Vidéo de la leçon: Dérivées des équations paramétriques Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la dérivée première d’une courbe définie par des équations paramétriques et à trouver les équations de la tangente et la normale à cette courbe. On rappelle que des équations paramétriques sont un ensemble d’équations définissant plusieurs quantités comme des fonctions de différentes variables. On les retrouve en cinématique, en géométrie vectorielle et sont souvent utilisées pour décrire des figures géométriques. Il est donc important de savoir travailler avec les équations paramétriques.

Soit 𝑓 et 𝑔 des fonctions dérivables telles que 𝑥 égale 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 égale 𝑔 de 𝑡 sont deux équations paramétriques décrivant une courbe.

Il est souvent demandé de déterminer la tangente ou la normale à la courbe, ou encore la dérivée de cette courbe en un point. Dans certains cas, il est possible d’exprimer 𝑦 en fonction de 𝑥, puis de dériver son expression. Mais cela n’est pas toujours aussi simple. Et ce n’est pas toujours la méthode la plus efficace non plus.

On peut plutôt essayer d’appliquer la règle de dérivation en chaîne. Celle-ci stipule que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡 fois la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑥. Mais qu’est-ce que cela signifie exactement ?

On peut voir que l’on pourra bien dériver 𝑦 par rapport à 𝑡. Mais comment peut-on déterminer d𝑡 sur d𝑥 ? Eh bien, nous allons pour cela manipuler la fonction de 𝑥. On dit alors que 𝑡 est égal à la réciproque de 𝑓 de 𝑥. Ensuite, d’après le théorème de la dérivée d’une fonction réciproque, on en déduit que d𝑡 sur d𝑥 est égal à un sur d𝑥 sur d𝑡. Et cela nous amène à un résultat très utile. On voit que d𝑦 sur d𝑥 est égale à d𝑦 sur d𝑡 fois un sur d𝑥 sur d𝑡, donc d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑥 sur d𝑡. Cela signifie maintenant que pour deux fonctions dérivables 𝑦 et 𝑥, on peut trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 en divisant la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡 par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡. Voyons maintenant un exemple d’application de cette formule.

Sachant que 𝑦 égale moins sept 𝑡 au cube plus huit et que 𝑧 égale moins sept 𝑡 au carré plus trois, déterminez la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑧.

Nous avons donc ici deux équations paramétriques. Et nous souhaitons déterminer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑧. Nous allons donc essayer de trouver l’expression de d𝑦 sur d𝑧. Il s’agit de la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑧.

On rappelle alors que pour deux équations paramétriques, 𝑥 égale 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 égale 𝑔 de 𝑡 - d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 fois un sur d𝑥 sur d𝑡. Ou de manière équivalente, d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑥 sur d𝑡. Dans cet exemple, nos deux fonctions sont 𝑦 et 𝑧. d𝑦 sur d𝑧 est donc égal à d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑧 sur d𝑡. Nous allons donc devoir commencer par dériver chaque fonction par rapport à 𝑡.

Commençons par dériver 𝑦 par rapport à 𝑡. On rappelle que pour dériver une puissance, on multiplie le terme par l’exposant, puis on réduit cet exposant de un. La dérivée première de moins 70 au cube est donc trois fois moins 70 au carré. Et la dérivée première de huit est en fait zéro. Mais il n’est bien sûr pas nécessaire de noter ce plus zéro. Nous avons ainsi trouvé que d𝑦 sur d𝑡 est égal à moins 21𝑡 au carré.

Nous allons maintenant répéter cela pour d𝑧 sur d𝑡. Cette fois, la dérivée première est deux fois moins sept 𝑡, ce qui fait moins 14𝑡. Et pour obtenir d𝑦 sur d𝑧, on divise d𝑦 sur d𝑡 par d𝑧 sur d𝑡. Ce qui fait moins 21𝑡 au carré sur moins 14𝑡. terme sûr, un terme négatif divisé par un nombre négatif donne un terme positif. Et on peut diviser le numérateur et le dénominateur par 𝑡. On peut enfin simplifier en divisant 21 et 14 par sept. Par conséquent, la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑧 est égale à trois 𝑡 sur deux.

Maintenant, il est important de noter que l’on peut parfois exprimer 𝑦 en fonction de 𝑥 et dériver comme d’habitude. Par exemple, pour les équations paramétriques, 𝑦 égale cinq 𝑡 au carré et 𝑥 égale trois 𝑡 moins deux, on peut reformuler l’équation de 𝑥 par 𝑡 égale 𝑥 plus deux sur trois. On peut ensuite remplacer 𝑡 par 𝑥 plus deux sur trois dans l’expression de 𝑦. Et on trouve que 𝑦 est égal à cinq fois 𝑥 plus deux sur trois, le tout au carré. Nous pourrions alors dériver cette expression, mais ce ne serait pas très efficace comme vous pouvez le voir. Dans le prochain exemple, nous allons voir comment la méthode de la règle de dérivation en chaîne fonctionne pour des équations paramétriques légèrement plus compliquées.

Calculez la dérivée de sept 𝑥 plus quatre sinus 𝑥 par rapport à cosinus 𝑥 plus un en 𝑥 égale 𝜋 sur six.

Commençons par définir nos deux fonctions. On pose 𝑦 égale sept 𝑥 plus quatre sinus 𝑥. Et on définit 𝑧 égal à cosinus 𝑥 plus un. On rappelle ensuite que pour deux équations paramétriques, 𝑥 égale 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 égale 𝑔 de 𝑡, on peut trouver d𝑦 sur d𝑥 en multipliant d𝑦 sur d𝑡 par un sur d𝑥 sur d𝑡. Ou de manière équivalente, en divisant d𝑦 sur d𝑡 par d𝑥 sur d𝑡.

Dans ce cas, nos deux fonctions sont 𝑦 et 𝑧. Et elles sont en fonction de la variable 𝑥. Nous pouvons donc voir que d𝑦 sur d𝑧 doit être égal à d𝑦 sur d𝑥 divisé par d𝑧 sur d𝑥. Nous allons donc devoir commencer par dériver chacune de ces fonctions par rapport à 𝑥. La dérivée première de sept 𝑥 est sept. Et lorsque l’on dérive sinus 𝑥, on obtient cosinus 𝑥. d𝑦 sur d𝑥 est donc égal à sept plus quatre cosinus 𝑥.

On sait également que la dérivée de cosinus 𝑥 est moins sinus 𝑥. Et c’est l’expression de d𝑧 sur d𝑥. Moins sinus 𝑥. d𝑦 sur d𝑧 est ensuite égal au quotient de ces expressions. C’est-à-dire sept plus quatre cosinus 𝑥 divisé par moins sinus 𝑥. Mais nous n’avons pas tout à fait terminé. Nous cherchons à calculer la dérivée au point où 𝑥 est égal à 𝜋 sur six. Nous allons donc remplacer 𝑥 par 𝜋 par six dans notre expression. Cela fait sept plus quatre cos de 𝜋 sur six sur moins sin de 𝜋 sur six.

Cos de 𝜋 sur six est égal à racine carrée de trois sur deux. Et sin de 𝜋 sur six est égal à un demi. Mais diviser par un demi revient à multiplier le numérateur par deux. Par conséquent, la dérivée de la fonction sept 𝑥 plus quatre sinus 𝑥 par rapport à cosinus 𝑥 plus un en 𝜋 sur six est égale à moins 14 moins quatre racine carrée de trois.

Jusqu’à présent, nous avons montré comment trouver la dérivée et l’évaluer en un point. Rappelons alors que la dérivée en un point est égale à la pente de la tangente à la courbe en ce point. Cela signifie que nous pouvons utiliser la géométrie analytique pour trouver l’équation de la tangente à une courbe. Voyons comment cela fonctionne.

Déterminez l’équation de la tangente à la courbe 𝑥 égale cinq sécante de 𝜃 et 𝑦 égale cinq tangente de 𝜃 en 𝜃 égale 𝜋 sur six.

Pour trouver l’équation d’une tangente, il faut commencer par calculer sa pente. Et il s’agit bien sûr de la valeur de la dérivée en ce point. Nous allons donc devoir commencer par calculer la valeur de d𝑦 sur d𝑥 lorsque 𝜃 égale 𝜋 sur six.

Nous avons ici des équations paramétriques. Il y a une équation pour 𝑥 en fonction de 𝜃 et une équation pour 𝑦 en fonction de 𝜃. On rappelle alors que pour deux équations paramétriques, où 𝑥 est une fonction de 𝜃 et 𝑦 est une autre fonction de 𝜃, d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝜃 divisé par d𝑥 sur d𝜃. Nous allons donc devoir commencer par dériver ces deux fonctions par rapport à 𝜃. Nous allons utiliser pour cela les formules de la dérivée de sécante de 𝑥 et de tangente 𝑥.

La dérivée de sécante de 𝑥 est sécante de 𝑥 tangente 𝑥. Et la dérivée de tangente 𝑥 est sécante de 𝑥 au carré. Cela signifie que d𝑥 sur d𝜃 est égal à cinq sécante de 𝜃 tangente 𝜃. Et que d𝑦 sur d𝜃 est égal à cinq sécante de 𝜃 au carré. d𝑦 sur d𝑥 est ensuite le quotient de ces expressions. C’est-à-dire cinq sécante de 𝜃 au carré divisé par cinq sécante de 𝜃 tangente 𝜃. Et bien sûr, on peut simplifier en annulant les facteurs cinq et sécante de 𝜃. On rappelle alors que sécante de 𝜃 est égal à un sur cosinus 𝜃. Et que tangente 𝜃 est égal à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃. Or on divise notre expression par tangente 𝜃, c’est-à-dire par sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃.

Mais diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. On multiplie donc un sur cosinus 𝜃 par cosinus 𝜃 sur sinus 𝜃. Et c’est une bonne nouvelle car on peut simplifier davantage en annulant le facteur cosinus 𝜃. Nous avons maintenant entièrement simplifié l’expression de la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Elle est égale à un sur sinus 𝜃. Que l’on peut également écrire cosécante de 𝜃.

Mais rappelez-vous que nous cherchions la valeur de la pente de la tangente en 𝜃 égale 𝜋 sur six. Nous allons donc calculer d𝑦 sur d𝑥 lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six. Cela fait un sur sinus de 𝜋 sur six. Et puisque sinus de 𝜋 sur six est égal à un demi, on trouve que la pente de la tangente est égale à deux.

Maintenant que nous avons la pente de la tangente à la courbe, faisons un peu de place et voyons ce dont nous avons besoin. L’équation d’une droite de pente 𝑚 qui passe par un point de coordonnées cartésiennes 𝑥 un, 𝑦 un est 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un. Nous connaissons maintenant la valeur de 𝑚. Mais nous n’avons pas de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un à utiliser.

En remplaçant cependant 𝜃 par 𝜋 sur six dans chacune des deux équations d’origine, nous pouvons trouver les coordonnées du point où la tangente rencontre la courbe. On obtient ainsi 𝑥 égale cinq sécante de 𝜋 sur six. Ce qui fait 10 racine carrée de trois sur trois. Et 𝑦 est égal à cinq tangente de 𝜋 sur six. Ce qui fait cinq racine carrée de trois sur trois.

En substituant ces coordonnées dans l’équation d’une droite, on obtient 𝑦 moins cinq racine carrée de trois sur trois égale deux fois 𝑥 moins 10 racine carrée de trois sur trois. Et en distribuant le deux, on a deux 𝑥 moins 20 racine carrée de trois sur trois au membre droit. On reformule ensuite en soustrayant deux 𝑥 et en ajoutant 20 racine carrée de trois sur trois aux deux membres, ce qui donne l’équation 𝑦 moins deux 𝑥 plus 15 racine carrée de trois sur trois égale zéro.

Et il ne nous reste plus qu’à simplifier la fraction. On trouve ainsi que l’équation de la tangente à la courbe lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six est 𝑦 moins deux 𝑥 plus cinq racine carrée de trois égale zéro.

Nous allons maintenant parler des intervalles de croissance et de décroissance d’une courbe définie par des fonctions paramétriques.

Soit deux équations paramétriques telles que 𝑥 égale 𝑡 au carré plus 𝑡 et 𝑦 égale deux 𝑡 moins un. Nous souhaitons déterminer la nature de la courbe sur différents intervalles. En d’autres termes, quels sont les intervalles de croissance et de décroissance de cette courbe ?

Rappelez-vous qu’une courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est dite croissante lorsque sa dérivée première est supérieure à zéro. Et qu’elle est décroissante lorsque sa dérivée première est inférieure à zéro. Pour trouver les intervalles de croissance ou de décroissance, on essaye donc généralement de trouver l’expression de d𝑦 sur d𝑥, puis on établit sur quels intervalles elle est supérieure ou inférieure à zéro. Dans ce cas, on peut montrer que d𝑦 sur d𝑥 est égal à deux sur deux 𝑡 plus un.

Mais nous avons un petit problème ici. Cette dérivée ne peut pas nous aider à trouver des intervalles de croissance ou de décroissance. Et c’est parce que la courbe ressemble à peu près à ceci. Remarquez que la courbe est à la fois croissante et décroissante pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures à zéro. Ce que l’on peut cependant faire est de considérer les dérivées par rapport au paramètre 𝑡. Par exemple, si on cherche à déterminer si la courbe est croissante ou décroissante lorsque 𝑡 est égal à moins quatre, on trouve que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins deux sur sept en cette valeur. Cela est inférieur à zéro, donc la courbe est décroissante en ce point. Cela nous permet d’établir ce qui se passe en des valeurs particulières du paramètre. Mais il est très difficile de déterminer des intervalles de croissance ou de décroissance.

Dans cette vidéo, nous avons vu que les équations paramétriques sont un ensemble d’équations qui définissent plusieurs quantités comme des fonctions de différentes variables. Nous avons appris que pour deux équations paramétriques, 𝑥 égale 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 égale 𝑔 de 𝑡, d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑥 sur d𝑡. Nous avons également vu que l’on peut utiliser la dérivée pour déterminer la nature de la courbe en différentes valeurs de 𝑡. Mais nous devons être très prudents car il n’est pas toujours possible de déterminer des intervalles de croissance et de décroissance de la courbe.