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Un long fil droit transporte un courant continu, qui produit un champ magnétique d’intensité 𝐵 un teslas à une distance de 𝑑 centimètres du fil. En supposant que le système ne change pas, quelle est la relation entre 𝐵 un et l’intensité du champ magnétique 𝐵 deux à une distance de deux 𝑑 centimètres du fil ? Supposons que 𝐵 un et 𝐵 deux sont beaucoup plus grands que l’intensité du champ magnétique terrestre.
Alors, dans cette question, nous voulons écrire une relation entre deux mesures différentes du champ magnétique produit par un fil conducteur de courant. Et puisque nous travaillons ici sur quelques hypothèses, commençons par clarifier brièvement ce qu’elles sont.
Premièrement, nous supposons que le système ne change pas lorsque nous comparons 𝐵 un et 𝐵 deux, ce qui signifie vraiment que le courant dans le fil reste constant. Tout ce qui diffère entre les deux mesures du champ magnétique est à quelle distance du fil les mesures sont faites et donc les mesures elles-mêmes. Rien d’autre ne change. L’autre hypothèse est que les mesures de 𝐵 un et 𝐵 deux sont beaucoup plus grandes que l’intensité du champ magnétique terrestre. Cela nous indique simplement que nous devons ignorer tout champ magnétique qui n’est pas produit par le fil conducteur de courant dans cette question.
Alors, passons maintenant à la résolution de la question. En dégageant de la place à l’écran, dessinons une figure pour montrer ce qui se passe. Nous avons un fil conduisant un courant 𝐼, qui produit un champ magnétique composé de cercles concentriques fermés représentés ici par les boucles ou les lignes de champ roses et orange. Nous mesurons l’intensité du champ à deux distances différentes du fil et obtenons un résultat de 𝐵 un à une distance 𝑑 et 𝐵 deux à une distance de deux 𝑑.
C’est maintenant le bon moment pour rappeler la formule permettant de déterminer l’intensité d’un champ magnétique dû à un fil droit conducteur de courant, qui stipule que 𝐵 est égal à 𝜇 zéro fois 𝐼 divisé par deux 𝜋𝑑, où 𝐵 est l’intensité du champ magnétique à une distance 𝑑 d’un fil transportant un courant 𝐼. Et 𝜇 zéro est une constante dont nous n’avons pas besoin de rappeler la valeur pour répondre à cette question, et nous verrons pourquoi dans un instant.
Notre travail consiste à trouver une relation entre 𝐵 un et 𝐵 deux, et nous utiliserons cette formule pour le faire. Maintenant, on nous a donné des valeurs en centimètres et en teslas, mais vraiment, 𝑑, deux 𝑑, 𝐵 un et 𝐵 deux sont si générales qu’il sera utile de les traiter comme des variables typiques de la formule, tout simplement 𝑑 et 𝐵. Et ce que nous voulons vraiment savoir, c’est ça. Lors de la mesure du champ magnétique produit par le fil, comment le fait de doubler la distance 𝑑 par rapport au fil affecte l’intensité du champ 𝐵 ?
Eh bien, chaque fois que nous voulons savoir comment les variables d’une formule changent les unes par rapport aux autres, il est utile de concevoir une relation de proportionnalité. Alors copions la formule ici et remplaçons le signe égal par ce symbole, ce qui signifie « est proportionnel à ». Cela nous indique que nous n’égalisons plus strictement les membres gauche et droit de cette expression. N’oublions pas qu’une proportion indique comment les variables sont liées les unes aux autres. Nous ignorons donc simplement toutes les valeurs constantes immuables ici. Cela inclut deux, 𝜋, 𝜇 zéro, et le courant 𝐼, puisque nous travaillons dans l’hypothèse que le courant dans le fil reste constant.
Maintenant, donnons une valeur de un à ces quatre valeurs, juste pour conserver leur place dans l’expression. Et comme ça, nous avons notre proportionnalité. On lit que 𝐵 est proportionnel à un divisé par 𝑑. Et une autre façon de dire cela est que 𝐵 est inversement proportionnel à 𝑑 parce que 𝐵 est au numérateur du membre de gauche, alors que 𝑑 est au dénominateur du membre de droite. Cela signifie qu’au fur et à mesure qu’une grandeur augmente, l’autre doit diminuer et vice versa.
Maintenant, pour dire exactement à quel point la grandeur est modifiée, nous pouvons utiliser la proportionnalité comme une formule en ajoutant un facteur que nous connaissons. Puisque nous voulons doubler la distance du fil, nous multiplierons 𝑑 par un facteur deux. Maintenant, avec ce facteur de deux au dénominateur, notons que nous pouvons réécrire ceci comme un divisé par 𝑑 le tout fois un demi. Et pour que cette nouvelle expression soit conforme à l’expression générale que nous avons élaborée ici, le membre à gauche doit également être multiplié par un demi.
Rappelons-nous qu’augmenter le dénominateur signifie que nous divisons par un plus grand nombre, ce qui correspond à une diminution de la valeur globale. C’est ce que nous entendons par « inversement proportionnel ». Augmenter 𝑑 provoque une diminution de 𝐵. Tout cela pour dire que si nous augmentons la distance du fil d’un facteur deux, l’intensité du champ magnétique doit diminuer d’un facteur de deux. Donc, pour répondre à cette question, doubler la valeur de 𝑑 divise par deux la valeur de 𝐵.
Enfin, nous sommes prêts à écrire une relation entre 𝐵 un et 𝐵 deux. Par rapport à 𝐵 un, 𝐵 deux a été mesuré à deux fois la distance du fil. Et en utilisant cette formule pour concevoir cette proportionnalité, nous avons pu trouver que l’intensité du champ magnétique 𝐵 deux est la moitié de celle de 𝐵 un, soit 𝐵 deux est égal à un demi fois 𝐵 un.
