Vidéo de la leçon: Équation d’une droite: Forme vectorielle Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver l’équation d’une droite sous forme vectorielle. Il existe plusieurs façons d’écrire l’équation d’une droite dans un plan cartésien. Rappelons quelques-unes.

Premièrement, sous la forme réduite, on a 𝑦 égale à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente ou le gradient et 𝑏 est l’ordonnée à l’origine. La forme point-pente, on a 𝑦 moins 𝑦 zéro est égal à 𝑚 multiplié par 𝑥 moins 𝑥 zéro, où 𝑚 est encore une fois la pente et la droite passe par le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro. Troisièmement, on a la forme cartésienne, qui est 𝐴𝑥 plus 𝐵𝑦 égale 𝐶, où 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont des entiers et 𝐴 est positif ou nul. Il est également important de noter qu’un seul d’entre 𝐴 et 𝐵 peut être nul.

Ces trois méthodes ont des avantages et des inconvénients. Comme les formes réduite et point-pente ne permettent pas de représenter les droites verticales, on va utiliser la forme vectorielle pour une droite afin de résoudre ce problème. On peut trouver le vecteur position de n’importe quel point sur une droite en utilisant un point connu 𝑃 avec des coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro sur la droite qui a un vecteur position 𝐫 zéro avec tout vecteur non-nul 𝐝 de même direction que la droite. Le vecteur 𝐝 est appelé un vecteur directeur de la droite.

Cela nous amène à la définition suivante. Le vecteur position 𝐫 de tout point sur une droite contenant le point 𝑃 avec vecteur position 𝐫 zéro est défini par 𝐫 est égal à 𝐫 zéro plus 𝑡 multiplié par 𝐝, où 𝐝 est un vecteur directeur de la droite et 𝑡 est un réel. En effet, si le point 𝑃 est situé sur la droite, qui est parallèle au vecteur non-nul 𝐝, alors on peut trouver le vecteur position de n’importe quel point sur la droite en ajoutant un multiple de 𝐝 au vecteur position de 𝑃.

On considère la droite avec le vecteur directeur un, deux qui passe par le point avec les coordonnées un, un tel que 𝐫 zéro est égal à un, un. L’équation vectorielle de cette droite sera donc égale à un, un plus 𝑡 multiplié par un, deux. On peut représenter cela sur un plan cartésien. On sait que la droite passe par le point avec les coordonnées un, un. Le vecteur directeur est un, deux. Et on rappelle que la première composante indique le déplacement horizontal et la seconde composante, le déplacement vertical. Cela signifie que le vecteur un, deux représente le déplacement d’une unité vers la droite et de deux unités vers le haut. On se déplace le long de la droite à partir du point un, un en multipliant par un scalaire le vecteur directeur un, deux.

Si le scalaire est deux, alors le vecteur directeur devient deux, quatre. En fait, tout vecteur non-nul parallèle à la droite est un vecteur directeur pour la droite puisqu’on peut utiliser n’importe quel multiple du vecteur directeur. On va maintenant examiner comment déterminer les abscisses et les ordonnées à l’origine avec la forme vectorielle d’une équation d’une droite.

Pour trouver les abscisses et les ordonnées à l’origine, on définit chaque composante de l’équation vectorielle comme égale à zéro, puis on calcule 𝑡. Rappelons l’équation vectorielle d’une droite que nous avons vue plus tôt, on sait déjà que ce vecteur aura des composantes 𝑥 et 𝑦. Lorsque la droite coupe l’axe des 𝑦, on sait que 𝑥 est égal à zéro. Lorsqu’on simplifie le côté droit de l’équation, on a les composantes un plus 𝑡 et un plus deux 𝑡. On peut comparer les abscisses. Et lorsqu’on résout cela on a 𝑡 est égal à moins un. Puisque 𝑦 est égal à un plus deux 𝑡, 𝑦 est également égal à moins un. On peut donc conclure que l’ordonnée à l’origine est égale à moins un.

Lorsqu’on utilise la même méthode et on définit 𝑦 est égale à zéro, on voit que la droite coupe l’axe des 𝑥 lorsque 𝑥 égale à un demi. On a déjà noté qu’il y a un grand avantage en utilisant l’équation vectorielle d’une droite. Autrement dit, on peut trouver l’équation vectorielle de n’importe quelle droite, y compris les verticales.

Avant de passer à quelques exemples spécifiques, on considère ceci. La droite 𝑥 est égal à moins un, passe par le point moins un, zéro et sa direction est verticale. Cela signifie qu’elle n’a aucune direction horizontale. Cela signifie que la première composante du vecteur directeur sera égale à zéro. Lorsqu’on utilise la forme vectorielle de l’équation d’une droite, on voit que 𝐫 est égal à moins un, zéro plus 𝑡 multiplié par zéro, un. On peut visualiser cela sur le plan cartésien comme ci-dessous. On a un vecteur position moins un, zéro et un vecteur directeur zéro, un. Voyons maintenant quelques questions spécifiques concernant l’équation vectorielle d’une droite.

Écrivez l’équation vectorielle de la droite qui passe par le point six, moins neuf avec pour vecteur directeur neuf, moins deux. Est-ce (A) 𝐫 est égal à neuf, moins deux plus 𝑘 multiplié par six, moins neuf ? (B) 𝐫 est égal à six, moins neuf plus 𝑘 multiplié par neuf, moins deux. Est-ce l’option (C) 𝑘 égale à six, moins neuf plus le vecteur 𝐫 multiplié par neuf, moins deux ? Ou l’option (D) 𝑘 est égal à neuf, moins deux plus le vecteur 𝐫 multiplié par six, moins neuf.

On commence par rappeler qu’on écrit l’équation vectorielle d’une droite sous la forme 𝐫 est égal à 𝐫 zéro plus 𝑡 multiplié par 𝐝, où 𝐫 zéro est un vecteur position d’un point sur la droite et 𝐝 est le vecteur directeur de la droite. Dans cette question, on a ces deux. Lorsque la droite passe par le point six, moins neuf, 𝐫 zéro est égal à six, moins neuf. On nous dit aussi que le vecteur directeur est neuf, moins deux. Par conséquent, 𝐫 est égal à six, moins neuf plus 𝑡 multiplié par neuf, moins deux. Sachant que la valeur de 𝑡 peut être n’importe quel réel, pour faire correspondre les options, on définit cela comme étant égale à 𝑘. La bonne réponse est donc l’option (B).

Avant de passer à l’exemple suivant, nous allons voir comment écrire l’équation d’une droite lorsqu’on connait sa pente. On sait que la pente ou le gradient d’une droite est égal à la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥. commençons par considérer la droite tracée avec une pente de moins huit sur trois. Cela signifie que pour trois unités de déplacement horizontal vers la droite, il y a huit unités de déplacement vertical vers le bas. On peut également écrire cela comme le vecteur trois, moins huit.

Il est important de noter que cela est l’équivalent du vecteur directeur moins trois, huit. Cela démontre une propriété utile pour trouver le vecteur directeur lorsqu’on connait la pente d’une droite. Si une droite a pour pente 𝑚, alors la droite aura pour vecteur directeur un, 𝑚. Lorsque la pente est égale à une fraction 𝑝 sur 𝑞 comme dans ce cas, la droite aura pour vecteur directeur 𝑞, 𝑝. On va maintenant voir un exemple dans lequel on utilise cette information.

Déterminez l’équation vectorielle de la droite qui passe par les points six, moins sept et moins quatre, six. Est-ce (A) 𝐫 est égal à six, moins sept plus 𝑘 multiplié par 10, moins 13 ? (B) 𝐫 est égal à moins quatre, six plus 𝑘 multiplié par moins 13, 10. (C) 𝐫 est égal à six, moins quatre plus 𝑘 multiplié par moins sept, six. Ou (D) 𝐫 est égal à moins quatre, six plus 𝑘 multiplié par 10, 13.

On commence par rappeler qu’on écrit l’équation vectorielle d’une droite sous la forme 𝐫 est égal à 𝐫 zéro plus 𝑘 multiplié par 𝐝, où 𝐫 zéro est le vecteur position de tout point situé sur la droite, 𝐝 est le vecteur directeur de la droite, et 𝑘 est un réel. On a les coordonnées de deux points, six, moins sept et moins quatre, six, qui se trouvent tous les deux sur la droite. Et on peut utiliser un des deux comme vecteur position pour trouver l’équation vectorielle de la droite. Dans l’option (A), le vecteur position est six, moins sept. Et dans les options (B) et (D), le vecteur position est moins quatre, six.

On commence par définir le vecteur position 𝐫 zéro égal à six, moins sept. On doit maintenant trouver le vecteur directeur ayant les deux points qui se trouvent sur la droite. On rappelle que la pente d’une droite est égale à la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥. Lorsqu’on remplace dans les points donnés, on voit que la pente est égale à moins sept moins six sur six moins moins quatre. Cela est égal à moins 13 sur 10. Sachant que toute droite de pente 𝑚 égale à 𝑝 sur 𝑞 a pour vecteur directeur 𝑞, 𝑝, on voit que le vecteur directeur ici est égal à 10, moins 13. Comme il s’agit d’un possible vecteur directeur de notre droite, on a 𝐫 est égal à six, moins sept plus 𝑘 multiplié par 10 moins 13.

On a remarqué que cela correspond à l’option (A), prouvant qu’il s’agit de l’équation vectorielle de la droite passant par les points six, moins sept et moins quatre, six. Pour les autres options, rappelons que les options (B) et (D) passent effectivement par le point moins quatre, six. Cependant, ils n’ont pas de vecteur directeur qui soit égal ou colinéaire à 10, moins 13. Nous pouvons donc exclure les options (B) et (D). Le vecteur directeur de l’option (C) est moins sept, six. Et cela aussi n’est pas colinéaire au vecteur directeur 10, moins 13.

À ce stade, il faut rappeler qu’une équation vectorielle d’une droite n’est pas unique. D’autres équations vectorielles possibles de la droite à partir de l’information donnée. Elles sont 𝐫 est égal à moins quatre, six plus 𝑘 multiplié par 10, moins 13; 𝐫 est égal à six, moins sept plus 𝑘 multiplié par moins 10, 13 ou bien 𝐫 est égal à moins quatre, six plus 𝑘 multiplié par moins 10, 13. Les vecteurs directeurs dans les deux dernières options se déplacent dans la direction opposée. Chacune de ces quatre solutions est valide. Cependant, la seule qui a été donnée comme l’une des options est 𝐫 est égal à six, moins sept plus 𝑘 multiplié par 10, moins 13.

Cela nous donne un résultat utile sur comment trouver un vecteur directeur d’une droite lorsque l’on a deux points distincts sur la droite. Étant donné deux points distincts 𝐴 et 𝐵 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, l’équation vectorielle de la droite qui passe par ces points est égale à 𝑥 un, 𝑦 un plus 𝑘 multiplié par 𝑥 deux moins 𝑥 un, 𝑦 deux moins 𝑦 un.

On peut aussi utiliser ces informations pour déterminer si trois points dans le plan cartésien sont alignés. On va voir un exemple dans notre dernière question.

En utilisant la forme vectorielle de l’équation d’une droite, déterminez si les points moins sept, cinq; moins un, deux; et cinq, moins un sont alignés.

On rappelle qu’un nombre de points sont alignés si tous les points se trouvent sur la même droite. Il existe plusieurs façons de vérifier cela. Une façon consiste à commencer par trouver l’équation entre une paire de points, puis vérifier si le troisième point satisfait cela. On va commencer par trouver l’équation vectorielle de la droite qui passe par moins sept, cinq et moins un, deux. On rappelle que cette droite a pour équation 𝐫 est égal à 𝑥 un, 𝑦 un plus 𝑘 multiplié par 𝑥 deux moins 𝑥 un, 𝑦 deux moins 𝑦 un.

Lorsqu’on substitue les valeurs données, le côté droit devient moins sept, cinq plus 𝑘 multiplié par moins un moins moins sept, deux moins cinq. Cela, à son tour, devient moins sept, cinq plus 𝑘 multiplié par six, moins trois. En regroupant les composantes correspondantes sur le côté droit, on obtient 𝐫 est égal à moins sept plus six 𝑘, cinq moins trois 𝑘. Si les trois points sont alignés, notre troisième point cinq, moins un, se trouvera sur cette droite. On peut vérifier cela en substituant son vecteur position cinq, moins un dans l’équation vectorielle de la droite. Si on introduit les composantes, on a cinq est égal à moins sept plus six 𝑘 et moins un est égal à cinq moins trois 𝑘.

On peut résoudre la première équation en ajoutant sept des deux côtés, puis en divisant par six. Cela nous donne 𝑘 est égal à deux. La deuxième équation nous donne également une solution de 𝑘 égale deux. Comme cette valeur de 𝑘 est la même, on peut donc conclure que le point cinq, moins un, est situé sur cette droite. La bonne réponse est donc oui, les trois points sont alignés. Cela peut également être démontré graphiquement sur le plan cartésien.

On va maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. On peut écrire l’équation vectorielle d’une droite sous la forme 𝐫 est égal à 𝐫 zéro plus 𝑡 multiplié par 𝐝, où 𝐫 zéro est le vecteur position de n’importe quel point situé sur la droite, 𝐝 est le vecteur directeur de la droite, et 𝑡 est un scalaire. Si on a deux points distincts 𝐴 et 𝐵 qui se trouvent sur la droite, on peut trouver le vecteur directeur de celle-ci comme indiqué, où les coordonnées des deux points sont 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux.

On a également vu dans cette vidéo qu’une droite de pente 𝑚 a pour vecteur directeur un, 𝑚. Et si cette valeur de 𝑚 est égale à la fraction 𝑝 sur 𝑞, alors le vecteur directeur devient 𝑞, 𝑝. On a également vu que l’équation vectorielle d’une droite n’est pas unique car on peut choisir n’importe quel point qui se trouve sur la droite comme vecteur position et tout vecteur non-nul de même direction que la droite comme vecteur directeur. Enfin, on a vu que trois points ou plus sont alignés si les vecteurs directeurs entre chaque paire de points sont équivalents.