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La figure montre le graphe de 𝑓 de 𝑥. Une transformation envoie 𝑓 de 𝑥 sur 𝑓 de deux 𝑥 . Déterminez les coordonnées de 𝐴 suite à cette transformation.
Comme indiqué ici dans cette question. On peut voir que le point 𝐴 a pour coordonnées 180, moins un. On doit déterminer où se retrouve 𝐴 lorsqu’on transforme notre graphe en 𝑓 de deux 𝑥. Cette transformation de la fonction 𝑓 de 𝑥 en 𝑓 de deux 𝑥 est en fait une dilatation.
Et on connaît deux façons de produire des dilatations. La première est 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥. Cela se traduit par une dilatation de facteur 𝑎 selon l’axe des 𝑦. Qu’est-ce que cela signifie en pratique ? Eh bien, cela signifie qu’on va multiplier nos coordonnées 𝑦 par 𝑎. Très bien.
Passons au second type de dilatation. Il s’agit de 𝑓 de 𝑎 fois 𝑥, où on remarque que cette fois-ci, le 𝑎 est dans la parenthèse. Cela se traduit par une dilatation de facteur un sur 𝑎 selon l’axe des 𝑥. Qu’est-ce que cela signifie en pratique ? Eh bien, cela signifie qu’on va multiplier nos coordonnées 𝑥 par un sur 𝑎, ce qui revient à les diviser par 𝑎.
Très bien. Nous avons donc deux types de dilatations. On peut maintenant chercher comment transformer notre graphe. On peut voir que la transformation considérée dans cette question est du second type, c’est-à-dire que 𝑓 de deux 𝑥 correspond à une dilatation de facteur un sur 𝑎 selon l’axe des 𝑥.
On peut voir en effet que dans 𝑓 de deux 𝑥, le deux se trouve dans la parenthèse. Donc ce deux correspond à notre 𝑎. Par conséquent, il s’agit d’une dilatation selon l’axe des 𝑥 de facteur un sur deux, ou un demi. Qu’est-ce que cela signifie en pratique ? Eh bien, cela signifie que l’on va multiplier les coordonnées 𝑥 par un demi.
Très bien. Revenons au graphe et voyons comment cela peut nous aider à résoudre notre problème. Sur la figure, j’ai tracé en rose le graphe de 𝑓 de deux 𝑥. On peut voir que par rapport à l’original, notre graphe rose semble écrasé, comme si on l’avait replié comme un accordéon. En multipliant nos coordonnées 𝑥 par un demi, on a en fait divisé chacune de nos coordonnées 𝑥 par deux.
Voyons ce que cela donne pour le point 𝐴, dont on nous demande de déterminer les nouvelles coordonnées. Les coordonnées de notre nouveau point 𝐴, noté 𝐴 prime, sont 90, moins un. Cela est dû au fait qu’on a multiplié notre 180 par un demi, car 180 était la coordonnée 𝑥 de notre point 𝐴.
Multiplier 180 par un demi nous donne 90. Donc, en appliquant la transformation qui à 𝑓 de 𝑥 associe 𝑓 de deux 𝑥, les coordonnées du point 𝐴 deviennent 90, moins un.
