Transcription de la vidéo
Déterminez l’aire du triangle ci-dessous à l’aide de déterminants.
Ici, nous avons nommé les sommets. Avant de déterminer l’aire à l’aide de déterminants, il existe une manière différente de résoudre ce problème. L’aire d’un triangle est égale à la moitié de la base du triangle multipliée par sa hauteur. Donc, si nous disons que ceci est notre base, qui mesure quatre et que la hauteur qui est exactement perpendiculaire et qui doit aller directement vers le bas, ou vers le haut si c’était vers le haut, en partant de la base, alors la hauteur de ce triangle serait de neuf. Nous avons donc un demi fois quatre fois neuf. Et la moitié de quatre vaut deux. Donc, deux fois neuf signifie que notre aire aurait pour mesure 18.
Maintenant, ce n’est pas ainsi que nous étions censés résoudre le problème, nous sommes censés le résoudre en utilisant des déterminants, ce que nous ferons. Mais c’est toujours une bonne idée si vous connaissez une autre manière de résoudre un problème ; vous pouvez l’utiliser juste pour vérifier. Pour trouver l’aire d’un triangle à l’aide de déterminants, on peut utiliser le fait que cette aire est égale à un demi fois le déterminant de cette matrice trois-trois.
Alors, que représentent 𝘢, 𝘣, 𝘤, 𝘥, 𝘦 et 𝘧 ? Eh bien, les sommets du triangle sont 𝑥, qui est le point de coordonnées 𝘢, 𝘣, 𝑦, qui est le point de coordonnées 𝘤, 𝘥 et 𝑧, qui est le point de coordonnées 𝘦, 𝘧. Ainsi, nous pouvons commencer et choisir simplement les points que nous désignons par 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Donc 𝑥 a pour coordonnées zéro, cinq, 𝑦 a pour coordonnées quatre, cinq et 𝑧 a pour coordonnées trois, moins quatre. Nous pouvons donc remplacer 𝘢 et 𝘣 par zéro, cinq ; 𝘤, 𝘥 par quatre, cinq ; et 𝘦, 𝘧 par trois, moins quatre.
Alors maintenant, comment calculons-nous le déterminant de cette matrice trois-trois ? Écrivons d’abord le un demi pour ne pas l’oublier à la fin. Nous prenons donc zéro fois le déterminant des nombres qui ne sont ni dans la ligne ni dans la colonne contenant le zéro. Ensuite, nous soustrayons cinq fois le déterminant des nombres qui ne sont ni dans la ligne ni dans la colonne contenant ce cinq. Et puis nous ajoutons un fois le déterminant des nombres qui ne sont ni dans la ligne ni dans la colonne contenant ce un.
Alors, comment calculer le déterminant d’une matrice ? On prend 𝘢 fois 𝘥 moins 𝘣 fois 𝘤 ; c’est presque comme des produits en croix que l’on soustrait. On réécrit le un demi. Maintenant, avant de calculer ce premier déterminant en rose, c’est zéro fois ce déterminant et zéro fois n’importe quel nombre vaut zéro. Donc, il ne sert à rien de perdre notre temps à calculer cela parce que nous obtiendrons de toute manière un produit nul. Commençons donc avec moins cinq fois ce déterminant.
Nous avons donc moins cinq et nous commençons à calculer le déterminant. Quatre fois un moins un fois trois plus un facteur de quatre fois moins quatre moins cinq fois trois. Après avoir multiplié les nombres dans les parenthèses les plus à l’intérieur, nous devons maintenant soustraire ces nombres. Ensuite, nous devons multiplier. Nous avons donc moins cinq moins 31. Et maintenant, on les soustrait. Nous avons donc un demi fois moins 36, soit moins 18. Cependant, c’est une aire et une aire est une mesure qui doit être positive. Donc, l’aire de ce triangle sera de 18 unités au carré.
