Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver l’équation d’une droite sous forme vectorielle.
Il y a plusieurs façons de représenter une droite dans le plan. En fait, chacune de ces représentations peut être utile dans différentes situations. Par exemple, on rappelle que si on connaît l’ordonnée à l’origine de la droite et son coefficient directeur , alors on peut écrire l’équation de la droite sous forme réduite : .
Cependant, cette forme de l’équation d’une droite suppose que l’on connaît le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite et il est difficile de tracer une droite donnée sous cette forme. Elle suppose également que la droite n’est pas verticale (car le coefficient directeur d’une droite verticale n’est pas défini). Si on a plutôt un point sur la droite et le coefficient directeur, on peut utiliser ces informations pour déterminer l’ordonnée à l’origine et donc, l’équation réduite de la droite. Il est plus facile de représenter cette droite avec son équation en fonction d’un point, qui est définie comme suit.
Rappel : Equation point-pente d’une droite dans le plan
Une droite passant par le point et de coefficient directeur est d’équation
Il s’agit de l’équation point-pente de la droite.
On l’appelle ainsi car il suffit de connaître un seul point sur la droite et son coefficient directeur pour trouver l’équation de la droite sous cette forme.
Cependant, il y a toujours quelques problèmes avec cette forme. Premièrement, comme cette forme nécessite que le coefficient directeur de la droite existe, elle suppose que la droite n’est pas verticale. Deuxièmement, le coefficient directeur de la droite n’est pas toujours connu, ce qui signifie qu’on doit le calculer pour déterminer l’équation. Enfin, il n’est pas facile de tracer une droite sous cette forme, car on ne connaît aucune de ses intersections avec les axes du repère.
Il existe une autre forme de l’équation d’une droite, connue sous le nom de forme cartésienne avec coefficients entiers, qui permet de la tracer plus facilement qu’avec les deux formes précédentes.
Rappel : Forme cartésienne avec coefficients entiers de l’équation d’une droite dans le plan
Si , et sont des entiers où est positif, alors est appelée la forme cartésienne avec coefficients entiers de l’équation d’une droite.
Le coefficient ou peut être nul mais pas les deux.
L’équation cartésienne avec coefficients entiers d’une droite présente quelques avantages par rapport aux autres formes présentées ci-dessus. Tout d’abord, si on prend , alors on peut construire l’équation de n’importe quelle droite verticale.
Par exemple, si , et , on a la droite , c’est-à-dire la droite verticale . Ensuite, si et sont non nuls, on peut facilement trouver l’intersection avec l’axe des et l’ordonnée à l’origine de la droite grâce à cette forme en substituant respectivement et .
On trouve l’intersection avec l’axe des en substituant : et l’ordonnée à l’origine en substituant :
Comme on peut facilement trouver les deux intersections avec les axes du repère, on peut utiliser cette forme pour tracer la droite en marquant les deux intersections avec les axes du repère et en traçant la droite qui passe par ces deux points.
Cependant, cette forme d’équation d’une droite a aussi quelques inconvénients. Premièrement, il n’est pas toujours possible de trouver des valeurs entières pour , et : cela signifie que l’on ne peut pas écrire chaque droite sous forme cartésienne avec coefficients entiers. Deuxièmement, on ne peut pas facilement identifier le coefficient directeur de la droite sous cette forme. Enfin, la forme cartésienne avec coefficients entiers est difficile à déterminer et implique généralement de manipuler une des autres formes de l’équation d’une droite ou de connaître les deux intersections avec les axes du repère.
Cela nous amène à la forme vectorielle de l’équation d’une droite. Comme on l’a vu avec l’équation point-pente d’une droite, on peut considérer une droite comme un point sur la droite et un coefficient directeur représentant la direction de la droite. Le problème avec l’utilisation du coefficient directeur est que cela suppose que la droite n’est pas verticale. Cependant, en rappelant que la direction peut également être représentée en utilisant des vecteurs, on peut résoudre ce problème. Commençons par explorer comment trouver l’équation vectorielle d’une droite, puis nous étudierons son application dans le cas d’une droite verticale.
On peut trouver le vecteur position de tout point sur une droite en utilisant un point connu sur la droite de vecteur position et un vecteur non nul colinéaire à la droite. Le vecteur est appelé vecteur directeur de la droite.
Si le point se situe sur la droite et que cette dernière est parallèle au vecteur non nul , alors on peut trouver le vecteur position de tout point sur la droite en ajoutant un multiple scalaire de au vecteur position de : . Cela nous donne l’équation suivante de la droite, appelée forme vectorielle de la droite.
Définition : Forme vectorielle de l’équation d’une droite dans le plan
Le vecteur position de tout point sur une droite contenant le point de vecteur position est donné par où est le vecteur directeur de la droite et est un scalaire.
Comme dépend de la valeur du scalaire , on écrit souvent cette équation comme
Par exemple, on peut tracer la droite . Quand , on a . Il s’agit du vecteur position d’un point sur la droite. Par conséquent, cette droite passe par le point . Le vecteur directeur de cette droite est ensuite . On rappelle que la première composante indique le déplacement horizontal et que la deuxième composante indique le déplacement vertical.
Par conséquent, le vecteur représente un mouvement d’une unité vers la droite et de deux unités vers le haut. On le représente sur le graphique suivant.
On se déplace le long de la droite à partir du point par des multiples scalaires du vecteur directeur .
Par exemple, en se déplaçant à partir du point avec le vecteur directeur , soit un multiple scalaire de 1, on atteint le point .
Si le multiple scalaire est 2, alors on se déplace de à partir du point pour atteindre le point .
On peut aussi utiliser des valeurs négatives pour le scalaire : si le scalaire est alors on se déplace de à partir du point pour atteindre le point .
En fait, tout vecteur non nul colinéaire à la droite est un vecteur directeur équivalent de la droite, car on peut prendre tous les multiples scalaires du vecteur directeur.
Nous pouvons utiliser l’équation vectorielle d’une droite pour déterminer l’intersection avec l’axe des et l’ordonnée à l’origine de la droite.
Comment trouver les intersections avec les axes du repère à partir de l’équation vectorielle d’une droite
Pour trouver l’intersection avec l’axe des et l’ordonnée à l’origine d’une droite, on définit chaque composante de l’équation vectorielle égale à zéro puis on détermine . Par exemple sur la droite , pour trouver l’ordonnée à l’origine, on définit la première composante égale à zéro :
Chaque composante sur le membre gauche de cette équation doit être égale à sa composante respective sur le membre de droite. Cela donne deux équations :
Pour que la première équation soit vraie, on doit avoir . On peut alors substituer cette valeur dans la deuxième équation :
Par conséquent, l’ordonnée à l’origine est . En suivant le même processus avec la deuxième composante, on trouve que la droite a une intersection avec l’axe des en .
Comme nous l’avons vu, déterminer les intersections avec les axes du repère implique de déterminer la valeur du scalaire puis de substituer cette valeur dans une équation. Cela semble demander plus de travail que les autres formes d’écriture de l’équation d’une droite. Cependant, comme nous l’avons indiqué plus tôt, il y a un grand avantage à utiliser la forme vectorielle de l’équation d’une droite. Nous pouvons en effet déterminer l’équation vectorielle de toute droite, y compris les droites verticales. Étudions un exemple.
Comment écrire l’équation d’une droite verticale sous forme vectorielle
La droite passe par le point et sa direction est verticale. Cela signifie qu’elle n’a aucune composante horizontale. Par conséquent, la première composante du vecteur directeur est égale à 0. Comme est un scalaire, on peut choisir toute constante non nulle pour la deuxième composante. On choisit le vecteur directeur mais il est important de se rappeler que l’on aurait pu choisir n’importe quel multiple scalaire non nul de ce vecteur.
Cela donne l’équation qui est illustrée par le schéma suivant.
Dans notre prochain exemple, nous allons former l’équation vectorielle d’une droite à partir du vecteur position d’un point sur la droite et de son vecteur directeur.
Exemple 1: Déterminer l’équation vectorielle d’une droite sachant un point par lequel elle passe et son vecteur directeur
Écrivez l’équation vectorielle de la droite qui passe par le point de vecteur directeur .
Réponse
On rappelle que l’équation vectorielle d’une droite est où est le vecteur position d’un point sur la droite et est le vecteur directeur de la droite. On sait que la droite passe par le point de vecteur position et que la droite a pour vecteur directeur . Substituer ces vecteurs dans l’équation vectorielle de la droite donne
Enfin, la valeur de dans cette équation représente un multiple scalaire ; on l’appelle donc pour correspondre aux options données.
Par conséquent, l’équation vectorielle de la droite passant par le point et de vecteur directeur est
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment calculer le vecteur directeur d’une droite à partir de son coefficient directeur, dans le but de trouver son équation vectorielle.
Exemple 2: Déterminer l’équation vectorielle d’une droite à partir de son coefficient directeur et d’un point sur la droite
Déterminez l’équation vectorielle de la droite de coefficient directeur qui passe par le point .
Réponse
On rappelle que l’équation vectorielle d’une droite est où est le vecteur position d’un point quelconque de la droite, est le vecteur directeur de la droite et est un scalaire quelconque.
On sait que la droite passe par le point qui a le vecteur position : il s’agit du point de vecteur position dans l’équation vectorielle de la droite.
Par conséquent, pour trouver l’équation vectorielle de cette droite, il suffit de trouver son vecteur directeur .
On peut le faire en rappelant la définition du coefficient directeur d’une droite. Le coefficient directeur d’une droite est la variation de divisée par la variation de . Par conséquent, si le coefficient directeur d’une droite est , cela signifie que pour chaque déplacement horizontal de trois unités, on doit se déplacer de 8 unités verticalement. On peut l’écrire comme un vecteur de deux façons équivalentes.
On peut le considérer comme un déplacement de 3 unités vers la droite et de 8 unités vers le bas ou de 3 unités vers la gauche et de 8 unités vers le haut. Ce sont les deux vecteurs et , respectivement. Ils sont en fait équivalents, ce sont deux vecteurs directeurs de la droite. Seul le vecteur apparaît dans les options fournies, on le choisit donc comme vecteur directeur.
Par conséquent, l’équation vectorielle de la droite est , qui est la réponse C.
Cet exemple illustre une propriété utile pour déterminer le vecteur directeur d’une droite en fonction de son coefficient directeur. Comme le coefficient directeur d’une droite est la variation de divisée par la variation de , on peut toujours trouver le vecteur directeur d’une droite non verticale en définissant la variation de égale à 1, puis la variation de égale au coefficient directeur. Par conséquent, la droite aura comme vecteur directeur , où est le coefficient directeur de la droite.
Définition : Vecteur directeur d’une droite en fonction de son coefficient directeur
Si une droite a un coefficient directeur , alors la droite aura comme vecteur directeur .
Si est un nombre rationnel, on peut multiplier le vecteur directeur par le dénominateur pour obtenir un vecteur directeur avec des composantes entières. Par conséquent, son vecteur directeur est .
Dans le prochain exemple, nous devons trouver le vecteur directeur d’une droite à partir de deux points distincts sur la droite puis déterminer son équation vectorielle.
Exemple 3: Déterminer l’équation vectorielle d’une droite à partir de deux points sur la droite
Déterminez l’équation vectorielle de la droite passant par les points et .
Réponse
On rappelle que l’équation vectorielle d’une droite est où est le vecteur position d’un point quelconque sur la droite, est le vecteur directeur de la droite et est un scalaire quelconque. On connaît deux points qui se situent tous les deux sur la droite et on peut choisir l’un ou l’autre pour déterminer une équation vectorielle de cette droite. On choisit le point qui a le vecteur position . Il sera le vecteur .
Pour trouver l’équation vectorielle de cette droite, on a maintenant uniquement besoin du vecteur directeur de la droite. On peut le trouver en rappelant que le vecteur entre deux points et est donné par
Si et sont des points distincts de la droite, alors est un vecteur directeur de cette droite.
L’ordre des points n’est pas important, en choisissant par exemple et , on a
Ce n’est le vecteur directeur d’aucune des options données, mais on peut trouver un vecteur équivalent à en le multipliant par le scalaire , ce qui donnera ; on obtient
Par conséquent, en substituant ce vecteur directeur et le vecteur position à l’équation vectorielle d’une droite, on obtient , qui est la réponse A.
Il convient de rappeler que l’équation vectorielle d’une droite n’est pas unique. On peut prendre n’importe quel point de la droite pour le vecteur position et n’importe quel vecteur directeur de la droite pour le vecteur directeur .
Dans l’exemple ci-dessus, toutes les équations suivantes sont donc des équations vectorielles équivalentes de la même droite :
L’exemple ci-dessus nous donne un résultat utile sur la recherche du vecteur directeur d’une droite lorsque nous connaissons deux points distincts sur la droite.
Définition : Equation vectorielle d’une droite dans le plan
Si et sont des points distincts sur une droite, alors une équation vectorielle de la droite passant par et est donnée par
Nous pouvons l’utiliser pour nous aider à déterminer si trois points ou plus dans le plan sont alignés, comme nous le verrons dans le prochain exemple.
Exemple 4: Identifier si trois points sont alignés en utilisant l’équation vectorielle d’une droite
En utilisant l’équation vectorielle d’une droite, déterminez si les points , et sont alignés.
Réponse
On rappelle qu’un ensemble de points sont dits alignés s’ils appartiennent tous à la même droite. Il y a plusieurs façons de vérifier si les trois points donnés sont alignés, une d’entre elles consiste à trouver l’équation de la droite entre deux points puis vérifier si le troisième point satisfait à l’équation. Appliquons cette méthode en déterminant l’équation vectorielle de la droite entre et .
On utilise le fait que l’équation vectorielle d’une droite entre deux points distincts, et , est donnée par où est un scalaire quelconque.
Substituer les coordonnées des deux points donne qui peut être écrit comme
Si les trois points sont alignés, le troisième point doit se situer sur cette droite. Vérifions si c’est le cas. Ce point a comme vecteur position et substituer son vecteur position au vecteur dans l’équation vectorielle de la droite donne
Pour que le point se trouve sur la droite, il doit exister une valeur de qui vérifie l’équation.
L’équation de la première composante de chaque vecteur donne que l’on peut ensuite résoudre pour déterminer :
Substituer maintenant cette valeur de dans l’équation vectorielle donne qui est le vecteur position du point donc il se situe également sur la droite contenant les points et . Par conséquent, les points sont alignés.
On pourrait vérifier si ces points sont alignés en déterminant les vecteurs entre chaque couple de points. Si trois points sont alignés, tous les vecteurs entre deux points doivent être colinéaires.
On peut calculer ces vecteurs :
On voit alors que
Par conséquent, les trois vecteurs sont colinéaires et les trois points doivent donc être alignés.
Dans le dernier exemple, nous allons déterminer l’équation vectorielle d’une droite donnée sous forme réduite.
Exemple 5: Convertir une équation réduite en forme vectorielle
L’équation d’une droite est donnée par . Laquelle des équations vectorielles suivantes représente la même droite ?
Réponse
On rappelle que l’équation vectorielle d’une droite est donnée par où est le vecteur position d’un point quelconque de la droite, est le vecteur directeur de la droite et est un scalaire quelconque. Par conséquent, le point de vecteur position doit se situer sur la droite et le vecteur doit être colinéaire à la droite.
La droite donnée est sous forme réduite, c’est-à-dire sous la forme , où est le coefficient directeur et est l’ordonnée à l’origine. Par conséquent, la droite a un coefficient directeur de 7 et une ordonnée à l’origine de . Le coefficient directeur de la droite étant égal à 7, cela signifie que pour chaque déplacement de la droite de 1 unité dans la direction horizontale positive, elle se déplace de 7 unités dans la direction verticale positive et on peut représenter ce déplacement par le vecteur , qui est un vecteur directeur de la droite.
Tout multiple scalaire non nul de ce vecteur sera également un vecteur directeur de la droite ; cela signifie que doit être un multiple scalaire de . Parmi les options données, on peut voir que seules les options A, D et E ont des vecteurs directeurs qui sont des multiples scalaires de :
Comme les vecteurs directeurs des options B et C ne sont pas des multiples scalaires de , les droites des options B et C ne sont pas des équations vectorielles possibles de la droite .
Dans l’équation vectorielle d’une droite, le vecteur doit être le vecteur position d’un point sur la droite. On peut examiner les trois options restantes, A, D et E, pour vérifier si les points représentant les vecteurs position se situent sur la droite.
En comparant avec l’équation vectorielle générale d’une droite, on voit que dans l’option A, pour vérifier si est sur la droite , on pose donc :
Pour l’option A, la coordonnée correspondante quand est et non , on peut donc conclure que le point n’est pas sur la droite et que l’option A ne représente pas cette droite. En fait, comme les vecteurs directeurs de ces droites sont colinéaires et que les droites sont distinctes, on a montré qu’il s’agit d’une droite parallèle.
Pour l’option D, pour vérifier si se situe sur la droite, on substitue dans l’équation , ce qui donne
Par conséquent, le point ne se trouve pas sur la droite et l’option D ne représente pas cette droite. Une fois encore, comme ces deux droites sont distinctes et ont des vecteurs directeurs colinéaires, elles doivent être parallèles.
Enfin, en considérant l’option E, on vérifie si le point se situe sur la droite.
En posant dans l’équation réduite de la droite, on a
Par conséquent, se situe sur la droite et il s’agit une représentation correcte de cette droite.
Par conséquent, parmi les options listées, seule l’option E, , est une représentation de la droite .
Terminons par récapituler certains points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Le vecteur position de tout point sur une droite contenant le point de vecteur position est donné par où est le vecteur directeur de la droite et est un scalaire quelconque.
C’est ce qu’on appelle l’équation vectorielle de la droite. - Pour deux points distincts et sur la droite, on peut trouver son vecteur directeur en calculant le vecteur :
- Une droite de coefficient directeur a comme vecteur directeur .
- L’équation vectorielle d’une droite n’est pas unique ; on peut choisir n’importe quel point sur la droite pour le vecteur position et n’importe quel vecteur non nul colinéaire à la droite pour le vecteur directeur .
- Deux vecteurs directeurs et d’une même droite sont colinéaires ; ce sont des multiples scalaires non nuls l’un de l’autre.
- Trois points ou plus sont alignés si les vecteurs directeurs entre chaque couple de points sont colinéaires.
