibles pour résoudre des problèmes
Déterminez et .
Réponse
On observe que le quadrilatère est un quadrilatère inscriptible, car ses quatre sommets sont inscrits dans le cercle. Deux propriétés importantes sur les angles de quadrilatères inscriptibles peuvent être utiles pour ce problème. Dans un quadrilatère inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Comme cette figure illustre également des angles externes, il faut aussi se rappeler qu’un angle externe d’un quadrilatère inscriptible est égal à l’angle interne du sommet opposé.
Le premier angle à calculer est . L’angle du sommet opposé est celui du sommet , . Comme l’angle externe est égal à l’angle opposé interne, on a
On doit ensuite calculer . Il s’agit d’un angle externe et on sait qu’il doit être égal à l’angle interne du sommet opposé, qui est le sommet . Par conséquent,
On peut identifier ces deux angles égaux sur le schéma.
On ne connaît pas la mesure de l’angle , mais on peut la calculer car la somme des mesures des angles sur une droite est égale à , et on sait que . Par conséquent,
Comme on a
On peut alors donner les réponses pour les deux angles requis :
Jusqu’à présent, nous avons utilisé la propriété selon laquelle des angles opposés sont supplémentaires dans un quadrilatère inscriptible. Cependant, la réciproque de ce théorème est également vraie ; c’est-à-dire qu’un quadrilatère avec des angles opposés qui sont supplémentaires doit être un quadrilatère inscriptible. Cela est particulièrement utile si on souhaite prouver qu’un quadrilatère est inscriptible, et donc démontrer que tous ses sommets peuvent être inscrits dans un même cercle.
On considère par exemple le quadrilatère ci-dessous.
On peut calculer que
Comme la somme des mesures de ses angles opposés est égale à , le quadrilatère est inscriptible et ses quatre sommets peuvent donc être inscrits dans un cercle.
Remarquez que nous n’avons pas besoin de prouver que la somme des mesures des deux autres angles opposés est égale à . En effet, comme le polygone est un quadrilatère, on sait que la somme de toutes les mesures de ses angles internes est égale à . Par conséquent, la somme des mesures des deux angles restants (opposés) doit être égale à .
La même chose est vraie pour l’autre propriété des angles des quadrilatères inscriptibles que l’on a vue : un angle externe d’un quadrilatère inscriptible est égal à l’angle interne du sommet opposé. Comme cette propriété est une extension de la propriété des angles opposés, la réciproque de ce théorème est également vraie.
Prouver qu’un quadrilatère est inscriptible
Un quadrilatère est inscriptible si on peut démontrer l’un des éléments suivants :
- les angles opposés sont supplémentaires ;
- un angle externe est égal à l’angle interne du sommet opposé.
Nous allons maintenant voir comment appliquer ces propriétés pour déterminer si un quadrilatère est inscriptible dans les deux exemples suivants.
Exemple 4: Déterminer si un quadrilatère est inscriptible
Le quadrilatère est-il inscriptible ?
Réponse
On peut rappeler qu’un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets sont inscrits dans un cercle. Une façon de prouver si un quadrilatère est inscriptible est de déterminer si une propriété des angles des quadrilatères inscriptibles est satisfaite. Si c’est le cas, alors le quadrilatère est inscriptible.
Sur la figure ci-dessus, on peut observer un angle interne, . Il y a également un angle externe en divisé en deux angles, et . Notez que ces deux angles sont marqués comme étant égaux, par conséquent, .
On peut calculer la mesure de l’angle interne au sommet , en utilisant les propriétés des droites parallèles et . On peut écrire que
Si le quadrilatère est inscriptible, alors la somme des mesures des angles opposés est égale à . On a par conséquent
Par conséquent, on a prouvé que la somme des mesures des angles opposés est égale à . On peut donc répondre à la question : oui, le quadrilatère est inscriptible.
Bien que cela ne soit pas demandé, on peut tracer le cercle dans lequel les quatre sommets de sont inscrits.
Exemple 5: Utiliser les propriétés des quadrilatères inscriptibles pour vérifier si un quadrilatère est inscriptible
Le quadrilatère est-il inscriptible ?
Réponse
On rappelle qu’un quadrilatère est inscriptible si ses quatre sommets peuvent être inscrits dans un cercle. On peut prouver qu’un quadrilatère est inscriptible si l’une des propriétés suivantes peut être prouvée : la somme des mesures de deux angles opposés est égale à ou un angle externe est égal à l’angle interne du sommet opposé.
En observant la figure, on remarque que est un triangle isocèle. Par conséquent,
En utilisant le fait que la somme des mesures des angles dans un triangle est égale à , et sachant que , on peut calculer comme suit
Si le quadrilatère est inscriptible, alors la somme des mesures des angles opposés est égale à . Cependant, donc,
Par conséquent, le quadrilatère n’est pas inscriptible ; la réponse à la question est donc non.
Nous pouvons résumer les points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets sont inscrits dans un cercle.
- Dans un quadrilatère inscriptible,
- les angles opposés sont supplémentaires ;
- un angle externe est égal à l’angle interne du sommet opposé.
- Un quadrilatère est inscriptible si on peut prouver l’un des éléments suivants :
- les angles opposés sont supplémentaires ;
- un angle externe est égal à l’angle interne du sommet opposé.
