Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver la dérivée première d’une courbe définie par des équations paramétriques, ainsi que les équations de ses tangentes et normales à la courbe.
Les équations paramétriques permettent d’exprimer les variables d’une équation en fonction d’un paramètre. Par exemple, si l’on a une équation cartésienne de la forme , on peut exprimer et en fonction d’un paramètre :
Ces équations paramétriques décriront exactement la même courbe que , seule la forme de la représentation diffère.
Note :
Les équations paramétriques peuvent être utilisées conjointement à n’importe quel système de coordonnées, pas seulement le système de coordonnées cartésiennes. Si l’on voulait paramétrer des coordonnées polaires, par exemple, ce sont les variables et que l’on exprimerait en fonction d’un paramètre.
Il existe de nombreuses applications de la représentation paramétrique. On peut l’utiliser, par exemple, pour faciliter l’écriture de fonctions multivaluées ; en effet, les équations d’ellipses, de cardioïdes ou encore de limaçons de Pascal sont généralement plus difficiles à écrire sous forme cartésienne que sous forme paramétrique.
Il est possible de trouver la dérivée d’une équation sous forme paramétrique directement, sans avoir à passer par la forme cartésienne. On utilise pour cela la formule suivante.
Définition : Dérivée d’une équation paramétrique
Soient et , deux fonctions dérivables telles que, pour et , on a la paire d’équations paramétriques suivante :
Alors, on peut définir la dérivée de par rapport à par quand .
Nous allons montrer comment nous avons établi cette équation. Nous utiliserons pour cela la règle de dérivation des fonctions composées, dont on rappelle la définition ci-dessous.
Définition : Règle de dérivation des fonctions composées
Soient une fonction , dérivable en , et une fonction , dérivable en ; alors, leur composée , définie par , est dérivable en et sa dérivée est donnée par
Voyons comment appliquer cela à nos équations paramétriques,
On suppose que l’on peut écrire nos équations paramétriques sous forme cartésienne, de sorte que
On peut remplacer par nos équations paramétriques dans cette équation ; on obtient alors
On veut ensuite dériver cette équation par rapport à . On constate que le côté droit de notre équation est une fonction composée ; on lui applique la règle de dérivation des fonctions composées :
Ici, il faut être attentif au fait que les fonctions désignées par une lettre minuscule sont dérivées par rapport à , tandis que la fonction désignée par une majuscule est dérivée par rapport à . Donc, pour nos équations paramétriques et , on a
On peut maintenant remplacer par et dans notre équation différentielle et on obtient
Enfin, puisque est la dérivée de par rapport à et que , alors et l’on a donc que l’on réarrange pour obtenir notre résultat,
La preuve de la formule de la dérivée d’équations paramétriques étant faite, passons à un premier exemple dans lequel nous verrons comment l’utiliser.
Exemple 1: Trouver la dérivée d’équations paramétriques
Soient et ; trouvez le taux de variation de par rapport à .
Réponse
On nous demande de trouver le taux de variation de par rapport à , qui peut aussi s’écrire . On nous donne et en fonction d’un paramètre , donc on devra utiliser la formule de la dérivée d’équations paramétriques :
Commençons par chercher . On nous donne sous la forme d’un polynôme en , donc on peut utiliser les règles de dérivation des polynômes pour calculer sa dérivée. On multiplie d’abord chaque terme par sa puissance de , puis on diminue de un la puissance de . On obtient alors
On doit ensuite dériver par rapport à de la même manière ; on obtient
On peut à présent remplacer dans la formule par nos résultats de et pour obtenir notre solution :
Grâce aux dérivées d’équations paramétriques, on peut également trouver la dérivée d’une fonction par rapport à une autre fonction.
Définition : Dérivée d’une fonction par rapport à une autre fonction
Soient deux fonctions et ; on peut définir la dérivée de par rapport à par
Passons à un exemple dans lequel nous mettrons ceci en pratique.
Exemple 2: Trouver la dérivée d’une fonction par rapport à une autre fonction
Trouvez la dérivée de par rapport à en .
Réponse
On peut commencer par poser
Avec nos équations écrites sous cette forme, on constate qu’il nous est demandé de trouver la dérivée de par rapport à . La formule que l’on peut utiliser pour trouver cette dérivée est
On doit dériver et par rapport à . Il nous faudra donc utiliser les règles de dérivation des polynômes mais aussi celles des fonctions trigonométriques. Pour dériver une fonction puissance, on multiplie le terme par la puissance de , puis on diminue de un la puissance de . Pour nos fonctions trigonométriques, on utilise les dérivées usuelles
En appliquant ces règles, on trouve que et
En remplaçant par ces résultats dans notre formule, on obtient finalement
Il nous était demandé dans l’énoncé de trouver la dérivée en . On remplace donc par cette valeur dans et on a
En simplifiant, on trouve que notre solution est
On sait que l’on peut utiliser la dérivée d’une équation cartésienne pour trouver la pente de sa courbe en un point donné et qu’avec cette pente, on peut trouver la tangente ou la normale à la courbe en ce point. Il est aussi possible d’y parvenir en partant des équations paramétriques.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment les dérivées d’équations paramétriques peuvent être utilisées pour trouver la tangente à une courbe en un point donné.
Exemple 3: Trouver la tangente à une courbe à l’aide de dérivées d’équations paramétriques
Trouvez l’équation de la tangente à la courbe et en .
Réponse
On nous donne une paire d’équations paramétriques et on nous demande de trouver la tangente à la courbe en un point donné. Pour trouver l’équation de la tangente, on doit d’abord déterminer sa pente. Pour cela, on peut évaluer la dérivée de nos équations paramétriques au point donné. On utilisera donc la formule de la dérivée d’une équation paramétrique, en prenant note qu’ici notre paramètre est :
On dérive à présent nos deux équations trigonométriques, ce qui nous donne et
On remplace par ces résultats dans notre formule et on obtient
On simplifie davantage l’expression et on trouve que notre dérivée est
Pour trouver la pente de la tangente en , on doit remplacer par cette valeur dans notre différentielle. On obtient alors
Une fois la pente de la tangente trouvée, il nous faut identifier un point par lequel elle passe. Pour cela, on peut déterminer les valeurs prises par et quand . En remplaçant par dans nos équations de et , on trouve
On sait à présent que la pente de la tangente est égale à 2 et qu’elle passe par le point de coordonnées ; on dispose donc de toutes les informations nécessaires pour trouver son équation. Pour cela, on peut utiliser la formule où est la pente de la tangente et est un point de la tangente. On a alors
On peut passer tous les termes du côté gauche de l’équation :
Enfin, on simplifie et on obtient notre solution :
On peut utiliser une méthode similaire pour trouver la normale à une courbe paramétrée en un point donné. Cependant, dans le cas d’une normale, on n’oubliera pas qu’une fois la pente de la courbe au point donné trouvée, il faut utiliser le fait que
Ainsi, si la pente de la tangente est , alors la pente de la normale est .
Dans notre dernier exemple, nous verrons comment identifier les points d’une courbe paramétrée pour lesquels la courbe admet une tangente verticale.
Exemple 4: Trouver pour quelles valeurs de son paramètre une courbe paramétrée admet une tangente verticale
Trouvez les valeurs de pour lesquelles la courbe et admet une tangente verticale.
Réponse
Pour qu’une courbe ait une tangente verticale, son gradient doit être infini. Notre formule de la dérivée d’une équation paramétrique nous aidera à appréhender ce concept quelque peu abstrait. On sait que
Cette dérivée devient de plus en plus grande à mesure que devient de plus en plus petit. Par conséquent, notre dérivée ainsi que la pente de la tangente tendent vers l’infini quand tend vers zéro.
Il nous faut donc trouver les valeurs de pour lesquelles . On peut commencer par dériver par rapport à . On obtient
On pose que notre dérivée est égale à 0 pour ensuite résoudre l’équation résultante et trouver les valeurs de . On a donc
Grâce à la formule quadratique, on sait que les solutions d’une équation du second degré de la forme sont
Dans notre cas, , et ; par conséquent,
On peut maintenant distinguer les deux solutions impliquées par le signe plus ou moins. Pour le signe plus, on a
Pour le signe moins, on a
Par conséquent, les valeurs de pour lesquelles notre courbe admet une tangente verticale sont et .
Points clés
- Si l’on a une paire d’équations paramétriques dérivables et , alors on définit la dérivée de ces équations paramétriques par quand .
- Si l’on a deux fonctions et , alors on peut définir la dérivée de par rapport à par
- On peut trouver l’équation d’une tangente ou d’une normale à une courbe paramétrée en déterminant la pente à l’aide de la dérivée, puis en appliquant la formule , où est un point de la tangente ou de la normale.
