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Fiche explicative de la leçon : Propriétés des quadrilatères inscriptibles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés du quadrilatère inscriptible pour déterminer les angles manquants et indiquer si un quadrilatère est inscriptible ou non.

On peut commencer par rappeler ce qu’on entend par angle inscrit. Un angle inscrit est l’angle formé par l’intersection de deux cordes sur la circonférence d’un cercle. Le sommet de l’angle se situe sur la circonférence du cercle.

Nous allons maintenant utiliser notre compréhension des angles inscrits pour définir un quadrilatère inscriptible.

Définition : Quadrilatère inscriptible

Un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets sont inscrits dans un cercle.

Avant d’étudier les propriétés d’un quadrilatère inscriptible, nous allons rappeler un théorème important sur les angles inscrits et les angles au centre (un angle au centre d’un cercle avec les extrémités sur sa circonférence).

Définition : Théorème de l’angle au centre

La mesure d’un angle 𝜃 inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre 2𝜃 qui intercepte le même arc sur le cercle. En d’autres termes, la mesure de l’angle sur la circonférence est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre.

On considère maintenant le quadrilatère inscriptible 𝐴𝐵𝐶𝐷. On peut joindre deux sommets, 𝐴 et 𝐶 au centre, 𝑂 en créant deux rayons, 𝐴𝑂 et 𝑂𝐶. On peut nommer les mesures des angles créés au centre du cercle 𝑥 et 𝑦.

Par conséquent, on a 𝑥+𝑦=360(360).,𝑚𝐵=12𝑥()𝑚𝐷=12𝑦().lasommedesmesuresdesanglesautourdunpointestégaleàÉgalementthéorèmedelangleaucentreetthéorèmedelangleaucentre

Donc, 𝑚𝐵+𝑚𝐷=12𝑥+12𝑦=12(𝑥+𝑦)=12(360)=180.

Par conséquent, la somme des mesures de ces deux angles opposés est égale à 180. On peut suivre le même processus pour démontrer que la somme de 𝑚𝐴 et 𝑚𝐶 est aussi égale à 180. Par conséquent, dans un quadrilatère inscriptible, nous avons prouvé la propriété suivante.

Définition : Angles opposés dans un quadrilatère inscriptible

Les angles opposés dans un quadrilatère inscriptible sont supplémentaires;c’est-à-dire que la somme de leurs mesures est égale à 180.

Nous allons voir quelques exemples d’utilisation de cette propriété pour déterminer des angles inconnus dans un quadrilatère inscriptible.

Exemple 1: Déterminer la mesure d’un angle dans un quadrilatère inscriptible à partir de la mesure de l’angle opposé

Déterminez 𝑚𝐵𝐶𝐷.

Réponse

On observe que le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 a ses quatre sommets inscrits sur la circonférence du cercle. Cela signifie que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible, et on peut utiliser les propriétés des angles d’un quadrilatère inscriptible pour trouver l’angle inconnu. La somme des mesures des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible est égale à 180.

L’angle dont on cherche la mesure, 𝑚𝐵𝐶𝐷, est opposé à 𝐷𝐴𝐵.

On sait que 𝑚𝐷𝐴𝐵=78 et que la somme des mesures des deux angles opposés est égale à 180, on calcule donc 𝑚𝐷𝐴𝐵+𝑚𝐵𝐶𝐷=18078+𝑚𝐵𝐶𝐷=180𝑚𝐵𝐶𝐷=18078=102.

Par conséquent, 𝑚𝐵𝐶𝐷 est égale à 102.

Nous pouvons également appliquer notre compréhension des angles dans un quadrilatère inscriptible à des problèmes géométriques où les mesures des angles sont données algébriquement. Voyons comment le faire dans l’exemple suivant.

Exemple 2: Utiliser les propriétés des quadrilatères inscriptibles pour trouver des valeurs inconnues

Sachant que 𝑚𝐴=𝑦, 𝑚𝐵=(4𝑥3) et 𝑚𝐶=5𝑥, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Réponse

On peut commencer par ajouter les mesures d’angles fournies sur le schéma.

Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible car ses quatre sommets sont inscrits dans le cercle. On rappelle que les angles opposés d’un quadrilatère inscriptible sont supplémentaires:la somme de leurs mesures est égale à 180.

En utilisant les angles opposés 𝐵 et 𝐷, on peut former une équation et substituer les mesures des angles pour obtenir 𝑚𝐵+𝑚𝐷=180(4𝑥3)+115=1804𝑥+112=1804𝑥=1801124𝑥=68𝑥=17.

On a maintenant trouvé la première valeur inconnue, 𝑥=17. On peut alors utiliser les deux angles opposés restants, 𝐴 et 𝐶, et résoudre l’équation suivante:𝑚𝐴+𝑚𝐶=180𝑦+5𝑥=180.

Comme on a calculé que 𝑥=17, on peut substituer cette valeur dans l’équation et déterminer 𝑦, ce qui donne 𝑦+5(17)=180𝑦+85=180𝑦=18085=95.

Pour vérifier les résultats, on peut substituer les valeurs trouvées de 𝑥=17 et 𝑦=95 dans l’expression de chaque angle. Cela donne 𝑚𝐴=95,𝑚𝐵=4(17)3=65,𝑚𝐶=5(17)=85,𝑚𝐷=115.

On peut confirmer que la paire d’angles opposés vérifie 𝑚𝐴+𝑚𝐶=180 et que l’autre paire vérifie 𝑚𝐵+𝑚𝐷=180.

En outre, comme pour tout quadrilatère, la somme des quatre mesures des angles est égale à 360. On a donc confirmé que 𝑥=17,𝑦=95.

Nous allons maintenant voir comment nous pouvons étendre la propriété des angles internes des quadrilatères inscriptibles à la mesure d’un angle externe.

On peut considérer le quadrilatère suivant, 𝐴𝐵𝐶𝐷. On peut désigner 𝑚𝐴 par 𝑓 et 𝑚𝐶 par 𝑔.

Comme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible, on sait que 𝑓+𝑔=180.

Alternativement, on peut aussi écrire que 𝑓=180𝑔.

On étudie ce qui se passe si on considère un angle externe. On peut prolonger le segment 𝐷𝐶 au point 𝐸 pour créer un angle externe 𝐵𝐶𝐸.

Sachant que les angles 𝐵𝐶𝐷 et 𝐵𝐶𝐸 se situent sur une droite, la somme de leurs mesures est égale à 180. On peut écrire que 𝑚𝐵𝐶𝐷+𝑚𝐵𝐶𝐸=180.

Sachant que 𝑚𝐵𝐶𝐷=𝑔, on peut calculer 𝑔+𝑚𝐵𝐶𝐸=180𝑚𝐵𝐶𝐸=180𝑔.

On a déjà établi qu’un autre angle est équivalent à 180𝑔 car 𝑓=180𝑔.

Par conséquent, on a 𝑚𝐵𝐶𝐸=𝑓.

Nous pouvons répéter cette méthode pour démontrer que tout angle extérieur d’un quadrilatère inscriptible est égal à l’angle interne du sommet opposé. Nous pouvons formuler cette propriété ci-dessous.

Définition : Angles externes dans un quadrilatère inscriptible

Un angle externe d’un quadrilatère inscriptible est égal à l’angle interne du sommet opposé.

Nous allons maintenant voir comment appliquer cette propriété pour déterminer des angles inconnus dans un problème géométrique impliquant un quadrilatère inscriptible.

Exemple 3: Utiliser les propriétés des quadrilatères inscriptibles pour résoudre des problèmes

Déterminez 𝑚𝐸𝐶𝐹 et 𝑚𝐴𝐵𝐹.

Réponse

On observe que le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible, car ses quatre sommets sont inscrits dans le cercle. Deux propriétés importantes sur les angles de quadrilatères inscriptibles peuvent être utiles pour ce problème. Dans un quadrilatère inscriptible, les angles opposés sont supplémentaires. Comme cette figure illustre également des angles externes, il faut aussi se rappeler qu’un angle externe d’un quadrilatère inscriptible est égal à l’angle interne du sommet opposé.

Le premier angle à calculer est 𝐸𝐶𝐹. L’angle du sommet opposé est celui du sommet 𝐴, 𝐷𝐴𝐵. Comme l’angle externe est égal à l’angle opposé interne, on a 𝑚𝐸𝐶𝐹=𝑚𝐷𝐴𝐵=80.

On doit ensuite calculer 𝑚𝐴𝐵𝐹. Il s’agit d’un angle externe et on sait qu’il doit être égal à l’angle interne du sommet opposé, qui est le sommet 𝐷. Par conséquent, 𝑚𝐴𝐵𝐹=𝑚𝐶𝐷𝐴.

On peut identifier ces deux angles égaux sur le schéma.

On ne connaît pas la mesure de l’angle 𝐶𝐷𝐴, mais on peut la calculer car la somme des mesures des angles sur une droite est égale à 180, et on sait que 𝑚𝐶𝐷𝐺=104. Par conséquent, 𝑚𝐶𝐷𝐴+𝑚𝐶𝐷𝐺=180𝑚𝐶𝐷𝐴+104=180𝑚𝐶𝐷𝐴=180104=76.

Comme 𝑚𝐴𝐵𝐹=𝑚𝐶𝐷𝐴, on a 𝑚𝐴𝐵𝐹=76.

On peut alors donner les réponses pour les deux angles requis:𝑚𝐸𝐶𝐹=80,𝑚𝐴𝐵𝐹=76.

Jusqu’à présent, nous avons utilisé la propriété selon laquelle des angles opposés sont supplémentaires dans un quadrilatère inscriptible. Cependant, la réciproque de ce théorème est également vraie;c’est-à-dire qu’un quadrilatère avec des angles opposés qui sont supplémentaires doit être un quadrilatère inscriptible. Cela est particulièrement utile si on souhaite prouver qu’un quadrilatère est inscriptible, et donc démontrer que tous ses sommets peuvent être inscrits dans un même cercle.

On considère par exemple le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 ci-dessous.

On peut calculer que 𝑚𝐴+𝑚𝐶=70+110=180.

Comme la somme des mesures de ses angles opposés est égale à 180, le quadrilatère est inscriptible et ses quatre sommets peuvent donc être inscrits dans un cercle.

Remarquez que nous n’avons pas besoin de prouver que la somme des mesures des deux autres angles opposés est égale à 180. En effet, comme le polygone est un quadrilatère, on sait que la somme de toutes les mesures de ses angles internes est égale à 360. Par conséquent, la somme des mesures des deux angles restants (opposés) doit être égale à 360180=180.

La même chose est vraie pour l’autre propriété des angles des quadrilatères inscriptibles que l’on a vue:un angle externe d’un quadrilatère inscriptible est égal à l’angle interne du sommet opposé. Comme cette propriété est une extension de la propriété des angles opposés, la réciproque de ce théorème est également vraie.

Prouver qu’un quadrilatère est inscriptible

Un quadrilatère est inscriptible si on peut démontrer l’un des éléments suivants:

  • les angles opposés sont supplémentaires;
  • un angle externe est égal à l’angle interne du sommet opposé.

Nous allons maintenant voir comment appliquer ces propriétés pour déterminer si un quadrilatère est inscriptible dans les deux exemples suivants.

Exemple 4: Déterminer si un quadrilatère est inscriptible

Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷est-il inscriptible?

Réponse

On peut rappeler qu’un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets sont inscrits dans un cercle. Une façon de prouver si un quadrilatère est inscriptible est de déterminer si une propriété des angles des quadrilatères inscriptibles est satisfaite. Si c’est le cas, alors le quadrilatère est inscriptible.

Sur la figure ci-dessus, on peut observer un angle interne, 𝑚𝐴𝐵𝐶=82. Il y a également un angle externe en 𝐶 divisé en deux angles, 𝐷𝐶𝐹 et 𝐹𝐶𝐸. Notez que ces deux angles sont marqués comme étant égaux, par conséquent, 𝑚𝐹𝐶𝐸=𝑚𝐷𝐶𝐹=49.

On peut calculer la mesure de l’angle interne au sommet 𝐷, 𝑚𝐴𝐷𝐶 en utilisant les propriétés des droites parallèles 𝐷𝐴 et 𝐶𝐵. On peut écrire que 𝑚𝐴𝐷𝐶=𝑚𝐷𝐶𝐸()=𝑚𝐷𝐶𝐹+𝑚𝐹𝐶𝐸=49+49=98.desanglesalternesinternessontégaux

Si le quadrilatère est inscriptible, alors la somme des mesures des angles opposés est égale à 180. On a 98+82=180, par conséquent 𝑚𝐴𝐷𝐶=𝑚𝐴𝐵𝐶.

Par conséquent, on a prouvé que la somme des mesures des angles opposés est égale à 180. On peut donc répondre à la question:oui, le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est inscriptible.

Bien que cela ne soit pas demandé, on peut tracer le cercle dans lequel les quatre sommets de 𝐴𝐵𝐶𝐷 sont inscrits.

Exemple 5: Utiliser les propriétés des quadrilatères inscriptibles pour vérifier si un quadrilatère est inscriptible

Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est-il inscriptible?

Réponse

On rappelle qu’un quadrilatère est inscriptible si ses quatre sommets peuvent être inscrits dans un cercle. On peut prouver qu’un quadrilatère est inscriptible si l’une des propriétés suivantes peut être prouvée:la somme des mesures de deux angles opposés est égale à 180 ou un angle externe est égal à l’angle interne du sommet opposé.

En observant la figure, on remarque que 𝐴𝐶𝐷 est un triangle isocèle. Par conséquent, 𝑚𝐶𝐴𝐷=𝑚𝐷𝐶𝐴=59.

En utilisant le fait que la somme des mesures des angles dans un triangle est égale à 180, et sachant que 𝑚𝐶𝐴𝐷=59, on peut calculer 𝑚𝐴𝐷𝐶 comme suit 𝑚𝐷𝐶𝐴+𝑚𝐶𝐴𝐷+𝑚𝐴𝐷𝐶=18059+59+𝑚𝐴𝐷𝐶=180118+𝑚𝐴𝐷𝐶=180𝑚𝐴𝐷𝐶=62.

Si le quadrilatère est inscriptible, alors la somme des mesures des angles opposés est égale à 180. Cependant, 62+102180; donc, 𝑚𝐶𝐷𝐴+𝑚𝐶𝐵𝐴180.

Par conséquent, le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 n’est pas inscriptible;la réponse à la question est donc non.

Nous pouvons résumer les points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets sont inscrits dans un cercle.
  • Dans un quadrilatère inscriptible,
    • les angles opposés sont supplémentaires;
    • un angle externe est égal à l’angle interne du sommet opposé.
  • Un quadrilatère est inscriptible si on peut prouver l’un des éléments suivants:
    • les angles opposés sont supplémentaires;
    • un angle externe est égal à l’angle interne du sommet opposé.

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