Transcription de la vidéo
Une boucle de fil conducteur a un rayon de 28 centimètres. La boucle est dans un champ magnétique uniforme d’intensité 125 milliteslas qui est hors du plan de la figure et parallèle à l’axe de la boucle. La boucle est tournée en 0,45 secondes pour faire face à une direction qui forme un angle de 65 degrés avec sa direction axiale initiale. Quelle est l’intensité de la force électromotrice induite dans la boucle? Donner la réponse à deux décimales près.
Dans notre figure, nous voyons le champ magnétique uniforme pointant vers l’extérieur de l’écran. Et nous voyons également la position initiale de notre boucle conductrice, indiquée ici en pointillés, et sa position finale après avoir été tournée de 65 degrés par rapport à son orientation initiale. Initialement, toute la section transversale de cette boucle circulaire est exposée au champ magnétique uniforme. Lorsque la boucle tourne, le flux magnétique à travers elle change. Si le symbole Φ indice 𝐵 représente un flux magnétique, alors ce flux est égal à l’aire 𝐴 exposée à un champ magnétique uniforme 𝐵 multiplié par l’intensité de champ.
Nous pouvons voir alors que pour un matériau conducteur donné dans un champ magnétique, si soit l’intensité du champ magnétique 𝐵 ou l’aire du conducteur exposé au champ 𝐴 change, alors cela conduira à une variation du flux magnétique Φ indice 𝐵 subit par le conducteur. Dans notre scénario, nous avons un champ magnétique constant 𝐵, mais l’aire 𝐴 de notre boucle exposée à ce champ change. Lorsque le flux magnétique à travers une boucle change au fil du temps, une force électromotrice est induite dans la boucle. Cela se produit selon une loi connue sous le nom de loi de Faraday.
La loi de Faraday nous dit que la f.é.m. induite dans un conducteur à travers lequel le flux magnétique change est égale à moins le nombre 𝑁 de spires dans le conducteur multiplié par la variation du flux magnétique ΔΦ indice 𝐵 à travers, le tout divisé par la variation de temps Δ𝑡, sur lequel se produit ce changement de flux. C’est cette force électromotrice induite, en particulier la valeur de cette force, que nous voulons trouver. Remarque, la f.é.m. n’est pas une force, mais une différence de potentiel exprimée en unités de volts.
Pour nous aider à trouver la f.é.m. induite dans cette boucle, reprenons certaines des informations qui nous sont données. Le rayon de notre boucle conductrice - nous l’appellerons 𝑟 - est de 28 centimètres. La boucle se déplace à travers un champ magnétique uniforme que nous appellerons 𝐵 de 125 milliteslas, et elle effectue sa rotation dans un temps Δ𝑡 de 0,45 seconde. Cette rotation se fait suivant un angle que nous appellerons 𝜃 de 65 degrés. Sachant tout cela, faisons de l’espace à l’écran. Et en considérant cette équation que nous voulons résoudre, nous pouvons noter que 𝑁, le nombre de spires dans notre bobine, est un. C’est-à-dire que la bobine n’est qu’une seule boucle de fil. Par conséquent, nous pouvons laisser 𝑁 en dehors de cette équation.
Rappelant que le flux magnétique Φ indice 𝐵 est égal à l’intensité du champ magnétique 𝐵 fois la surface exposée à ce champ 𝐴, nous pouvons remplacer Φ indice 𝐵 dans notre équation par 𝐵 fois 𝐴. Notre scénario nous montre que l’intensité du champ magnétique 𝐵 est constante. Cependant, l’aire de notre boucle exposée à ce champ change au fil du temps. Le fait que 𝐵 est constante alors que l’aire exposée au champ magnétique change signifie que nous pouvons réécrire notre expression pour 𝜀. C’est égal à moins 𝐵 fois Δ𝐴 divisé par Δ𝑡.
La question suivante est: quel est Δ𝐴? Quel est ce changement dans l’aire de notre boucle exposée au champ magnétique? Imaginons que nous regardions notre champ magnétique de côté. De ce point de vue, la position initiale de notre boucle conductrice ressemblerait à ceci. Appelons la zone de cette boucle exposée au champ magnétique 𝐴 indice 𝐼. Comme la boucle est complètement perpendiculaire au champ, cela signifie que toute sa surface est disponible pour le passage des lignes de champ magnétique. Puisqu’en général, l’aire d’un cercle est égale à 𝜋 fois le rayon du cercle au carré. Nous pouvons écrire que 𝐴 indice 𝐼 l’aire initiale de notre boucle exposée au champ magnétique est 𝜋 fois 𝑟 au carré, où 𝑟 est 28 centimètres.
Notre boucle de fil ne reste pas comme ça, nous le savons, mais elle tourne plutôt selon un angle que nous appelons 𝜃. Notons que disposées de cette manière, moins de lignes de champ magnétique sont capables de passer à travers notre boucle circulaire. Nous appellerons cette zone exposée de notre boucle 𝐴 indice 𝑓. Elle est égale à l’aire initiale de notre boucle, soit 𝜋 fois 𝑟 au carré, multipliée par le cos de l’angle de rotation 𝜃.
Pour nous convaincre que le cosinus est la fonction trigonométrique correcte à utiliser ici, notons que si 𝜃 était de 90 degrés, c’est-à-dire si notre boucle de fil conducteur était agencée comme ça, alors aucune ligne de flux ne pourrait la traverser. Et en effet, le cos de 90 degrés est nul. De même, si 𝜃 était à zéro degré, si notre boucle n’était pas du tout tournée, alors l’aire de la boucle exposée au champ magnétique reviendrait à 𝐴 indice 𝐼. Le cos de zéro degré est un.
Nous pouvons maintenant écrire une expression pour Δ𝐴, la variation de l’aire de notre boucle exposée au champ magnétique. Elle est égale à l’aire finale 𝐴 indice 𝑓 moins l’aire initiale 𝐴 indice 𝐼, ou en d’autres termes 𝐴 indice 𝐼 fois le cos de 𝜃 tout moins 𝐴 indice 𝐼. Nous pouvons alors factoriser 𝐴 indice 𝐼 à partir de ces deux termes et reconnaître que 𝐴 indice 𝐼 est égal à 𝜋 fois 𝑟 carré. Maintenant prenons cette expression entière de Δ𝐴 et remplaçons-la dans notre équation. Dans l’expression résultante, notons que si nous multiplions par ce signe négatif, cela changera effectivement l’ordre des termes entre parenthèses. Autrement dit, sans le signe négatif en face, nous avons entre parenthèses un moins le cos de 𝜃.
Notons que les quatre variables de cette expression sont des variables dont nous connaissons les valeurs. L’intensité du champ magnétique 𝐵 est de 125 milliteslas, le rayon de notre boucle 𝑟 est de 28 centimètres, l’angle 𝜃 est de 65 degrés et le temps Δ𝑡 est de 0,45 secondes. Avant de calculer cette expression, nous voulons convertir certaines unités, milliteslas en teslas et centimètres en mètres.
Nous pouvons rappeler que le préfixe milli- indique 10 moins trois ou un millième d’une unité. Et ainsi, 125 milliteslas est égal à 125 fois 10 puissance moins trois teslas ou simplement 0,125 teslas. De la même manière, le préfixe centi- indique un centième ou 10 puissance moins deux d’une quantité, indiquant que 28 centimètres est de 0,28 mètres. Nous sommes maintenant prêts à calculer la f.é.m. induite 𝜀. En arrondissant notre réponse à deux décimales près, nous obtenons un résultat de 0,04 volt. C’est la valeur de la f.é.m. induite dans notre boucle de fil en rotation.
