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Parmi les propositions suivantes, quelle est l'équation vectorielle de la droite passant par les points 𝐴 deux, moins un et 𝐵 trois, cinq ? Option (A) 𝐫 égale deux, moins un plus 𝑘 fois moins un, six. Option (B) 𝐫 égale deux, moins un plus 𝑘 fois deux, 12. Option (C) 𝐫 égale deux, 12 plus 𝑘 fois deux, moins un. Option (D) 𝐫 égale trois, cinq plus 𝑘 fois moins un, six. Ou est-ce l'option (E) 𝐫 égale deux, 12 plus 𝑘 fois trois, cinq ?
On nous demande dans cette question de déterminer laquelle des cinq options données est une équation vectorielle correcte d'une droite passant par deux points donnés 𝐴 et 𝐵. Pour cela, rappelons d'abord ce que l'on entend par équation vectorielle d'une droite. C'est une équation de la forme 𝐫 égale 𝐫 zéro plus 𝑘 fois 𝐝.
Dans l'équation vectorielle d'une droite, le vecteur 𝐫 est le vecteur position de tout point de la droite en fonction du paramètre 𝑘 et de nos choix de 𝐫 zéro et 𝐝. Le vecteur 𝐫 zéro est le vecteur position d'un seul point sur la droite. 𝑘 est un paramètre ; il peut prendre n'importe quelle valeur réelle. Et 𝐝 est un vecteur directeur de la droite ; c'est tout vecteur non nul parallèle à la droite.
Cela signifie que nous pouvons construire des équations vectorielles de droites en utilisant deux vecteurs : un vecteur position d'un point sur la droite et un vecteur directeur de la droite. On pourrait essayer d'éliminer les options à ce stade. Et bien que cela soit possible, il est assez difficile de le faire. A la place, cherchons le vecteur directeur de la droite passant par 𝐴 et 𝐵. On peut rappeler que le vecteur de 𝐴 à 𝐵 sera un vecteur directeur de cette droite, puisqu'il est parallèle à la droite, et que celui-ci est donné par le vecteur position de 𝐵 moins le vecteur position de 𝐴.
On peut alors rappeler que le vecteur position d'un point a des composantes égales aux coordonnées du point. On remplace alors les coordonnées de ces points dans les vecteurs et on obtient le vecteur trois, cinq moins le vecteur deux, moins un. Pour soustraire deux vecteurs, on soustrait leurs composantes correspondantes. On obtient donc le vecteur trois moins deux, cinq moins moins un.
On peut alors calculer ce résultat pour obtenir le vecteur un, six. Il s'agit d'un vecteur directeur possible de la droite. Il convient de noter que ce n'est pas le seul vecteur directeur possible de cette droite. On peut prendre n'importe quel multiple scalaire non nul de ce vecteur pour trouver un vecteur directeur différent pour cette droite. Ce sont tous des choix corrects de 𝐝.
On peut distribuer la multiplication par 𝑡 sur le vecteur en multipliant chaque composante par 𝑡 pour obtenir le vecteur 𝐭, six 𝐭. Tous les vecteurs directeurs de cette droite sont donnés par ce vecteur pour une certaine valeur non nulle de 𝐭. On peut utiliser ceci pour éliminer des options.
Une façon de le faire est de noter que puisque 𝑡 est non nul et que les coefficients de 𝑡 ont les mêmes signes, les composantes de 𝐝 doivent avoir les mêmes signes. Cela nous permet d'éliminer toutes les options dont les vecteurs directeurs ont des signes opposés dans leurs composantes. Nous voyons que les options (A), (C) et (D) ne peuvent pas être des équations vectorielles de cette droite puisque leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires au vecteur de 𝐴 à 𝐵.
De la même manière, on peut éliminer l'option (E). Pour que la première composante du vecteur directeur 𝐝 soit égale à trois, il faut que 𝑡 soit égal à trois. Cependant, pour que la deuxième composante soit cinq, il faut que 𝑡 soit égal à cinq sur six. Cela signifie que le vecteur trois, cinq n'est pas colinéaire au vecteur de 𝐴 à 𝐵. Et donc ce n'est pas un vecteur directeur possible de la droite. Il ne reste donc que l'option (B).
Et pour être précis, assurons-nous qu'il s'agit bien d'une équation vectorielle valide de la droite. Nous notons d'abord que le vecteur deux, moins un est le vecteur position du point 𝐴. Il s'agit donc du vecteur position d'un point de la droite. Nous pouvons également noter que si nous mettons 𝑡 égal à deux, alors nous voyons que le vecteur deux, 12 est colinéaire au vecteur de 𝐴 à 𝐵. Cela signifie que c'est un vecteur directeur valide de la droite. Cela confirme que 𝐫 égale deux, moins un plus 𝑘 fois deux, 12 est une équation vectorielle de la droite entre les points deux, moins un et trois, cinq.
