Vidéo de la leçon: Simplifier des expressions exponentielles comportant des puissances fractionnaires Mathématiques • Deuxième année secondaire

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment effectuer des opérations et des simplifications avec des expressions qui comportent des puissances à exposants fractionnaires.

Vous devriez déjà être familier avec les lois des exposants pour les puissances entières et les racines 𝑛-ièmes. Rappelons que « nombre rationnel » est un autre nom pour une fraction. Le numérateur et le dénominateur sont tous deux des nombres entiers, et 𝑛, le dénominateur, est différent de zéro. Ainsi, une puissance fractionnaire est simplement une puissance ou un exposant qui est une fraction. Donc si nous avons un nombre, une base 𝑎, nous pouvons l’élever à une puissance fractionnaire. Si le numérateur de notre exposant fractionnaire est égal à un, alors notre base 𝑎 est élevée à la puissance un sur 𝑛.

Et nous disons qu’un exposant fractionnaire un sur 𝑛, où 𝑛 est un entier, peut être exprimé comme la racine 𝑛-ième de 𝑎. Par exemple, huit élevé à la puissance un sur trois est la racine cubique de huit. Et cela est égal à deux puisque deux multiplié par deux multiplié par deux est égal à huit. Autrement dit, deux est le nombre que nous élevons au cube pour obtenir huit. Donc deux est la racine cubique de huit.

Avant de commencer à regarder quelques exemples de simplification des expressions exponentielles avec des exposants fractionnaires, rappelons les lois des exposants qui s’appliquent aux exposants fractionnaires et aux exposants entiers. Nous rappelons que nous avons deux règles du produit pour les exposants. La première est 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑚 égale 𝑎 puissance 𝑚 plus 𝑛. Donc nous additionnons nos puissances. Et 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑏 puissance 𝑛 égale 𝑎 fois 𝑏 le tout puissance 𝑛. Notre règle pour les exposants négatifs est 𝑎 puissance moins 𝑛 égale un sur 𝑎 puissance 𝑛.

Nos règles de quotient sont 𝑎 puissance 𝑛 sur 𝑎 puissance 𝑚 égale 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. Donc nous soustrayons les puissances. Et 𝑎 sur 𝑏 puissance 𝑛 égale 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑏 puissance moins 𝑛.

Nos règles de puissance sont 𝑎 puissance 𝑛 puissance 𝑚 égale 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑚. Donc nous multiplions nos puissances. Et 𝑎 puissance 𝑚 sur 𝑛, c’est-à-dire une puissance fractionnaire ou un exposant rationnel, égale racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance 𝑚. Nous notons également que 𝑎 puissance zéro égale un pour tout 𝑎 non nul. Et un puissance 𝑝 égale un si 𝑝 est un nombre rationnel.

Alors, considérons notre premier exemple, où nous utilisons notre connaissance des exposants pour simplifier une expression avec un exposant fractionnaire.

Simplifiez moins 64𝑎 puissance 12 fois 𝑏 puissance 18 puissance 1 sur 6, où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes positives.

On nous donne une expression élevée à un exposant fractionnaire. Et pour simplifier cela, nous allons utiliser la loi de puissance pour les exposants, qui dit que 𝑎 puissance 𝑛 puissance 𝑚 égale 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑚. Tout d’abord, nous notons que nous pouvons décomposer 64 en ses facteurs premiers. En fait, 64 est deux puissance six. Donc maintenant en séparant nos facteurs, nous avons moins 2 puissance 6 puissance 1 sur 6 fois 𝑎 puissance 12 puissance 1 sur 6 fois 𝑏 puissance 18 puissance 1 sur 6.

Et maintenant, en utilisant notre loi de puissance, nous pouvons écrire notre expression comme moins 2 puissance 6 fois 1 sur 6 fois 𝑎 puissance 12 fois 1 sur 6 fois 𝑏 puissance 18 fois 1 sur 6. Et puisque 6 fois un sixième égale 1, 12 fois un sixième égale 2, et 18 fois un sixième égale trois, nous avons moins 2 puissance 1 fois 𝑎 au carré fois 𝑏 au cube. Et puisque tout nombre à la puissance 1 est lui-même, nous avons que l’expression moins 64 fois 𝑎 puissance 12 fois 𝑏 puissance 18, le tout puissance 1 sur 6 égale moins 2 𝑎 au carré 𝑏 au cube.

Maintenant, essayons un autre exemple un peu plus complexe, où nous simplifions une expression avec un exposant fractionnaire.

Développez moins 𝑎 au cube plus 1 sur 𝑎 au carré, le tout puissance 10, le tout puissance 1 sur 5, où 𝑎 est une constante réelle.

On nous donne une expression en termes de constante réelle 𝑎, qui est élevée à la puissance 10. Et nous avons l’opposé de cette expression, qui est élevé à la puissance fractionnaire un sur cinq. Et pour simplifier cette expression ou la développer, nous allons utiliser la loi de puissance pour les exposants, qui nous dit que 𝑎 puissance 𝑛 puissance 𝑚 égale 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑚. Nous notons d’abord que notre signe négatif signifie que nous multiplions à l’intérieur de nos parenthèses par moins un. Et donc en utilisant notre loi de puissance, nous avons moins 1 puissance 1 sur 5 fois 𝑎 au cube plus 1 sur 𝑎 au carré puissance 10 le tout puissance 1 sur 5.

Maintenant, en notant que multiplier cinq instances de moins un ensemble nous donne moins un, alors nous pouvons dire que la racine cinquième de moins un est également moins un. Alors maintenant, avec cela et notre règle de puissance pour les exposants, nous avons moins 𝑎 cube plus 1 sur 𝑎 carré puissance 10 fois 1 sur 5. Notre exposant 10 multiplié par 1 sur 5 est égal à 10 sur 5, et cela est égal à 2. Et en faisant de la place, il nous reste moins 𝑎 cube plus un sur 𝑎 carré le tout au carré.

Et maintenant, en développant notre expression, nous avons moins 𝑎 puissance 6 plus 2𝑎 au cube sur 𝑎 au carré plus 1 sur 𝑎 puissance 4. En divisant le numérateur et le dénominateur de notre deuxième terme par 𝑎 au carré, nous obtenons deux 𝑎. Et en multipliant par moins un, nous avons moins 𝑎 puissance six moins deux 𝑎 moins un sur 𝑎 puissance quatre. Ainsi, l’expression moins 𝑎 au cube plus 1 sur 𝑎 au carré, le tout puissance 10, le tout puissance 1 sur 5 est égale à moins 𝑎 puissance 6 moins 2𝑎 moins 1 sur 𝑎 puissance quatre.

Avant notre prochain exemple, récapitulons à nouveau ce que nous savons sur les exposants fractionnaires. Les exposants fractionnaires ou rationnels sont des exposants avec un numérateur et un dénominateur qui sont des entiers, où le dénominateur 𝑛 est différent de zéro. Et en utilisant la règle de puissance pour les exposants, nous pouvons dire que 𝑎 puissance 𝑚 sur 𝑛 égale 𝑎 puissance un sur 𝑛 puissance 𝑚. Et 𝑎 élevé à la puissance un sur 𝑛 est la racine 𝑛-ième de 𝑎. Donc en fait nous avons la 𝑛-ième racine de 𝑎 puissance 𝑚.

De manière équivalente, nous pouvons placer l’exposant fractionnaire à l’extérieur. Donc nous avons 𝑎 puissance 𝑚 sur 𝑛 égale 𝑎 puissance 𝑚 le tout puissance un sur 𝑛. Et cela est égal à la racine 𝑛-ième de 𝑎 élevé à la puissance 𝑚. Et donc nous avons 𝑎 puissance 𝑚 sur 𝑛, la puissance fractionnaire, égale racine 𝑛-ième de 𝑎, le tout puissance 𝑚. Et cela est égal à la racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance 𝑚.

Nous utiliserons cela dans notre prochain exemple avec la décomposition en facteurs premiers pour décomposer nos bases. Cela peut nous aider à simplifier certaines expressions numériques compliquées avec différentes bases.

Simplifiez 36 puissance 1 sur 4 fois 21 au carré fois 8 puissance 1 sur 5 le tout divisé par 486 puissance 1 sur 10 fois 42 au cube.

On nous donne une expression fractionnaire à simplifier, où le numérateur et le dénominateur contiennent des entiers élevés à des puissances fractionnaires, c’est-à-dire que les exposants sont des fractions. Pour ce faire, nous utiliserons les lois des exposants comme indiqué. Mais d’abord, nous allons décomposer nos bases, soit 36, 21, 8, 486 et 42, en leurs facteurs premiers. Nous savons que 36 égale 3 au carré fois 2 au carré, 21 égale 3 fois 7, 8 égale 2 au cube, 486 égale 2 fois 3 puissance 5, et 42 égale 2 fois 3 fois 7.

Notre expression est maintenant 3 au carré fois 3 au carré puissance 1 sur 4 fois 3 fois 7 le tout au carré fois 2 au cube puissance 1 sur 5, le tout divisé par 2 fois 3 puissance 5 le tout puissance 1 sur 10 fois 2 fois 3 fois 7 le tout au cube. En utilisant notre règle numéro un, nous pouvons mettre nos exposants entre parenthèses. Et nous pouvons également utiliser la règle quatre en même temps ; C’est la règle de puissance. Et en notant que 2 sur 4 égale un demi et aussi que 5 sur 10 égale un demi, et en rassemblant nos bases identiques au numérateur et au dénominateur, nous avons 3 puissance un demi fois 3 au carré fois 2 puissance un demi fois 2 puissance 3 sur 5 fois 7 au carré divisé par 3 puissance un demi fois 3 au cube fois 2 puissance 1 sur 10 fois 2 au cube fois 7 au cube.

Et à ce stade, nous pouvons utiliser notre règle de puissance numéro trois et notre règle d’exposant négatif numéro cinq pour rassembler nos exposants pour chacune de nos bases pour avoir 3 puissance un demi plus 2 moins un demi moins 3 fois 2 puissance un demi plus trois cinquièmes moins un dixième moins 3 fois 7 puissance 2 moins 3. Évaluer un demi plus deux moins un demi moins trois nous donne moins un. Et de même, pour notre puissance de deux, nous avons un demi plus trois cinquièmes moins un dixième moins trois est égal à moins deux. Et deux moins trois pour sept égale moins un. Et donc nous avons trois puissance moins un fois deux puissance moins deux fois sept puissance moins un.

Et encore une fois, en utilisant notre règle numéro cinq, nous avons un sur trois fois deux au carré fois sept. Et évaluer cela nous donne 1 sur 84. Et donc notre expression 36 puissance 1 sur 4 fois 21 au carré fois 8 puissance 1 sur 5 le tout divisé par 486 puissance 1 sur 10 fois 42 au cube se simplifie en 1 sur 84.

Dans le cas où nos bases sont décimales, nous écrivons cette base sous forme de fraction, puis décomposons le numérateur et le dénominateur de cette fraction en leurs facteurs premiers. Regardons un exemple de cela.

Simplifiez 0,25 puissance 3 sur 2 fois 1,8 au carré sur 8 puissance 2 sur 3.

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression numérique qui combine des nombres décimaux et des exposants fractionnaires. Commençons par noter certaines des lois des exposants dont nous aurons besoin. Avant d’utiliser ces lois, cependant, écrivons chacune des bases décimales sous forme de fraction. Nous pouvons alors les exprimer en fonction de leur décomposition en facteurs premiers. Nos bases sont 0,25, 1,8 et 8. Et nous savons que 0,25 égale un quart, et cela est égal à 1 sur 2 au carré. 1,8 est égal à 9 sur 5, et cela est égal à 3 au carré sur 5. Et nous savons que huit est égal à deux au cube. Notre expression peut alors s’écrire comme un sur deux au carré puissance trois sur deux fois trois au carré sur cinq le tout au carré sur deux au cube puissance deux sur trois.

Maintenant, en utilisant les règles deux et quatre, notre expression devient un sur deux puissance deux fois trois sur deux le tout multiplié par trois puissance deux fois deux sur cinq au carré. Et le tout sur deux puissance trois fois deux sur trois. Et en évaluant nos exposants, nous avons deux fois trois sur deux égale trois, deux au carré égale quatre et trois fois deux sur trois égale deux. Ce que nous avons maintenant est alors trois puissance quatre divisé par deux au cube fois deux au carré fois cinq au carré. Nous pouvons additionner nos puissances de deux en utilisant la règle numéro trois de sorte que nous avons trois puissance quatre divisé par deux puissance cinq fois cinq au carré. Évaluer cela nous donne 81 sur 800. Notre expression alors 0,25 puissance 3 sur 2 fois 1,8 au carré le tout divisé par 8 puissance 2 sur 3 se simplifie en 81 sur 800.

Dans notre dernier exemple, nous simplifions une expression comportant des exposants de variables rationnelles et négatives.

Simplifier 25 puissance 3 sur 2 𝑥 fois 8 puissance 𝑥 moins 5 sur 3, le tout divisé par 100 puissance 3 sur 2 𝑥 fois racine carrée de 100.

L’expression que nous voulons simplifier dans cet exemple comporte des exposants fractionnaires et négatifs. Alors notons les lois des exposants que nous allons devoir utiliser. En supposant que 𝑥 est un nombre réel, commençons par regarder les exposants de chacun des facteurs. Notre premier facteur est 25 puissance 3 sur 2 𝑥. Nous pouvons utiliser la règle numéro quatre pour déplacer à l’intérieur la puissance un demi. Et puisque nous savons que 25 puissance un demi est la racine carrée de 25, et cela est égal à 5, notre premier facteur est 5 puissance 3𝑥.

Notre deuxième facteur au numérateur est huit puissance 𝑥 moins cinq sur trois. Et nous pouvons utiliser la règle du produit numéro trois pour décomposer cela en huit puissance 𝑥 fois huit puissance moins cinq sur trois. Ensuite, en utilisant la règle numéro quatre sur la deuxième partie de cette expression, nous avons huit puissance 𝑥 fois huit puissance un sur trois puissance moins cinq. Nous savons que huit puissance un sur trois est égal à deux parce que huit puissance un sur trois est la racine cubique de huit. Et puisque huit est égal à deux fois deux fois deux, cela est égal à deux au cube. La racine cubique de huit est deux. Donc en fait, huit puissance 𝑥 moins cinq sur trois égale huit puissance 𝑥 fois deux puissance moins cinq.

Et maintenant, en utilisant à nouveau la règle numéro quatre sur 100 puissance 3 sur 2 𝑥, nous avons 100 puissance un demi puissance 3 𝑥. Et nous savons que 100 puissance un demi, c’est-à-dire la racine carrée de 100, est égal à 10. Alors que 100 à la puissance trois sur deux 𝑥 est égal à 10 à la puissance trois 𝑥. Donc maintenant en faisant de la place, nous avons 25 puissance 3 sur 2 𝑥 égale 5 puissance 3 𝑥. Huit puissance 𝑥 moins cinq sur trois égale huit puissance 𝑥 fois deux puissance moins cinq. Et 100 puissance 3 sur 2 𝑥 égale 10 puissance 3 𝑥. Et notre dernier facteur dans le dénominateur est la racine carrée de 100, qui est 10.

Notre expression devient maintenant 5 puissance 3 𝑥 fois 8 puissance 𝑥 fois 2 puissance moins 5, le tout sur 10 puissance 3 𝑥 fois 10. Donc maintenant, en décomposant nos bases 8 et 10 en facteurs premiers, nous avons 8 égale 2 au cube et 10 égale 2 fois 5. Donc maintenant, nous avons cinq puissance trois 𝑥 fois deux au cube puissance 𝑥 fois deux puissance moins cinq, le tout sur deux fois cinq puissance trois 𝑥 fois deux fois cinq.

Et maintenant, en utilisant les règles un et quatre, nous pouvons déplacer nos puissances à l’intérieur. Nous pouvons diviser notre numérateur et notre dénominateur par cinq puissance trois 𝑥 et aussi par deux puissance trois 𝑥. Et il nous reste deux puissance moins cinq divisé par deux fois cinq. En utilisant la règle numéro cinq, nous voyons que deux puissance moins cinq égale un sur deux puissance cinq. Et donc nous avons un sur deux fois deux puissance cinq fois cinq. Et par la règle numéro trois, cela est égal à un sur deux puissance six fois cinq. Et puisque 2 puissance 6 égale 64, nous avons 1 sur 64 fois 5, ce qui est égal à 1 sur 320.

L’expression 25 puissance 3 sur 2 𝑥 fois 8 puissance 𝑥 moins 5 sur 3, le tout divisé par 100 puissance 3 sur 2 𝑥 fois racine carrée de 100 se simplifie en 1 sur 320.

Maintenant, terminons cette vidéo en récapitulant certains des points clés que nous avons abordés. Nous avons utilisé les lois des exposants pour les bases 𝑎 et 𝑏 et les exposants fractionnaires 𝑛, 𝑚. Nous avons les règles du produit 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑚 est égal à 𝑎 puissance 𝑛 plus 𝑚 ; Cela est la somme des puissances. 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑏 puissance 𝑛 égale 𝑎 fois 𝑏 le tout à la puissance 𝑛. Nous avons la règle de l’exposant négatif, qui est 𝑎 puissance moins 𝑛 égale un sur 𝑎 puissance 𝑛. Nos règles de quotient nous disent que 𝑎 puissance 𝑛 sur 𝑎 puissance 𝑚 est égal à 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. Et 𝑎 puissance 𝑛 sur 𝑏 puissance 𝑛 égale 𝑎 sur 𝑏 le tout puissance 𝑛.

Et enfin, nos règles de puissance 𝑎 puissance 𝑛, le tout puissance 𝑚 égale 𝑎 puissance 𝑛 fois 𝑚. Et 𝑎 à la puissance fractionnaire 𝑛 sur 𝑚 est la racine 𝑚-ième de 𝑎 puissance 𝑛. Nous notons également que 𝑎 puissance zéro est égal à un pour tout 𝑎 non nul et que un puissance 𝑝 est égal à un pour tout nombre rationnel 𝑝. Lors de la simplification d’expressions numériques avec différentes bases ou exposants, nous pouvons utiliser la décomposition en facteurs premiers pour simplifier les bases et rassembler les bases identiques. Nous utilisons ensuite les lois des exposants pour simplifier nos expressions.