Transcription de la vidéo
Déterminez l’intégrale par rapport à 𝑥 de cinq 𝑒 puissance quatre divisé par 𝑥, plus cinq 𝑥 au carré fois le logarithme népérien de six.
Dans cette question, on nous demande de calculer une intégrale. Et on remarque que cette intégrale est la somme de deux fonctions. Par conséquent, on peut intégrer chaque terme séparément. On peut trouver ces deux termes un peu compliqués au premier abord. On peut par exemple remarquer que dans le premier terme, on a un facteur 𝑒 puissance quatre. Et que dans le second terme, on a un facteur logarithme népérien de six. Mais en fait, ces deux facteurs sont des constantes ; ils ne varient pas quand la valeur de 𝑥 varie. En réalité, seuls deux éléments de cette expression varient quand 𝑥 varie. Il s’agit du 𝑥 par lequel on divise dans le premier terme et du facteur 𝑥 au carré dans le second terme.
Donc, dans le premier terme, cinq 𝑒 puissance quatre est une constante et dans le second terme, cinq fois le logarithme népérien de six est aussi une constante. On s’aperçoit alors qu’on sait très bien comment intégrer chacun de ces deux termes. Pour intégrer le premier terme, on rappelle la formule pour intégrer les fonctions inverses. Pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale de 𝑎 sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus la constante d’intégration 𝐶. On peut voir que dans le cas de notre premier terme, la constante 𝑎 est égale à cinq 𝑒 puissance quatre.
Donc, pour intégrer notre premier terme, on remplace 𝑎 par cinq 𝑒 puissance quatre dans notre formule d’intégration et on obtient cinq 𝑒 puissance quatre fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥. Soulignons qu’il n’est nécessaire d’ajouter une constante d’intégration qu’à la fin de cette expression. Donc, on peut s’en passer pour l’instant. Puis pour intégrer le second terme, on va utiliser la propriété pour intégrer les puissances. D’après cette propriété, pour tous réels 𝑎 et 𝑛 où 𝑛 est différent de moins un, l’intégrale de 𝑎𝑥 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un, divisé par 𝑛 plus un, plus la constante d’intégration 𝐶.
Autrement dit, on ajoute un à notre puissance de 𝑥, puis on divise par cette nouvelle puissance. Dans notre cas, la constante 𝑎 est égale à cinq fois le logarithme népérien de six et la puissance 𝑛 est égale à deux. Utilisons cela pour intégrer notre second terme. On remplace 𝑎 par cinq fois le logarithme népérien de six et 𝑛 par deux. Cela nous donne cinq fois le logarithme népérien de six, fois 𝑥 au cube, le tout divisé par trois. Et bien sûr, il faut maintenant ajouter notre constante d’intégration 𝐶.
On pourrait laisser notre réponse sous cette forme. Mais on va la réarranger légèrement. Dans le second terme, on prend le facteur constant logarithme népérien de six et on l’écrit plutôt à la fin de notre second terme. Cela nous donne notre réponse finale.
Ainsi, on a montré que l’intégrale par rapport à 𝑥 de cinq 𝑒 puissance quatre divisé par 𝑥, plus cinq 𝑥 au carré fois le logarithme népérien de six est égale à cinq 𝑒 puissance quatre, fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus cinq 𝑥 au cube divisé par trois, fois le logarithme népérien de six, plus notre constante d’intégration 𝐶.
