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Déterminez l’équation de la tangente à la courbe d’équation 𝑥 est égal à 𝑡 au carré moins 𝑡, 𝑦 est égal à 𝑡 au carré plus 𝑡 plus un, au point zéro, trois.
Nous avons donc ici une paire d’équations paramétriques. Et comme il est indiqué, nous allons essayer de trouver l’équation de la tangente. Nous avons donc un point, mais ce que nous voulons également trouver, c’est la valeur de 𝑡. Donc, ce que nous pouvons réellement faire, c’est utiliser notre point pour trouver la valeur de 𝑡, parce que nous avons 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à trois.
Donc, ce que nous pouvons faire, c’est prendre notre valeur de zéro et la remplacer par 𝑥 est égal à 𝑡 carré moins 𝑡, car ce que nous pouvons dire, c’est que, comme nous l’avons dit, 𝑥 est égal à zéro, nous obtenons 𝑡 carré moins 𝑡 égal à zéro. Et puis si nous factorisons cela, nous retirons 𝑡 car 𝑡 est un facteur commun de 𝑡 au carré et de 𝑡. Nous obtenons donc 𝑡, puis entre parenthèses, nous avons 𝑡 moins un est égal à zéro. Nous pouvons donc dire que 𝑡 est égal à zéro ou à un. Parce que si 𝑡 était égal à zéro, cela nous donnerait un résultat de zéro multiplié par moins un, ce qui nous donnerait zéro. Ou si 𝑡 était égal à un, nous aurions un multiplié par un moins un qui est zéro, ce qui nous donnerait encore zéro.
D’accord, super ! Nous avons donc trouvé des valeurs possibles de 𝑡 en utilisant notre valeur 𝑥. Alors maintenant, utilisons notre valeur 𝑦 de trois. Donc, si nous substituons 𝑦 est égal à trois et deux 𝑦 est égal à 𝑡 au carré plus 𝑡 plus un, nous obtenons 𝑡 au carré plus 𝑡 plus un est égal à trois. Je viens de le réécrire comme le premier, de cette façon, parce que cela le rend plus facile à résoudre. Et puis si je soustrais trois de chaque membre de l’équation, j’obtiens 𝑡 au carré plus 𝑡 moins deux est égal à zéro.
Et encore une fois, je peux réellement résoudre ce problème en utilisant la factorisation. Donc, j’ai factorisé 𝑡 carré plus 𝑡 moins deux. Et quand je fais cela, j’obtiens 𝑡 plus deux multiplié par 𝑡 moins un. Et nous l’avons fait, parce que nous avons trouvé deux nombres ou deux facteurs qui nous ont donné moins deux lorsqu’ils sont multipliés ensemble. Donc, plus deux multiplié par moins un nous donne moins deux. Et puis si vous ajoutez deux et moins un, vous obtenez un, qui est le coefficient de notre valeur 𝑡.
Donc, nos solutions possibles sont moins deux ou un, donc 𝑡 est égal à moins deux ou un. Et encore une fois, c’est parce que si nous mettons moins deux dans les premières parenthèses, alors nous obtenons moins deux plus deux, ce qui nous donne zéro, et nous donnerions donc un résultat de zéro. Et de même, si nous mettons un dans les deuxièmes parenthèses, nous obtenons un moins un, ce qui nous donne zéro. Nous obtenons donc notre résultat de zéro. Ok ! Alors maintenant, nous avons des valeurs possibles de 𝑡. Alors, quelle valeur de 𝑡 va être la valeur que nous voulons ?
Mais nous pouvons voir que la valeur partagée est en fait un. Donc, notre valeur 𝑡 que nous voulions utiliser va en fait être un. Ok ! Merveilleux ! Nous avons maintenant toutes les informations dont nous avons besoin pour résoudre le problème et trouver l’équation de la tangente. Maintenant, parce que la courbe et la tangente en ce point vont avoir la même pente, alors ce que nous allons vouloir faire, c’est trouver la pente de notre courbe en ce point. Donc, pour ce faire, ce que nous pouvons réellement faire, c’est trouver la fonction de pente donc d𝑦 sur d𝑥.
Et pour trouver cela en utilisant des équations paramétriques, ce que nous allons faire, c’est utiliser cette relation. Et la relation est que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑥 sur d𝑡. Donc, ce que cela signifie réellement dans la pratique, c’est que notre fonction de pente va être égale à la dérivée de notre équation en 𝑦 divisée par la dérivée de notre équation en 𝑥. Bon, alors allons-y et trouvons d𝑦 sur d𝑡 et d𝑥 sur d𝑡. Donc, si nous avons 𝑥 est égal à 𝑡 carré moins 𝑡, alors d𝑥 sur d𝑡 sera égal à deux 𝑡 moins un.
Donc, je vais très rapidement vous rappeler comment nous dérivons cela. Donc, nous avons le coefficient de un multiplié par l’exposant de deux, ce qui nous donne nos deux, puis vous avez 𝑡 à la puissance deux moins un, ce qui nous donne juste 𝑡 à la puissance un ou 𝑡. D’accord, super ! Alors maintenant, passons à 𝑦 et trouvons d𝑦 sur d𝑡. Alors maintenant, si nous dérivons 𝑡 carré plus 𝑡 plus un, nous obtiendrons deux 𝑡 plus un. D’accord, super ! Alors maintenant, nous avons d𝑥 sur d𝑡 et d𝑦 sur d𝑡. Alors maintenant, ce que nous allons faire, c’est trouver notre équation de pente, car nous pourrions trouver d𝑦 sur d𝑥 en divisant d𝑦 sur d𝑡 par d𝑥 sur d𝑡.
Donc, notre équation de pente est égale à deux 𝑡 plus un sur deux 𝑡 moins un. D’accord, super ! Mais ce que nous voulons faire, c’est en trouver la valeur de ceci. Donc, pour trouver la pente, ce que nous devons faire, c’est substituer notre valeur de 𝑡 égale à un dans d𝑦 sur d𝑥. Et en faisant cela, nous allons obtenir deux multiplié par un plus un divisé par deux multiplié par un moins un, ce qui nous donne trois sur un, ce qui est juste trois. Nous avons donc trouvé notre pente ou la valeur de 𝑚.
On peut donc dire que 𝑚 ou que notre pente est de trois. Alors pourquoi est-ce réellement utile ? Eh bien, c’est utile car ce que nous essayons de faire, c’est de trouver l’équation de la tangente. Donc, la tangente sera en fait une droite. Donc, nous allons utiliser la forme générale de l’équation d’une droite, c’est-à-dire que 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑐 où 𝑚, comme nous l’avons déjà dit, est notre pente et 𝑐 est notre ordonnée à l’origine. Donc, si nous substituons réellement notre valeur de 𝑚 en 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑐, nous obtenons l’équation 𝑦 est égale à trois 𝑥 plus 𝑐.
D’accord, super ! Mais maintenant, ce que nous devons faire, c’est trouver 𝑐. Et comment allons-nous faire cela ? Eh bien, nous pouvons le faire parce que nous connaissons en fait un point sur notre tangente parce que ce point est zéro, trois. Donc, par conséquent, ce que nous pouvons faire, c’est substituer zéro à notre valeur 𝑥 et trois à notre valeur 𝑦 pour nous aider à trouver 𝑐. Donc, si nous substituons 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à trois, nous obtenons trois est égal à trois multiplié par zéro plus 𝑐, nous donnant donc une valeur 𝑐 ou une ordonnée à l’origine de trois. Fantastique ! Nous avons maintenant notre 𝑚, notre pente et notre 𝑐, notre ordonnée à l’origine.
Ce que nous pouvons faire, c’est simplement les remplacer dans notre formule pour l’équation, et cela nous donnera l’équation de la tangente. Ainsi, ce que nous pouvons dire, c’est que l’équation de la tangente à la courbe 𝑥 est égal à 𝑡 au carré moins 𝑡, 𝑦 est égal à 𝑡 au carré plus 𝑡 plus un au point zéro, trois est 𝑦 est égale à trois 𝑥 plus trois.
