Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Simplifier des expressions exponentielles comportant des puissances fractionnaires Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment effectuer des opérations et des simplifications avec des expressions qui comportent des exposants rationnels.

Les exposants ont de nombreuses applications concrètes - par exemple, au niveau scientifique, on les retrouve dans la construction de l’échelle pH ou de l’échelle de Richter;on peut en retrouver en physique, avec la loi en carrée inverse de l’électromagnétisme, de la gravité ou de la demi-vie d’un matériau radioactif;encore, leur utilisation est commune en ingénierie, lors de la prise de mesures et du calcul des quantités multidimensionnelles;enfin, on en retrouve aussi en informatique, quand on décrit la capacité de la mémoire telle que la RAM ou la ROM, en finance, avec l’intérêt composé, ou en biologie, lors de la description de la croissance ou de la propagation des bactéries ou des virus, pour n’en citer que quelques-uns des champs d’application.

Un exposant rationnel est un exposant sous la forme d’un nombre rationnel (c’est-à-dire un entier ou le quotient de deux nombres entiers).

Faisons d’abord un rappel de ce que sont les puissances entières. Pour les puissances entières positives, on a la définition suivante.

Définition : Exposants positifs de nombres entiers

La forme générale d’une base 𝑎 élevée à la puissance 𝑛, 𝑛 est un nombre entier positif, est donnée par 𝑎=𝑎×𝑎××𝑎, où il y a 𝑛 facteurs de la base 𝑎 (c.-à-d.𝑎 est multiplié par lui-même à plusieurs reprises et apparaît dans le produit 𝑛 fois).

Par exemple, 3=3×3 est le carré du nombre 3 et 3=3×3×3 est le cube du nombre 𝑎, et ainsi de suite.

Pour les puissances entières négatives, on prend l’inverse de l’exposant positif.

Définition : Exposants négatifs de nombres entiers

La forme générale d’une base 𝑎 élevée à la puissance 𝑛, 𝑛 est un nombre entier positif, est donnée par 𝑎=1𝑎.

Par exemple, 7=17=149.

Rappelons que, pour déterminer le produit de deux puissances qui ont la même base, on a la règle du produit pour les exposants, 𝑎×𝑎=𝑎.

En d’autres termes, si les bases sont les mêmes lorsqu’on multiplie, on peut ajouter les puissances. Par exemple, 4×4=4=4, qui, en partant de la définition, est 4 apparaissant deux fois dans le produit pour 4 et trois fois pour 4, soit un total de 5 fois dans le produit. On a également une règle pour le produit de deux bases différentes 𝑎 et 𝑏 élevées à la même puissance, en particulier 𝑎×𝑏=(𝑎×𝑏).

En d’autres termes, si les exposants sont les mêmes, alors on peut multiplier les bases d’abord, puis évaluer l’exposant du résultat. Par exemple, 2×3=(2×3)=6=36, ce qui est le résultat attendu étant donné que 2×3=4×9=36. Une autre façon de considérer cela est que la puissance est distributive par rapport à la multiplication pour les exposants entiers.

On a également une règle pour augmenter 𝑎 à une autre puissance 𝑚 tel que (𝑎)=𝑎.×

En d’autres termes, élever un nombre avec une base 𝑎 et un exposant 𝑛 à un autre exposant 𝑚 revient à élever 𝑎 à 𝑛×𝑚. Par exemple, 5=5=15625, ce qui est le résultat attendu car 5=25=15625.

Les mêmes règles, telles que le produit d’une base avec des exposants différents ou le produit de deux bases différentes avec le même exposant, sont valides pout les exposants négatifs. Ceci parce qu’on a un exposant positif en prenant l’inverse.

On peut le voir directement dans la définition. Par exemple, si on a la même base 𝑎 avec différents exposants négatifs 𝑛 et 𝑚, 𝑛 et 𝑚 sont positifs, on peut l’écrire comme suit:𝑎×𝑎=1𝑎×1𝑎=1𝑎×𝑎=1𝑎=𝑎=𝑎.()

De même, si on divise deux puissances différentes mais avec la même base 𝑎, on obtient 𝑎𝑎=𝑎𝑎=𝑎.

Par exemple, 55=5=5=25. On note également que, pour un exposant zéro et pour toute base non nulle 𝑎, on a 𝑎=1. On peut le voir directement à partir des règles ci-dessus en prenant le produit de 𝑎 élevé à 𝑛 et 𝑛:𝑎×𝑎=𝑎=𝑎.

Par contre, à partir de la définition de l’exposant négatif, 𝑎×𝑎=𝑎×1𝑎=𝑎𝑎=1.

Ainsi, on a 𝑎=1 pour toute base non-nulle 𝑎, comme prévu. On peut aussi prendre le produit de deux bases différentes 𝑎 et 𝑏 élevées à la même puissance négative:𝑎×𝑏=1𝑎×1𝑏=1𝑎×𝑏=1(𝑎×𝑏)=(𝑎×𝑏).

Cela signifie également que lorsqu’on élève une fraction 𝑎𝑏 à une puissance entière 𝑛, on peut l’exprimer comme suit:𝑎𝑏=𝑎𝑏=𝑎𝑏.

Par exemple, 32=32=94.

En simplifiant des exposants rationnels avec des bases différentes, il est plus simple d’essayer d’écrire chaque puissance avec le même exposant en utilisant la propriété (𝑎)=𝑎×. Par exemple, 4 peut être écrit comme 4=2=2.

On peut aussi simplifier les exposants en écrivant leurs bases en fonction de leur factorisation en nombres premiers, si la base est un nombre entier. Cela nous permet de séparer l’expression avec des bases semblables et d’appliquer la règle du produit avec 𝑎×𝑎=𝑎.

Considérons un exemple dans lequel on utilise les propriétés des exposants avec un exposant négatif pour simplifier une expression rationnelle algébrique.

Exemple 1: Simplifier des expressions rationnelles algébriques en utilisant les propriétés des exposants avec des exposants négatifs

Simplifiez 45×(63)×3225×(21).

Réponse

Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression algébrique rationnelle en utilisant les propriétés des exposants suivantes:(𝑎×𝑏)=𝑎×𝑏,𝑎𝑏=𝑎𝑏,𝑎×𝑎=𝑎,(𝑎)=𝑎,𝑎=1𝑎.×

Étant donné que l’exposant 9𝑛 apparaît beaucoup dans l’expression donnée, nous essaierons d’écrire chaque facteur en fonction de cet exposant seul. Les facteurs qui apparaissent peuvent être reformulés comme suit:45=45,(63)=163,(21)=121.

On peut aussi décomposer les bases en leur factorisation en nombres premiers:45=3×5,63=3×7,225=3×5,21=3×7.

Par conséquent, on a 45=3×5=3×5=3×5.

Ainsi, en les utilisant, on peut écrire l’expression comme 45×(63)×3225×(21)=45××3225×=45×3×21225×63=45×3×21225×63=3×5×3×3×73×5×3×7=3×5×73×5×7=3=3.

Considérons un autre exemple, avec des exposants légèrement différents, qui peut être simplifié en utilisant les propriétés des exposants.

Exemple 2: Simplifier des expressions rationnelles algébriques en utilisant les propriétés des exposants

Simplifiez 4×252×50.

Réponse

Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression algébrique rationnelle en utilisant les propriétés des exposants suivantes:(𝑎×𝑏)=𝑎×𝑏,𝑎𝑏=𝑎𝑏,𝑎×𝑎=𝑎,(𝑎)=𝑎,𝑎=1𝑎.×

Étant donné que l’exposant 3𝑛 apparaît beaucoup dans l’expression donnée, nous essaierons d’écrire chaque facteur en fonction de cet exposant seul. Les facteurs qui apparaissent peuvent être reformulés comme suit:4=4×4,25=25×25=2525,2=2×2=2×2,50=50×50=5050.

On peut aussi décomposer les bases en leur factorisation en nombres premiers:4=2,50=2×5,25=5.

Par conséquent, l’expression peut être écrite comme 4×252×50=4×4×(2)×2×=4×4×25×50(2)×2×50×25=4×502×25×42×2550=2×2×52×5×22×52×5=2×52×5×22×12=1×2×12=2=4.

Jusqu’à présent, nous avons considéré des exposants entiers. Mais que se passe-t-il si les exposants sont des fractions?Rappelons d’abord ce qu’est la racine n-ième d’un nombre 𝑎.

La racine n-ième d’un nombre réel 𝑎, 𝑛 est un nombre entier positif, est un nombre réel 𝑟 qui, lorsqu’élevé à la puissance 𝑛, donne 𝑎:𝑟=𝑎.

Si 𝑎<0 et 𝑛 est un nombre pair, alors aucune racine réelle n’existe. Ainsi, on note la racine positive comme 𝑟=𝑎, pour toutes les valeurs entières positives de 𝑛.

Si 𝑛 est pair, alors on a une autre racine réelle définie par 𝑟, car ce nombre élevé à la puissance de 𝑛 donne aussi 𝑎:(𝑟)=(1)×𝑟=𝑟=𝑎, puisque (1)=1 lorsque 𝑛 est pair.

Ainsi, si 𝑛 est pair et 𝑎>0, les racines réelles sont ±𝑟. Si 𝑛 est impair, on a toujours une racine réelle unique, 𝑟.

Par exemple, les racines carrées de 9 sont 3 et 3 vu que 3×3=3×3=9, mais la racine carrée de 9 n’existe pas. En outre, la racine cubique de 27 est 3 et la racine cubique de 27 est 3.

Définition : La racine n-ième et l’exposant 1/n

Un exposant fractionnaire 1𝑛, 𝑛 est un nombre entier, d’un nombre 𝑎 peut être exprimé en termes de racine n-ième d’un nombre comme suit 𝑎=𝑎.

Par exemple, 36=36=6.

Considérons un exemple dans lequel on utilise ceci pour simplifier une expression.

Exemple 3: Simplifier une expression élevée à un exposant rationnel

Simplifiez 64𝑎𝑏, 𝑎 et 𝑏 sont des constantes positives.

Réponse

Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression élevée à un exposant rationnel.

Nous utiliserons la propriété des exposants qui stipule que (𝑎)=𝑎.×

Commençons par noter que 64=2.

Par conséquent, l’expression peut être écrite comme 64𝑎𝑏=(64)×𝑎×𝑏=2×𝑎×𝑏=2×𝑎×𝑏=2𝑎𝑏.×××

Considérons à présent un exemple dans lequel on simplifie une expression élevée à un exposant rationnel.

Exemple 4: Simplifier une expression élevée à un exposant rationnel

Développez 𝑎+1𝑎, 𝑎 est une constante réelle.

  1. 𝑎+2𝑎+1𝑎
  2. 𝑎2𝑎1𝑎
  3. 𝑎1𝑎
  4. 𝑎+1𝑎
  5. 𝑎2𝑎+1𝑎

Réponse

Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression élevée à un exposant rationnel.

Nous allons utiliser la propriété des puissances suivante (𝑎)=𝑎,× et le fait que 1=1 pour tout exposant rationnel 𝑝.

Par conséquent, l’expression peut être écrite comme 𝑎+1𝑎=(1)𝑎+1𝑎=𝑎+1𝑎=𝑎+2𝑎𝑎+1𝑎=𝑎2𝑎1𝑎.

Ce qui donne l’option B.

Encore une fois, les mêmes règles que nous avons établies sur les exposants entiers s’appliquent pour les exposants rationnels et nous pouvons les utiliser pour écrire un nombre élevé à toute puissance rationnelle. Un nombre rationnel 𝑛 peut être exprimé par 𝑛=𝑝𝑞, 𝑝 et 𝑞 sont des nombres entiers et 𝑞 est non-nul.

Définition : Exposant fractionnaire

Un exposant fractionnaire 𝑝𝑞, 𝑝 et 𝑞 sont des nombres entiers et 𝑞0, d’un nombre 𝑎 peut être exprimé par 𝑎=𝑎=𝑎, en supposant qu’une racine réelle 𝑎 existe.

On peut le voir à partir de la propriété (𝑎)=𝑎× et la racine q-ième d’un nombre 𝑎 (en supposant qu’une racine existe) comme 𝑎=𝑎=𝑎 ou, de manière équivalente, 𝑎=(𝑎)=𝑎.

Afin de simplifier des expressions numériques avec des bases différentes et des exposants rationnels, il est plus simple d’écrire les bases en fonction de leur factorisation en nombres premiers, si la base est un nombre entier. Cela nous permet de séparer l’expression avec des bases semblables et d’appliquer la propriété du produit pour les exposants avec 𝑎×𝑎=𝑎.

Considérons un exemple dans lequel on doit faire cela pour simplifier une expression.

Exemple 5: Simplifier une expression qui contient des nombres entiers élevés à des exposants rationnels

Simplifiez (36)×(21)×(8)(486)×(42).

Réponse

Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression qui contient des nombres entiers élevés à des exposants rationnels. Nous allons utiliser les propriétés des exposants suivantes:(𝑎×𝑏)=𝑎×𝑏,𝑎𝑏=𝑎𝑏,𝑎×𝑎=𝑎,(𝑎)=𝑎,𝑎=1𝑎.×

On peut aussi décomposer les bases en facteurs premiers:36=3×2,21=3×7,8=2,486=2×3,42=2×3×7.

En appliquant la puissance correspondante à chacune de ces bases, on obtient (36)=3×2=3×2=3×2,(21)=(3×7)=3×7,(8)=2=2,(486)=2×3=2×3=2×3,(42)=(2×3×7)=2×3×7.

Ainsi, en utilisant ceci, l’expression donnée peut être écrite comme (36)×(21)×(8)(486)×(42)=3×2×3×7×22×3×2×3×7=2×22×2×3×33×3×77=2×3×7=2×3×7=12×13×17=184.

Si la base est un nombre décimal ou une fraction, alors on doit écrire la base comme une fraction, puis décomposer le numérateur et le dénominateur en leurs facteurs premiers. Maintenant, voyons quelques exemples de cela.

Exemple 6: Simplifier une expression numérique élevée à des exposants rationnels

Simplifiez (0,25)(1,8)8.

Réponse

Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression numérique élevée à des exposants rationnels. Nous allons utiliser les propriétés des exposants suivantes:(𝑎×𝑏)=𝑎×𝑏,𝑎𝑏=𝑎𝑏,𝑎×𝑎=𝑎,(𝑎)=𝑎,𝑎=1𝑎.×

Écrivons d’abord chaque base sous forme de fraction et exprimons le dénominateur et le numérateur en fonction de leur décomposition en facteurs premiers:0,25=14=12,1,8=95=35,8=2.

En appliquant la puissance correspondante à chacune de ces bases, on obtient (0,25)=12=1(2)=12,(1,8)=35=(3)5=35,8=2=2.

Ainsi, en utilisant ceci, l’expression peut être écrite comme (0,25)(1,8)8=×2=32×2×5=32×5=81800.

Exemple 7: Simplifier une expression numérique élevée à des exposants rationnels

Simplifiez (0,8)×(36)×5(30)×(1,25).

Réponse

Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression numérique élevée à des exposants rationnels. Nous allons utiliser les propriétés des exposants suivantes:(𝑎×𝑏)=𝑎×𝑏,𝑎𝑏=𝑎𝑏,𝑎×𝑎=𝑎,(𝑎)=𝑎,𝑎=1𝑎.×

Écrivons d’abord chaque base sous forme de fraction, puis exprimons le dénominateur et le numérateur en fonction de leur décomposition en facteurs premiers:0,8=45=25,36=3×2,30=2×3×5,1,25=54=52.

En appliquant la puissance correspondante à chacune de ces bases, on obtient (0,8)=25=25=25,(36)=3×2=3×2=3×2,(30)=(2×3×5)=2×3×5,(1,25)=52=5(2)=52.

Ainsi, en utilisant cela, l’expression peut être écrite comme (0,8)×(36)×5(30)×(1,25)=×3×2×52×3×5×=2×3×2×5×22×3×5×5×5=2×2×22×33×55×5×5=2×3×5=2×3×5=8×9×25=1800.

Enfin, considérons un exemple dans lequel on doit simplifier une expression algébrique contenant des exposants rationnels et négatifs.

Exemple 8: Simplifier une expression algébrique impliquant des exposants rationnels et négatifs en utilisant les propriétés des exposants

Déterminez la forme la plus simple de (16)×27(144)×81.

Réponse

Dans cet exemple, nous allons simplifier une expression algébrique qui contient des exposants rationnels et négatifs. Nous allons utiliser les propriétés des exposants suivantes:(𝑎×𝑏)=𝑎×𝑏,𝑎𝑏=𝑎𝑏,𝑎×𝑎=𝑎,(𝑎)=𝑎,𝑎=1𝑎,× avec le fait que 1=1 pour tout nombre rationnel 𝑝. Supposons que 𝑥 est un nombre rationnel et commençons par séparer les exposants de chacun des facteurs:(16)=16,27=27×27,(144)=144.

La factorisation en nombres premiers de chacune des bases est 16=2,27=3,144=2×3,9=3.

En appliquant les puissances correspondantes aux bases, on obtient 16=2=2,27=3=3,144=2×3=2×3=2×3.

Ainsi, l’expression peut être écrite comme suit (16)×27(144)×81=16×27×27144×9=16×27144×127×9=2×32×3×13×3=1×13=127.

Points Clés

  • Les propriétés des exposants pour les bases 𝑎 et 𝑏 et tous les exposants rationnels 𝑛 et 𝑚 sont les suivantes:
    Les Règles du produit𝑎×𝑎=𝑎
    𝑎×𝑏=(𝑎×𝑏)
    Exposant négatif𝑎=1𝑎
    Règles de quotient𝑎𝑎=𝑎
    𝑎𝑏=𝑎𝑏
    Règles de puissance(𝑎)=𝑎×
    𝑎=𝑎
  • On a également 𝑎=1 pour tout nombre non nul 𝑎 et 1=1 pour tout nombre rationnel 𝑝.
  • Lorsqu’on simplifie des expressions numériques avec des bases ou des exposants différents, on doit essayer de reformuler l’expression de manière à avoir des bases ou des exposants communs. On peut le faire en utilisant les propriétés des exposants et en décomposant en facteurs premiers le dénominateur et le numérateur des différentes bases.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.