Vidéo : Dérivées des équations paramétriques

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver la dérivée première d’une courbe définie par des équations paramétriques et trouver les équations des tangentes et des normales aux courbes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver la dérivée première d’une courbe définie par des équations paramétriques et trouver les équations des tangentes et des normales à ces courbes. Nous rappelons que les équations paramétriques sont un ensemble d’équations qui définissent un groupe de quantités en fonction de différentes variables. Elles apparaissent en cinématique, sont souvent utilisées pour décrire des figures géométriques et apparaissent même en géométrie vectorielle. Il est donc important de pouvoir appliquer le calcul aux équations paramétriques.

Supposons que 𝑓 et 𝑔 sont des fonctions dérivables telles que 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑡 sont une paire d’équations paramétriques qui décrivent une courbe.

Nous devrons souvent être en mesure de trouver la tangente ou la normale à la courbe, à moins que nous ayons besoin de trouver la dérivée de cette courbe en un point. Il y aura des moments où nous pourrons écrire 𝑦 en fonction de 𝑥 et le dériver. Mais ce n’est pas toujours aussi simple. Et ce n’est souvent pas la méthode la plus efficace de toute façon.

Au lieu de cela, nous appliquons la règle de chaîne. Dans ce cas, cela signifie que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡 fois la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑥. Mais qu’est-ce que cela veut vraiment dire ?

Eh bien, nous pouvons voir que nous serons en mesure de dériver 𝑦 par rapport à 𝑡. Mais qu’en est-il de d𝑡 sur d𝑥 ? Eh bien, nous réorganiserons notre fonction pour 𝑥. Et nous disons que 𝑡 est égal à l’inverse 𝑓 de 𝑥. Ensuite, en raison du théorème de la fonction réciproque, nous pouvons dire que d𝑡 sur d𝑥 est identique à un sur d𝑥 sur d𝑡. Et cela nous mène à un très bon résultat. On voit que d𝑦 sur d𝑥 peut être trouvé en multipliant d𝑦 sur d𝑡 par un sur d𝑥 sur d𝑡, ou d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 sur d𝑥 sur d𝑡. Cela signifie maintenant que, étant donné deux fonctions dérivables 𝑦 et 𝑥, nous pouvons calculer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 en divisant la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡 par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡. Voyons maintenant un exemple d’application de cette formule.

Étant donné 𝑦 est égal à moins sept [𝑡] au cube plus huit et 𝑧 est égal à moins sept [𝑡] plus trois, trouvez le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑧.

Face à une question sur le taux de variation de quelque chose, nous devrions penser aux produits dérivés. Ici, nous voulons trouver le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑧. Nous allons donc calculer d𝑦 sur d𝑧. C’est la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑧.

On rappelle alors que, étant donné deux équations paramétriques — 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑡 — on trouve d𝑦 sur d𝑥 en multipliant d𝑦 sur d𝑡 par un sur d𝑥 sur d𝑡. Ou de manière équivalente, en divisant d𝑦 sur d𝑡 sur d𝑥 sur d𝑡. Dans cet exemple, nos deux fonctions sont 𝑦 et 𝑧. On dit donc que d𝑦 sur d𝑧 est égal à d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑧 sur d𝑡. Et nous voyons que nous allons devoir commencer par dériver chaque fonction par rapport à 𝑡.

Nous commencerons par dériver 𝑦 par rapport à 𝑡. N’oubliez pas que pour dériver un terme polynomial, nous multiplions le terme par l’exposant, puis nous le réduisons de un. Ainsi, la dérivée première de moins 70 au cube est trois fois moins 70 au carré. Et en fait, la dérivée première de huit est zéro. Bien sûr, nous n’avons pas vraiment besoin d’inclure ce plus zéro. Nous constatons donc que d𝑦 sur d𝑡 est égal à moins 21𝑡 au carré.

Nous allons maintenant répéter ceci pour d𝑧 sur d𝑡. Cette fois, la dérivée première est deux fois moins sept 𝑡, ce qui est moins 14𝑡. d𝑦 sur d𝑧 est ce que nous obtenons lorsque nous divisons d𝑦 sur d𝑡 par d𝑧 sur d𝑡. Donc, c’est moins 21𝑡 au carré divisé par moins 14𝑡. Bien sûr, moins un divisé par moins un est plus un. Et nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par 𝑡. Notre dernière étape consiste à simplifier en divisant par 21 et 14 par sept. Nous trouvons donc le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑧 égal à trois 𝑡 sur deux.

Maintenant, il est important de noter que, parfois, nous pouvons utiliser la substitution pour exprimer 𝑦 en fonction de 𝑥 et la dériver normalement. Par exemple, si nous avions deux équations paramétriques — 𝑦 est égal à cinq 𝑡 au carré et 𝑥 est égal à trois 𝑡 moins deux — nous pouvons écrire notre équation pour 𝑥 comme 𝑡 est égal à 𝑥 plus deux sur trois. Ensuite, nous remplaçons 𝑡 par 𝑥 plus deux sur trois. Et nous constatons que 𝑦 est égal à cinq fois 𝑥 plus deux sur trois le tout au carré. Nous pourrions alors dériver ici, ce qui n’est généralement pas efficace comme vous pouvez le voir. Dans notre exemple suivant, nous verrons comment la méthode de la règle de chaîne s’applique aux équations paramétriques légèrement plus compliquées.

Trouvez la dérivée de sept 𝑥 plus quatre sin 𝑥 par rapport à cos 𝑥 plus un à 𝑥 est égal à 𝜋 sur six.

Commençons par définir nos deux fonctions. Nous allons laisser 𝑦 égal à sept 𝑥 plus quatre sin 𝑥. Et nous définirons cos 𝑥 plus un comme 𝑧. On rappelle alors que, étant donné deux équations paramétriques — 𝑥 égal 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 égal 𝑔 de 𝑡 — on peut trouver d𝑦 sur d𝑥 en multipliant d𝑦 sur d𝑡 par un sur d𝑥 sur d𝑡. Ou de manière équivalente, en divisant d𝑦 sur d𝑡 sur d𝑥 sur d𝑡.

Maintenant, dans ce cas, nos deux fonctions sont 𝑦 et 𝑧. Et ils sont en fonction de 𝑥. On voit donc que d𝑦 sur d𝑧 doit être égal à d𝑦 sur d𝑥 divisé par d𝑧 sur d𝑥. Nous allons donc devoir commencer par dériver chacune de nos fonctions par rapport à 𝑥. La dérivée première de sept 𝑥 est sept. Et quand on dérive le sin 𝑥, on obtient cos 𝑥. On voit donc que d𝑦 sur d𝑥 ici est sept plus quatre cos de 𝑥.

Nous savons également que si nous dérivons cos de 𝑥, nous obtenons moins sin 𝑥. C’est donc d𝑧 sur d𝑥. C’est moins sin 𝑥. d𝑦 sur d𝑧 est le quotient. C’est sept plus quatre cos de 𝑥 divisé par le moins sin 𝑥. Mais nous n’avons pas tout à fait terminé. Nous cherchons à trouver la dérivée au point où 𝑥 est égal à 𝜋 sur six. Nous allons donc remplacer 𝑥 par 𝜋 sur six dans notre expression. C’est sept plus quatre cos de 𝜋 sur six sur le moins sin 𝜋 sur six.

Cos de 𝜋 sur six est racine trois sur deux. Et le sin de 𝜋 sur six est un demi. Lorsque nous divisons par un demi, cela revient à multiplier le numérateur par deux. Et nous voyons donc que la dérivée de notre fonction, sept 𝑥 plus quatre sin 𝑥, par rapport à cos de 𝑥 plus un à 𝑥 est égal à 𝜋 sur six est moins 14 moins quatre racine trois.

Jusqu’à présent, nous avons établi comment trouver la dérivée et l’évaluer à un moment donné. On rappelle alors que la dérivée évaluée en un point est le gradient de la tangente à la courbe en ce point. Et cela signifie que nous pouvons utiliser la géométrie des coordonnées pour trouver l’équation d’une tangente à une courbe. Voyons à quoi ça ressemble.

Trouvez l’équation de la tangente à la courbe 𝑥 est égal à cinq sec 𝜃 et 𝑦 est égal à cinq tan 𝜃 à 𝜃 est égal à 𝜋 sur six.

Pour trouver l’équation d’une tangente, il faut commencer par calculer son gradient. C’est, bien sûr, la valeur due la dérivée en ce point. Nous allons donc devoir commencer par calculer la valeur de d𝑦 sur d𝑥 lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six.

Eh bien, bien sûr, ce sont des équations paramétriques. Il y a une équation pour 𝑥 en fonction de 𝜃 et une équation pour 𝑦 en fonction de 𝜃. Nous rappelons que, étant donné deux équations paramétriques — 𝑥 est une fonction dans 𝜃 et 𝑦 est une autre fonction dans 𝜃 — nous pouvons trouver d𝑦 sur d𝑥 en divisant d𝑦 sur d 𝜃 sur d𝑥 par d 𝜃. Nous voyons donc que nous allons devoir commencer par dériver chacune de nos fonctions par rapport à 𝜃. Nous utiliserons le résultat général pour la dérivée de sec de 𝑥 et de tan de 𝑥 pour ce faire.

La dérivée de sec de 𝑥 est sec 𝑥 tan 𝑥. Et la dérivée de tan 𝑥 est sec au carré 𝑥. Cela signifie que d𝑥 par d 𝜃 est de cinq sec 𝜃 tan 𝜃. Et puis d𝑦 sur d 𝜃 est de cinq sec au carré 𝜃. d𝑦 sur d𝑥 est le quotient de ceux-ci. C’est cinq sec au carré 𝜃 divisé par cinq sec 𝜃 tan 𝜃. Et bien sûr, nous pouvons simplifier en divisant par cinq et par sec 𝜃. On rappelle alors que sec 𝜃 est le même que celui sur cos 𝜃. On rappelle alors que sec 𝜃 est le même que celui sur cos 𝜃. Et nous allons diviser ceci par tan 𝜃, ou diviser par sin 𝜃 sur cos 𝜃.

Maintenant, la division par une fraction équivaut à la multiplication par l’inverse de cette fraction. Nous allons donc multiplier un sur cos 𝜃 par cos 𝜃 sur sin 𝜃. Et c’est super parce que nous avons un peu plus d’annulations à faire. Nous avons maintenant complètement simplifié l’expression de la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. C’est un sur le sin 𝜃. On pourrait l’écrire comme csc 𝜃.

Rappelez-vous, nous cherchions à trouver la valeur du gradient de la tangente à 𝜃 égal à 𝜋 sur six. Essayons donc d𝑦 sur d𝑥 lorsque 𝜃 est 𝜋 sur six. C’est un sur le sin de 𝜋 sur six. Et puisque le sin de 𝜋 sur six est un demi, nous trouvons le gradient de la tangente égal à deux.

Maintenant que nous avons le gradient de la courbe, dégageons un peu d’espace et voyons de quoi d’autre nous avons besoin. L’équation d’une droite avec le gradient de 𝑚 qui passe par un point avec des coordonnées cartésiennes 𝑥 un, 𝑦 un est 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un. Nous connaissons très clairement la valeur de 𝑚. Mais nous n’avons pas de coordonné 𝑥𝑦 que nous pouvons utiliser.

Mais en substituant 𝜃 égal à 𝜋 sur six dans chacune de nos équations originales, nous trouverons la coordonnée du point où la tangente rencontre la courbe. Nous obtenons 𝑥 est égal à cinq sec de 𝜋 sur six. Et en fait, c’est 10 racine trois sur trois. Et puis nous obtenons 𝑦 égal à cinq tan de 𝜋 sur six. Et c’est cinq racine trois sur trois.

En substituant ce que nous avons dans notre formule à l’équation d’une droite, et nous obtenons 𝑦 moins cinq racine trois sur trois égale deux fois 𝑥 moins 10 racine trois sur trois. Lorsque nous distribuons les parenthèses, nous obtenons deux 𝑥 moins 20 racine trois sur trois sur le côté droit. Nous simplifions en soustrayant deux 𝑥 et en ajoutant 20 racine trois sur trois des deux côtés pour trouver l’équation 𝑦 moins deux 𝑥 plus 15 racine trois sur trois égale zéro.

Il ne nous reste plus qu’à simplifier notre fraction. Et lorsque nous le faisons, nous trouvons que l’équation de la tangente à notre courbe lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six pour être 𝑦 moins deux 𝑥 plus cinq racine trois est égal à zéro.

Nous allons maintenant discuter des intervalles de croissance et de décroissance pour une courbe définie par des fonctions paramétriques.

Supposons que nous ayons une paire d’équations paramétriques telles que 𝑥 est égal à 𝑡 au carré plus 𝑡 et 𝑦 est égal à deux 𝑡 moins un. Nous pourrions souhaiter déterminer la nature de la courbe sur différents intervalles. En d’autres termes, quels sont les intervalles de croissance et de décroissance de notre courbe ?

Rappelez-vous, nous disons qu’une courbe décrite par l’équation 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 croît lorsque sa dérivée première est supérieure à zéro. Et elle décroît lorsque sa dérivée première est inférieure à zéro. Donc, pour trouver des intervalles de croissance et de décroissance, nous trouvons généralement une expression pour d𝑦 sur d𝑥 puis établissons sur quels intervalles qui est supérieur à zéro ou inférieur à zéro. Dans ce cas, on se retrouve avec d𝑦 sur d𝑥 est égal à deux sur deux 𝑡 plus un.

Maintenant, nous avons un petit problème ici. Cette dérivée ne peut pas nous aider à trouver des intervalles de croissance et de décroissance. Et c’est parce que la courbe ressemble un peu à ça. Notez que la courbe décroît et décroît à la fois pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures à zéro. Ce que nous pouvons faire cependant, c’est considérer les dérivées par rapport à notre paramètre 𝑡. Par exemple, si nous choisissons de déterminer si la courbe croît ou décroît lorsque 𝑡 est égal à moins quatre, nous trouvons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins deux septièmes. Il est inférieur à zéro et, par conséquent, elle décroît à ce stade. Nous pouvons donc établir ce qui se passe en des points clés. Il est juste très difficile de déterminer des intervalles de croissance et de décroissance.

Dans cette vidéo, nous avons vu que les équations paramétriques sont un ensemble d’équations qui définissent un groupe de quantités en fonction de différentes variables. Nous avons vu que, pour deux équations paramétriques — 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑡 — d𝑦 sur d𝑥 est d𝑦 sur d𝑡 sur d𝑥 sur d𝑡. Nous avons vu que nous pouvons utiliser la dérivée pour trouver la nature de la courbe à différentes valeurs de 𝑡. Mais nous devons être très prudents car nous ne pouvons pas toujours évaluer les intervalles de croissance et de décroissance.

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