Transcription de la vidéo
Cette vidéo porte sur le centre de masse des plaques. Comme nous le verrons, une plaque est une surface en deux dimensions, et en trouvant le centre de masse de ces surfaces, nous pouvons déterminer des quantités physiques importantes. Pour commencer, présentons quelques exemples de plaques. Comme nous l’avons mentionné, ce sont des surfaces en deux dimensions. Une plaque peut être un cercle, un triangle, un hexagone ou toute forme arbitraire et sa principale caractéristique est qu’elle existe en deux dimensions dans un plan, et non en trois dimensions. En d’autres termes, une plaque n’est pas un objet solide.
Prenons un exemple de plaque, ce rectangle ici, au repos sur une surface. Dans cette leçon, nous voulons comprendre le centre de masse de telles plaques. Nous pouvons considérer le centre de masse d’une figure en deux dimensions comme la position moyenne de la masse dans cet objet. Pour une figure donnée, le centre de masse est le point auquel la plaque tiendrait en équilibre horizontal à l’extrémité d’une petite surface, par exemple à l’extrémité d’un crayon. C’est la signification physique du centre de masse. Et elle est reliée à un autre terme parfois appelé le centre de gravité. Lorsqu’un objet est dans un champ gravitationnel uniforme, ces deux points, le centre de masse et le centre de gravité, sont confondus. Dans cette leçon, nous allons supposer que c’est le cas et nous utiliserons l’expression centre de masse pour faire référence à ce point.
Mais revenons à notre rectangle, comment pouvons-nous trouver le centre de masse de cette plaque ? Une propriété clé à savoir, et que nous supposerons vraie tout au long de cette leçon, est que la masse d’une plaque donnée est uniformément répartie sur toute la surface. Cela signifie que le centre géométrique d’une figure correspond au centre de masse de cette plaque. Et nous pouvons trouver le centre géométrique de ce rectangle en considérant ses deux dimensions. Sa dimension verticale d’abord, dont le milieu est ici, puis sa dimension horizontale, dont le milieu est ici. Si nous traçons des droites en pointillés passant par ces milieux et perpendiculaires aux arrêtes, alors leur point d’intersection est le centre de masse global de notre figure. C’est là que, en moyenne, la masse de ce rectangle est concentrée.
En règle générale, le centre de masse d’une plaque est identifié dans un certain système de coordonnées. Il n’est donc pas rare de calculer le centre de masse d’un objet par rapport à un plan 𝑥𝑦. De cette façon, si notre rectangle avait une hauteur ℎ et une largeur 𝑙, alors les coordonnées de son centre de masse, que nous pouvons appeler 𝐶𝐷𝑀 𝑥 et 𝐶𝐷𝑀 𝑦, seraient 𝑙 sur deux et ℎ sur deux. Cette approche consistant à trouver le centre géométrique d’une figure pour localiser son centre de masse est une bonne première étape à utiliser lorsque c’est possible. Elle fonctionne bien lorsque la plaque a la forme d’un rectangle ou d’un cercle.
Il n’est cependant pas toujours aussi facile de trouver le centre géométrique de formes moins régulières. Par exemple, supposons que nous avons ce triangle ici et que nous souhaitons calculer son centre de masse. En rappelant qu’il s’agit de la position moyenne de la masse dans cette plaque, nous pourrions deviner que ce point se situe vers ici. Mais comment pouvons-nous calculer ses coordonnées ? Eh bien, il s’avère que pour tout triangle, si nous connaissons les coordonnées de ses trois sommets - nous les appelons ici 𝑥 un, 𝑦 un ; 𝑥 deux, 𝑦 deux ; et 𝑥 trois, 𝑦 trois - alors nous pouvons les utiliser pour déterminer les coordonnées du centre de masse.
L’abscisse 𝑥 du centre de masse est égale à la somme de 𝑥 un, 𝑥 deux et 𝑥 trois divisée par trois, et de même pour son ordonnée 𝑦. Cette formule est très utile car elle s’applique à tous les triangles. Sachant cela, étudions maintenant le centre de masse d’une autre figure assez courante. Cette figure est le demi-cercle. En rappelant que le centre de masse est équivalent au centre géométrique d’une figure, on pourrait penser que si nous connaissons le diamètre du demi-cercle, le centre de masse doit se situer quelque part le long de sa médiatrice. Et c’est en fait vrai. Notre intuition est correcte. Mais nous devons déterminer où le centre de masse se situe le long de cette droite.
Il s’avère que si nous connaissons le rayon du demi-cercle, nous pouvons déterminer l’ordonnée 𝑦 du centre de masse dans la direction verticale. Elle est égale à quatre fois le rayon du demi-cercle sur trois 𝜋. Comme le rayon de ce demi-cercle est de quatre unités, nous pouvons dire que les coordonnées de son centre de masse sont quatre et quatre fois quatre sur trois 𝜋 ou quatre et seize sur trois 𝜋.
Maintenant que nous avons considéré les centres de masse de différentes plaques, faisons un peu de place et étudions comment calculer le centre de masse non pas d’une plaque, mais d’un système de deux plaques. Dans ce cas, nous voyons que les deux plaques sont des rectangles. Nous savons comment trouver le centre géométrique de chaque plaque et donc son centre de masse. Mais pour déterminer le centre de masse de ce système de plaques, nous devons en quelque sorte combiner leurs deux centres de masse. Imaginons que nous connaissons non seulement les coordonnées du centre de masse de chacun de ces deux rectangles, mais également leurs aires. Nous les appelons alors 𝐴 un et 𝐴 deux. Avec toutes ces informations, nous pouvons déterminer le centre de masse d’un système de plaques.
Les formules générales des coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ce centre de masse sont indiquées ici. L’idée est que pour un système de plaques, chacune d’entre elles a une aire que nous appelons 𝐴 un, 𝐴 deux, et ainsi de suite jusqu’à 𝐴 𝑛. Chacune de ces plaques a également un centre de masse de coordonnées 𝑥 et 𝑦. L’abscisse 𝑥 du centre de masse de la plaque un est 𝑥 un, celle de la plaque deux est 𝑥 deux, et ainsi de suite jusqu’à 𝑥 𝑛. Et de même pour l’ordonnée 𝑦 du centre de masse. Donc quel que soit le nombre de plaques, on multiplie chaque aire par la coordonnée 𝑥 ou 𝑦 de son centre de masse respectif, puis on additionne les produits de ces plaques. On divise ensuite cette valeur par la somme de toutes les aires.
Ces formules générales nous donnent les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de masse d’un système de plaques. Donc dans le cas de nos deux rectangles, l’abscisse 𝑥 du centre de masse du système de ces deux rectangles est égale à 𝐴 un fois 𝑥 un plus 𝐴 deux fois 𝑥 deux divisé par la somme des aires, et de même pour l’ordonnée 𝑦 du centre de masse. Nous pouvons ainsi associer autant de plaques que nous le souhaitons. Tant que nous connaissions le centre de masse et l’aire de chaque plaque, nous pouvons trouver le centre de masse du système en utilisant cette méthode. Maintenant que nous avons toutes ces connaissances sur les plaques et leurs centres de masses, étudions un exemple.
Sur le schéma ci-dessous, trouvez la position du centre de masse de la plaque triangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶, en considérant 𝐴 comme l’origine.
Dans cette figure, le triangle de sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶 est positionné sur ce repère 𝑥𝑦. Nous souhaitons trouver le centre de masse de cette plaque triangulaire et nous savons qu’il correspond au centre de gravité ou au centre géométrique de la figure. En estimant à l’œil nu, nous pourrions placer le centre géométrique de ce triangle à peu près ici. Mais pour connaître avec précision les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ce point, que nous appelons 𝐶𝐷𝑀 𝑥 et 𝐶𝐷𝑀 𝑦, nous rappelons une approche plus formelle. Les informations clés pour déterminer le centre de masse d’une plaque triangulaire sont les coordonnées des trois sommets du triangle.
Si nous les connaissons, alors, quelle que soit la forme du triangle, nous pouvons calculer les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de son centre de masse en utilisant ces formules. Elles concernent en fait le calcul de la moyenne des abscisses 𝑥 et de la moyenne des ordonnées 𝑦 des sommets. Si nous appliquons ces formules à notre triangle 𝐴𝐵𝐶, alors nous pouvons noter que les coordonnées du sommet 𝐵 sont zéro, cinq 𝑎 ; celles du sommet 𝐶 sont quatre 𝑎, zéro. Et comme le sommet 𝐴 est situé à l’origine, ses coordonnées sont zéro, zéro.
Pour calculer alors l’abscisse 𝑥 du centre de masse, on additionne zéro, zéro et quatre 𝑎 et on divise par trois, ce qui donne quatre 𝑎 sur trois. Et pour l’ordonnée 𝑦 du centre de masse, on additionne cinq 𝑎, zéro et zéro, les ordonnées 𝑦 des trois sommets du triangle, et on divise par trois, ce qui donne cinq sur trois 𝑎. Ce sont donc les coordonnées du centre de masse de cette plaque triangulaire homogène.
Étudions maintenant un exemple où nous calculons le centre de masse d’un système de plaques.
Une plaque carrée homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 a des côtés de longueur 𝑙. Une autre plaque homogène 𝐵𝐶𝐸 de même densité et en forme de triangle isocèle est attachée au carré telle que 𝐸 se situe en dehors du carré et que 𝐵𝐸 égale 𝐶𝐸. Sachant que la longueur du côté du carré est égale à cinq tiers de la hauteur du triangle, trouvez le centre de masse du système.
En observant le schéma, nous voyons le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 et le triangle isocèle attaché à un de ses côtés. Dans cet exercice, nous souhaitons trouver le centre de masse du système du carré et du triangle. Pour nous aider, il est indiqué que le carré a une longueur de côté 𝑙 et que la hauteur du triangle, cette distance ici, est reliée à la longueur du côté carré par la relation : cinq sur trois fois ℎ égale 𝑙. En gardant le schéma, faisons un peu de place et commençons à travailler pour calculer les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de masse de ce système de plaques.
Notre stratégie globale consiste à commencer par déterminer le centre de masse de chaque plaque individuellement, le carré et le triangle. Une fois que nous aurons fait cela, nous pourrons utiliser le fait que les coordonnées du centre de masse de deux plaques, c’est-à-dire du centre de masse de deux plaques individuelles attachées ensemble, peuvent être déterminées avec ces formules. Ici, 𝐴 un et 𝐴 deux sont les aires respectives des deux plaques. 𝑥 un et 𝑥 deux sont les abscisses des centres de masse de ces plaques respectives. Et 𝑦 un et 𝑦 deux sont les ordonnées correspondantes de leurs centres de masses. Afin d’appliquer ces formules, nous devrons déterminer les centres de masse du carré et du triangle, ainsi que leurs aires.
Commençons par le carré. Comme le centre de masse de ce carré est confondu avec son centre géométrique, nous savons qu’il est situé ici, avec ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 égales à 𝑙 sur deux. Nous les désignons par 𝐶𝐷𝑀 𝑥 carré et 𝐶𝐷𝑀 𝑦 carré. Nous calculons maintenant l’aire du carré. Comme il est de côté 𝑙, son aire est simplement égale à 𝑙 au carré. Passons maintenant au triangle, en calculant les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de son centre de masse. Nous rappelons que pour un triangle, les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de masse sont respectivement égales aux coordonnées 𝑥 et 𝑦 moyennes des sommets du triangle. Nous voyons que les coordonnées du sommet 𝐵 sont 𝑙, 𝑙. Celles du sommet 𝐶 sont 𝑙, zéro.
Mais que pouvons-nous dire de celles du sommet 𝐸 ? L’énoncé du problème indique qu’il s’agit d’un triangle isocèle. Cela signifie que l’ordonnée 𝑦 du point 𝐸 est à mi-chemin entre celles des points 𝐶 et 𝐵. Elle est donc égale à 𝑙 sur deux. Pour calculer son abscisse 𝑥 cependant, nous devons ajouter la hauteur ℎ à la longueur 𝑙 du côté du carré. Compte tenu de cette relation entre ℎ et 𝑙, si on multiplie les deux membres de l’équation par trois sur cinq, on trouve que ℎ, la hauteur de ce triangle isocèle, est égale à trois sur cinq 𝑙, ce qui signifie que l’abscisse 𝑥 du sommet 𝐸 est égale à 𝑙 plus trois sur cinq 𝑙. En combinant ces deux, on obtient huit 𝑙 sur cinq.
Maintenant que nous connaissons les coordonnées de chacun des trois sommets du triangle, nous pouvons utiliser le fait que l’abscisse 𝑥 du centre de masse est égale à la moyenne de ces trois abscisses et que l’ordonnée 𝑦 du centre de masse est égale à la moyenne de ces trois ordonnées. Et notez que cela est vrai pour tout triangle, qu’il soit isocèle ou non. L’abscisse 𝑥 est donc égale à 𝑙 plus 𝑙 plus huit 𝑙 sur cinq, le tout sur trois. Cela est égal à 18𝑙 sur cinq sur trois, soit 18 sur 15𝑙, ce qui se simplifie en six sur cinq 𝑙. Nous notons donc cette valeur comme l’abscisse 𝑥 du centre de masse du triangle et faisons un peu de place afin de calculer son ordonnée y.
Elle est égale à la moyenne des ordonnées des trois sommets. C’est-à-dire 𝑙 plus zéro plus 𝑙 sur deux sur trois, soit trois demis de 𝑙 sur trois ou simplement 𝑙 sur deux. Et nous notons cette valeur dans notre couple de coordonnées. La dernière chose à faire avant de pouvoir appliquer ces deux formules du centre de masse est de calculer l’aire du triangle. L’aire d’un triangle est égale à un demi de sa base fois sa hauteur. Nous avons dit que sa hauteur est de trois sur cinq 𝑙. Et avec cette orientation, nous pouvons voir que sa base est ici de longueur 𝑙. L’aire est donc égale à un demi de 𝑙 fois trois sur cinq 𝑙, soit trois sur 10 𝑙 carré. Nous sommes maintenant complètement prêts à appliquer ces deux formules pour calculer les coordonnées du centre de masse global.
Le centre de masse du système des deux plaques a une abscisse 𝑥 égale à l’aire du carré fois l’abscisse 𝑥 du centre de masse du carré plus l’aire du triangle fois l’abscisse 𝑥 du centre de masse du triangle, le tout sur la somme des aires de ces deux figures. En remplaçant par ces valeurs, on remarque qu’un facteur commun 𝑙 carré apparaît dans tous les termes au numérateur et au dénominateur. Cela signifie que l’on peut factoriser puis simplifier par ce facteur, ce qui nous donne cette expression de l’abscisse 𝑥 du centre de masse.
Notez que l’on peut maintenant factoriser par 𝑙 a numérateur. Puis, un sur deux plus trois sur 10 fois six sur cinq égale 43 sur 50. Et au dénominateur, un plus trois sur 10 égale 13 sur 10. Si on multiplie alors le numérateur et le dénominateur par 10 sur 13, le dénominateur devient un, et on obtient 𝑙 fois quarante-trois sur 50 fois dix sur 13. Cela se simplifie en quarante-trois sur soixante-cinq 𝑙. Il s’agit de l’abscisse 𝑥 du centre de masse du système des deux plaques. Nous notons donc cette valeur dans ce couple de coordonnées et nous faisons maintenant un peu de place pour calculer l’ordonnée 𝑦 du centre de masse global.
Comme pour l’abscisse 𝑥, elle est égale à l’aire du carré fois l’ordonnée 𝑦 du centre de masse du carré plus l’aire du triangle fois l’ordonnée 𝑦 du centre de masse du triangle, le tout sur la somme des aires de ces deux figures. En remplaçant par ces valeurs, on voit à nouveau que 𝑙 carré peut être factorisé au numérateur et au dénominateur. Tout comme avant, ce facteur se simplifie et on peut une fois de plus factoriser par 𝑙 au numérateur.
En additionnant un sur deux et trois sur 10 fois un sur deux, on obtient 13 sur 20. Et comme précédemment, un plus trois sur 10 devient treize sur 10. En multipliant le numérateur et le dénominateur par 10 sur 13, le dénominateur devient un et le numérateur devient 𝑙 fois un sur deux. Il s’agit de l’ordonnée 𝑦 du centre de masse du système des deux plaques et notre réponse finale est donc que le centre de masse de ces deux plaques a les coordonnées quarante-trois sur soixante-cinq 𝑙 et 𝑙 sur deux.
Terminons maintenant cette leçon en résumant quelques points clés. Dans cette leçon, nous avons appris qu’une plaque est une figure en deux dimensions. Pour une plaque homogène, son centre de masse est confondu avec son centre géométrique, également appelé son centre de gravité. Concernant les triangles, nous avons vu que leur centre géométrique, et donc leur centre de masse, peut être trouvé en calculant les moyennes des coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ses sommets. Nous avons de plus appris que pour un demi-cercle de rayon 𝑟 positionné avec son côté plat sur l’axe des 𝑥, l’ordonnée 𝑦 de son centre de masse est égale à quatre 𝑟 sur trois 𝜋.
Enfin, nous avons vu que pour déterminer le centre de masse d’un système de plaques, nous devons d’abord calculer l’aire de chaque plaque ainsi que les coordonnées de son centre de masse, puis utiliser ces informations dans ces deux formules, quel que soit le nombre de plaques, pour calculer les coordonnées x et 𝑦 du centre de masse du système.
