Transcription de la vidéo
Une lamelle uniforme, sous la forme d’un triangle équilatéral de côté 24 centimètres, a une masse de 298 grammes. Une masse de 149 grammes est attachée à la lamelle en l’un des points de trisection du segment 𝐴𝐵 comme indiqué sur la figure. Déterminez les coordonnées du centre de gravité du système.
Dans cette question, on nous demande de trouver les coordonnées du centre de gravité du système. Le système est composé d’un triangle équilatéral de masse 298 grammes et côté de longueur 24 centimètres, ainsi que d’une masse de 149 grammes attachée à l’un des points de trisection du segment 𝐴𝐵. On commence par trouver le centre de gravité des deux composantes. Le centre de gravité de la masse de 149 grammes sera le point auquel cela est fixé. Le segment 𝐴𝐵 mesure 24 centimètres de long. Pour trouver le point de trisection, on doit calculer un tiers de 24 centimètres. Cela équivaut à huit centimètres. Par conséquent, la coordonnée 𝑥 du centre de gravité est huit. Comme la masse se trouve sur l’axe des 𝑥, la coordonnée 𝑦 sera nulle. Cela signifie que le centre de gravité de la masse de 149 grammes est huit, zéro.
Notre prochaine étape consiste à calculer le centre de gravité du triangle de 298 grammes. Cela se produira à l’intersection des trois diagonales représentées, où les diagonales sont les bissectrices perpendiculaires de 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐴𝐶. Une façon de trouver ce point est de commencer par considérer les coordonnées des sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Le point 𝐴 est à l’origine et donc a les coordonnées zéro, zéro. Comme le triangle a un côté de longueur de 24 centimètres, le point 𝐵 a les coordonnées 24, zéro. Le point 𝐶 aura une coordonnée 𝑥 de 12, car il s’agit du milieu entre zéro et 24.
Pour calculer la coordonnée 𝑦 c’est plus compliqué, et on doit utiliser notre connaissance des triangles rectangles. On peut utiliser le théorème de Pythagore ou les rapports trigonométriques. Le théorème de Pythagore dit que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑐 est la longueur du côté le plus long ou de l’hypoténuse du triangle et 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des côtés les plus courts. Si l’on appelle la coordonnée que l’on veut calculer comme 𝑦, on a 12 au carré plus 𝑦 au carré est égal à 24 au carré. 12 au carré est 144 et 24 au carré est 576. En soustrayant 144 des deux côtés, nous avons 𝑦 au carré égale 432. Puisque 𝑦 doit être positif, en prenant la racine carrée des deux côtés de cette équation nous donne 𝑦 est égal à 12 racine de trois. Le sommet 𝐶 de notre triangle a comme coordonnées 12, 12 fois racine de trois.
Et ensuite on peut trouver le centre de gravité du triangle en calculant la moyenne des coordonnées 𝑥 et 𝑦. La moyenne des coordonnées 𝑥 est égale à 12 plus zéro plus 24 le tout divisé par trois. Cela équivaut à 36 divisé par trois, ce qui équivaut à 12. La coordonnée 𝑥 du centre de gravité du triangle est 12. En répétant cela pour les coordonnées 𝑦, nous avons zéro plus zéro plus 12 racine de trois divisée par trois. Cela équivaut à quatre racine de trois. Le centre de gravité du triangle se trouve au point 12, quatre racine trois.
Une autre façon de calculer la coordonnée 𝑦 serait de considérer le triangle rectangle vert montré. On peut utiliser le rapport trigonométrique tan de 𝜃 est égal à côté opposé sur le côté adjacent, où l’angle 𝜃 est égal à 30 degrés car l’hypoténuse est la bissectrice d’un angle de 60 degrés et que le côté adjacent est de 12 centimètres. En substituant à ces valeurs, on a tan de 30 degrés est égal à 𝑑 sur 12. Et en multipliant par 12, 𝑑 est égal à 12 multiplié par le tan de 30 degrés. Comme tan 30 est égal à racine trois sur trois, alors 𝑑 est égal à quatre racine trois. Cela confirme la coordonnée 𝑦 du centre de gravité de notre triangle.
Une fois que l’on a les centres de gravité de la masse et du triangle, on peut les utiliser pour trouver le centre de gravité de tout le système. La coordonnée 𝑥 sera égale à 𝑚 un, 𝑥 un plus 𝑚 deux, 𝑥 deux divisée par 𝑚 un plus 𝑚 deux, où 𝑚 un et 𝑚 deux sont les deux masses, et 𝑥 un et 𝑥 deux sont les coordonnées 𝑥 des centres de gravité correspondants. On peut utiliser une formule similaire pour calculer la coordonnée 𝑦 du centre de gravité.
En substituant les valeurs dans la partie droite de notre première équation, on a 149 multiplié par huit plus 298 multiplié par 12 le tout divisé par 149 plus 298. En tapant ceci dans notre calculatrice nous donne 32 sur trois. Puisque 𝑦 indice un est égal à zéro, la coordonnée 𝑦 est 298 multiplié par quatre fois racine de trois divisé par 149 plus 298. Cela équivaut à huit racine trois sur trois. On peut conclure que les coordonnées du centre de gravité du système sont 32 sur trois, huit fois racine de trois sur trois.
