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Développez moins un facteur de 𝑎 au cube plus un sur 𝑎 au carré élevé à la puissance 10 le tout élevé à la puissance un sur cinq, où 𝑎 est une constante réelle.
Dans cette question, on nous demande de développer une expression. Et on nous dit que la valeur de 𝑎 est une constante réelle. Pour ce faire, commençons par analyser ce que nous devons développer. Nous avons deux exposants appliqués aux parenthèses. L’exposant à l’intérieur est un entier. Nous pouvons donc le distribuer sur les parenthèses en utilisant la formule du binôme de Newton. Cependant, si nous le faisions, nous obtiendrions une expression très compliquée. Au lieu de cela, essayons d’abord de simplifier ceci en utilisant les règles des puissances.
Pour déterminer quelle règle des puissances nous devons utiliser en premier, commençons par considérer les priorités de calculs. Dans les priorités de calculs, nous commençons par les expressions entre parenthèses. Cela signifie que nous commencerions par ajouter 𝑎 au cube à un sur 𝑎 au carré. Ensuite, nous passerions à la recherche de l’exposant. Nous multiplierions ensuite ceci par moins un. Et enfin, nous trouverions la racine cinquième de toute cette expression. Par conséquent, l’opération finale porte sur l’élévation de tout ceci à la puissance un cinquième. Et nous élevons tout ce qui est entre parenthèses à cette puissance. Nous pouvons voir que ceci est un produit.
Par conséquent, nous allons commencer par distribuer cet exposant d’un cinquième dans les parenthèses. Nous ferons cela en utilisant l’une des règles des puissances. 𝑏 fois 𝑐 le tout élevé à la puissance 𝑛 est égal à 𝑏 à la puissance 𝑛 multiplié par 𝑐 à la puissance 𝑛. En appliquant cela, nous obtenons moins un à la puissance un sur cinq facteur de 𝑎 au cube plus un sur 𝑎 au carré à la puissance 10, le tout élevé à la puissance un sur cinq.
Et maintenant, nous pouvons évaluer le premier facteur à savoir moins un à la puissance un sur cinq. Nous rappelons que cela représente la racine cinquième de moins un. En d’autres termes, c’est le nombre négatif que nous élevons à la puissance cinq pour obtenir moins un et nous savons que c’est moins un. Ainsi, le calcul du premier facteur nous donne moins un.
Pour le second facteur, nous voyons que nous élevons une expression de base à un certain exposant, puis que nous élevons tout ceci à un autre exposant. Et nous pouvons nous rappeler que nous pouvons simplifier ceci en utilisant l’une de nos règles de puissances. Si nous élevons 𝑏 à la puissance 𝑛 et élevons tout cela à la puissance 𝑚, alors nous devons multiplier les exposants. Nous obtenons ainsi 𝑏 à la puissance 𝑛 multiplié par 𝑚. En appliquant ceci, nous obtenons un nouvel exposant égal à 10 multiplié par un cinquième, ce qui est bien sûr égal à deux.
Par conséquent, nous avons simplifié cette expression pour nous donner moins un facteur de 𝑎 au cube plus un sur 𝑎 au carré le tout au carré. Maintenant, tout ce qu’il nous reste à faire est de développer les parenthèses. Nous pouvons le faire en utilisant la formule du binôme de Newton ou la double distributivité. Nous allons utiliser la double distributivité. Nous allons commencer par multiplier les premiers termes de chaque binôme. Cela nous donne 𝑎 au cube fois 𝑎 au cube. Et nous pouvons simplifier ceci en utilisant l’une de nos règles des puissances. Si nous multiplions deux puissances de même base, nous additionnons leurs exposants. En d’autres termes, 𝑏 à la puissance 𝑛 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑚 est égal à 𝑏 à la puissance 𝑛 plus 𝑚. Ainsi, 𝑎 au cube fois 𝑎 au cube sera égal à 𝑎 à la puissance trois plus trois soit 𝑎 à la puissance six. Notre premier terme est donc 𝑎 à la puissance six.
Ensuite, nous multiplions entre eux les termes extérieurs. C’est 𝑎 au cube multiplié par un sur 𝑎 au carré. Et il y a deux manières de calculer cette expression. Nous pouvons soit soustraire les exposants, soit utiliser nos règles des puissances pour réécrire que un sur 𝑎 au carré est égal à 𝑎 à la puissance moins deux. Cela nous permet alors d’utiliser notre autre règle de puissance. Nous devons additionner les exposants. Nous obtenons 𝑎 à la puissance trois moins deux, qui est égal à 𝑎 à la puissance un ou simplement 𝑎. Dans les deux cas, nous obtenons que le terme suivant est 𝑎.
La prochaine étape dans l’application de la double distributivité consiste à multiplier les deux termes intérieurs entre eux. Cela nous donne un sur 𝑎 au carré multiplié par 𝑎 au cube. Ceci est équivalent à la dernière expression. C’est donc aussi égal à 𝑎. Le troisième terme est donc 𝑎.
Enfin, nous devons multiplier les deux derniers termes entre eux. Ceci est égal à un sur 𝑎 au carré multiplié par un sur 𝑎 au carré, que nous pouvons simplifier en utilisant la même règle des puissances que celle utilisée précédemment. C’est égal à un divisé par 𝑎 à la puissance deux plus deux, ce qui donne 𝑎 à la puissance quatre. Par conséquent, le dernier terme de ce développement est égal à un sur 𝑎 à la puissance quatre.
Il suffit maintenant de simplifier cette expression. Premièrement, 𝑎 plus 𝑎 est égal à deux 𝑎. Ensuite, tout ce que nous devons faire c’est de distribuer le moins un sur nos parenthèses. Nous multiplions les trois termes par moins un et cela nous donne notre réponse finale. Nous avons pu montrer que moins un facteur de 𝑎 au cube plus un sur 𝑎 au carré élevé à la puissance 10 le tout élevé à la puissance un sur cinq est égal à moins 𝑎 à la puissance six moins deux 𝑎 moins un sur 𝑎 à la puissance quatre.
