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Fiche explicative de la leçon : Centre de masse d’une lame Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la position du centre de gravité d’une plaque composée de figures standard en deux dimensions.

Le poids d’un corps est une force et une force agit en un point. Pour un corps qui est une particule, on peut dire que le poids du corps agit à la position du corps.

Considérons cependant une barre rigide et horizontale. La barre peut être modélisée comme un système de 𝑛 particules, chacune séparée d’une distance 𝑑, comme le montre la figure suivante.

On peut alors imaginer modéliser le système de 𝑛 particules par une seule particule P. La masse de P est égale à la somme des masses des 𝑛 particules. Comme P n’a pas de longueur, elle ne peut pas tourner et toute force qui agit sur elle ne peut produire qu’une accélération de translation.

Si une force résultante 𝐹 agit sur le système des 𝑛 particules en un point particulier 𝑥 unique dans le système, l’accélération de chaque particule du système due à 𝐹 est équivalente à l’accélération de P due à 𝐹.

Si 𝐹 s’applique en 𝑥, le système ne subit qu’une accélération de translation due à 𝐹. La force 𝐹 ne provoque pas de rotation du système.

Quand l’accélération de P et celle du système sont égales, le point 𝑥 est le centre de gravité du système.

Définissons le centre de gravité d’un système de particules en une dimension.

Définition : Centre de gravité d’un système de particules en une dimension

La position 𝑥 du centre de gravité d’un système de particules en une dimension est définie par 𝑥=𝑚𝑥𝑚,𝑚 est la masse de la particule d’indice 𝑖 et 𝑥 est la distance entre l’origine du repère et la particule d’indice 𝑖.

La modélisation d’un système de 𝑛 particules peut être rendue plus réaliste en supposant que 𝑚 tend vers zéro et que 𝑛 tend par conséquent vers l’infini. Cela nécessite de remplacer la sommation par l'intégrale suivante:𝑥=𝑥𝑚𝑚.d

Dans le cas d’une barre homogène, 𝑥 est défini par 𝑥=𝑥𝑥𝑚=1𝐿×𝑥2=𝐿2,d𝐿 est la masse de la barre et 𝑥 est donc situé au milieu de la barre.

Une force s’appliquant sur le centre de gravité d’une barre agit de manière équivalente à un ensemble de forces agissant dans la même direction et le même sens sur tous les points de la barre. La même modélisation d’un ensemble de forces par une seule force peut être considérée pour le poids de la barre.

Une barre au repos sur une surface exerce des forces en chaque point de contact entre la barre et la surface, mais le poids d’une barre peut être modélisé comme une force unique qui s’applique en son centre gravité.

Si une barre est en contact avec une surface, la surface produit une force de réaction 𝑅 dans le sens opposé au poids de la barre 𝑃, 𝑃 agit le long d’une droite passant par le centre de gravité. Pour que 𝑃 et 𝑅 conservent le corps en équilibre, le centre de gravité de la barre doit être situé verticalement au-dessus d’une partie de la surface qui produit 𝑅, comme indiqué sur la figure suivante.

La position du centre de gravité de la barre par rapport à la surface détermine si le poids produira ou non un effet de rotation.

Dans cette fiche explicative, nous ne considérons que les corps d’épaisseur négligeable. Ces corps sont appelés des plaques. Une plaque est définie en deux dimensions.

Pour une plaque, le centre de gravité peut être défini par un couple de coordonnées dans un repère. L’origine du repère utilisée pour définir le centre de gravité d’une plaque peut, pour plus de commodité, être l’un des sommets de la plaque, en supposant que la plaque a des sommets.

Étudions un exemple de recherche de la position du centre de gravité d’une plaque.

Exemple 1: Déterminer le centre de gravité d’une plaque en forme de triangle rectangle

Sur la figure suivante, déterminez la position du centre de gravité de la plaque triangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶, en considérant 𝐴 comme l’origine.

Réponse

Pour des plaques homogènes, le centre de gravité du corps est le centre géométrique du corps. La plaque est homogène donc son centre de gravité est son centre géométrique.

Le centre géométrique d’un triangle rectangle est le point d’intersection de deux droites qui passent par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Ces droites sont les médianes du triangle.

La figure suivante montre deux droites qui se coupent au point (𝑥;𝑦), le centre géométrique de 𝐴𝐵𝐶, ou le barycentre. Les coordonnées des points d’intersection de ces droites avec l’axe des 𝑥 et l’axe des 𝑦 sont indiquées sur la figure.

Les valeurs de 𝑥 et 𝑦 peuvent être déterminées algébriquement en déterminant les valeurs de 𝑥 et 𝑦 pour lesquelles l’équation de la droite 𝐸𝐶 est égale à l’équation de la droite 𝐵𝐷.

L’équation de 𝐵𝐷 est 𝑦=𝑎0520𝑥+5𝑦=𝑎52𝑥+5.

L’équation de 𝐸𝐶 est 𝑦=𝑎040𝑥+52𝑦=𝑎58𝑥+52.

Ces équations sont égales quand 𝑥 et 𝑦 sont les coordonnées du centre géométrique de 𝐴𝐵𝐶:𝑎52𝑥+5=𝑎58𝑥+52.

Le facteur commun 𝑎 peut être éliminé pour obtenir 52𝑥+5=58𝑥+52.

On peut le réarranger comme suit pour déterminer 𝑥:52𝑥58𝑥=5255258𝑥=525208+58𝑥=52158𝑥=5215𝑥=402𝑥=43.

Substituer cette valeur de 𝑥 dans l’équation de 𝐵𝐷 donne 𝑦=𝑎52×43+5𝑦=𝑎206+5𝑦=𝑎206+306𝑦=106𝑎=5𝑎3.

Pour obtenir l’abscisse 𝑥 du point 𝑎(𝑥;𝑦), la valeur de 𝑥 doit être multipliée par 𝑎, donc 𝑥=4𝑎3.

Par conséquent, les coordonnées du centre de gravité de 𝐴𝐵𝐶 sont 4𝑎3,5𝑎3.

La méthode de recherche du centre géométrique par l’intersection de médianes aurait pu être considérablement simplifiée car 𝐴𝐵𝐶 est un triangle et on sait que le centre géométrique divise la médiane selon le rapport 21. Cela signifie que la position du centre géométrique est nécessairement à 13 de la longueur de sa médiane et donc que l’ordonnée 𝑦 est nécessairement 13×5𝑎. Comme la longueur du côté de 𝐴𝐵𝐶 dans le sens des 𝑥 est égale à 45 de la longueur du côté dans le sens des 𝑦, l’abscisse 𝑥 est nécessairement 13×4𝑎.

Pour localiser le centre de gravité d’une plaque homogène, nous devons identifier le centre géométrique de la plaque. Ils sont en effet confondus si la plaque est homogène. Vérifions pourquoi c’est bien le cas.

Considérons la plaque homogène en forme d’ellipse suivante dont les foyers se situent aux points 𝐴 et 𝐵.

L’axe de symétrie horizontal de l’ellipse, qui passe par 𝐴 et 𝐵, est également représenté. Si on divise l’ellipse le long de cet axe de symétrie, on obtient deux figures superposables. Puisqu’il s’agit d’une plaque homogène, les deux figures sont de même masse. Étudions maintenant les centres de gravité de ces deux nouvelles plaques. Comme les plaques sont superposables et homogènes, leurs centres de gravité sont confondus.

Étant donné que l’ellipse est une forme symétrique, il est logique que les centres de gravité des deux figures se situent sur l’axe de symétrie vertical de l’ellipse. Le schéma ci-dessus représente les centres de gravité 𝐷 et 𝐸, et on peut voir que le segment 𝐷𝐸 est perpendiculaire à 𝐴𝐵.

On sait que ces deux plaques sont de même masse, donc le centre de gravité de l’ellipse se situe au milieu de 𝐷𝐸, qui correspond au point d’intersection avec 𝐴𝐵. Par conséquent, le centre de gravité de l’ellipse est à l’intersection de ses axes de symétrie.

En étudiant cette ellipse, nous avons observé une propriété des plaques homogènes.

Propriété : Centre de gravité d’une plaque symétrique

Si une plaque homogène possède un axe de symétrie, alors son centre de gravité se situe sur cet axe de symétrie.

De même, si une plaque homogène possède plusieurs axes de symétrie, alors son centre de gravité se situe à l’intersection de ces axes de symétrie.

Le point d’intersection des axes de symétrie de la plaque peut également être appelé son centre géométrique. Par conséquent, le centre de gravité d’une plaque homogène est confondu avec son centre géométrique.

Nous n’étudions que les plaques dans cette leçon, mais le même concept peut être étendu aux solides homogènes. Si un solide homogène admet un plan de symétrie, alors son centre de gravité se situera quelque part dans ce plan. S’il admet deux plans de symétrie, on peut réduire sa localisation à la droite d’intersection des deux plans, et s’il a trois plans de symétrie ou plus, alors son centre de gravité se situe au point d’intersection des trois plans.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment déterminer le centre de gravité d’un système impliquant une plaque et des masses.

Exemple 2: Déterminer le centre de gravité d’une plaque avec des masses supplémentaires

Une plaque homogène de forme carrée 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côté 28 cm a une masse de 54 grammes. Des masses de 10, 8, 4 et 8 grammes sont respectivement attachées en 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Déterminez les coordonnées du centre de gravité du système.

Réponse

Le corps présenté dans la question peut être considéré comme un système composé de cinq particules. Les quatre masses attachées sont des particules et le centre de gravité de la plaque est une autre une particule. Comme la plaque est un carré homogène, le centre de gravité de la plaque est au centre géométrique du carré.

Ce système de particules est un système en deux dimensions. Il est toutefois possible de modéliser un système en deux dimensions comme deux systèmes en une dimension dans les directions respectives des 𝑥 et des 𝑦.

Le système en une dimension dans la direction des 𝑥 peut être représenté par le tableau suivant:

Total
Masse108548484
Distance de 𝐴𝐵00142828
Masse × Distance007562241121‎ ‎092

Le centre de gravité du système dans la direction des 𝑥 est 𝑥=109284=13.cm

Déterminer la position du centre de gravité du système dans la direction des 𝑥 équivaut à utiliser la formule suivante:𝑥=𝑚𝑥+𝑚𝑥+𝑚𝑥𝑚+𝑚+𝑚, où on calcule les valeurs de 𝑚, 𝑚 et 𝑚 en additionnant les valeurs de 𝑚 se trouvant à une valeur de 𝑥 donnée. Par conséquent, 𝑚=10+8=18,𝑚=54,𝑚=8+4=12.

Les côtés du carré sont de longueur 28 cm et le poids du carré agit au milieu de ces segments. La valeur de 𝑥 en définissant 𝐴 comme étant situé en 𝑥=0, est alors 𝑥=(18×0)+(54×14)+(12×28)18+54+12=109284=13.cm

On peut appliquer la même méthode dans la direction des 𝑦 pour déterminer la position du centre de gravité dans la direction des 𝑦, et il se trouve que la distribution des masses du système de particules donne les mêmes valeurs pour 𝑚, 𝑚 et 𝑚, et que les valeurs de 𝑦, 𝑦 et 𝑦 sont respectivement égales à 𝑥, 𝑥 et 𝑥, comme indiqué sur la figure suivante.

Par conséquent, la valeur de 𝑦 est également 13 cm.

La position du centre de gravité du système est (13,13).cm

Le centre de gravité du système est très proche du centre de gravité de la plaque. Cela n’est pas surprenant:d’une part, car la plus grande partie de la masse du système est due à la plaque et d’autre part, parce que les autres masses sont distribuées de manière symétrique autour du centre de la plaque.

Étudions un exemple de plaque composée.

Exemple 3: Déterminer le centre de gravité d’une plaque composée d’un carré et d’un triangle

Une plaque carrée homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 a des côtés de longueur 𝑙. Une autre plaque homogène 𝐵𝐶𝐸 de même densité en forme de triangle isocèle est attachée au carré de telle sorte que 𝐸 se situe à l’extérieur du carré et que 𝐵𝐸=𝐶𝐸. Sachant que la longueur du côté du carré mesure 53 de la hauteur du triangle, trouvez le centre de gravité du système.

Réponse

Les centres de gravité du carré et du triangle qui composent la plaque sont tous deux facilement déterminables.

Le centre de gravité du carré est son centre géométrique, il a donc les coordonnées 𝑙2,𝑙2, en définissant 𝐷 comme l’origine du repère en deux dimensions.

L’abscisse 𝑥 du centre de gravité du triangle est à un point situé à 13 de la longueur de la médiane du triangle à partir de sa base:les coordonnées de ce point sont 𝑙+133𝑙5,𝑙2=6𝑙5,𝑙2.

La plaque est homogène donc les masses du carré et du triangle sont proportionnelles à leurs aires.

L’aire du carré est 𝑙×𝑙=𝑙 et l’aire du triangle est 𝑙×𝑙2=310𝑙, la masse du triangle est donc égale à 310 de la masse du carré.

Les centres de gravité du carré et du triangle forment un système en une dimension dans la direction des 𝑥 qui peut être représenté par le tableau suivant:

Total
Masse13101310
Distance à 𝐴𝐷𝑙26𝑙5
Masse × Distance𝑙218𝑙5043𝑙50

Le centre de gravité du système dans la direction des 𝑥 est 𝑥==13=4365𝑙.

Les coordonnées du centre de gravité du système en deux dimensions sont donc 43𝑙65;𝑙2.

Étudions maintenant un exemple où une plaque homogène est pliée.

Exemple 4: Déterminer les coordonnées du centre de gravité d’une plaque rectangulaire non homogène

Une plaque rectangulaire homogène a une longueur de 63 cm et une largeur de 59 cm. Elle est divisée en trois rectangles de taille égale le long de sa longueur et le dernier de ces rectangles a été plié de manière à reposer sur le rectangle du milieu comme le montre la figure ci-dessous. Déterminez les coordonnées du centre de gravité de la plaque pliée.

Réponse

La plaque est divisée en trois rectangles de taille égale. Le centre de gravité de chaque rectangle est situé au centre géométrique de chacun des rectangles. Chaque rectangle est de masse 𝑚.

Après le pliage de la plaque, le rectangle délimité par la ligne en pointillés se retrouve aux mêmes coordonnées que le rectangle gris. Comme les centres de gravité de chaque rectangle sont confondus avec leurs centres géométriques respectifs, les positions des centres de gravité des deux rectangles et leurs distances par rapport à 𝐴 dans la direction des 𝑥 sont illustrées sur la figure suivante.

La zone grise est constituée de deux rectangles empilés, la masse de cette zone est donc le double de la masse de la zone blanche.

Le système en une dimension dans la direction des 𝑥 peut être représenté par le tableau suivant:

Total
Masse123
Distance à 𝐴𝐷2123212
Masse × Distance21262127212

L’abscisse 𝑥 du centre de gravité du système dans la direction des 𝑥 est 𝑥=73=1476=492.

Le résultat peut être confirmé à l’aide de la formule suivante:𝑥=𝑚𝑥+𝑚𝑥𝑚+𝑚.

Substituer les valeurs des 𝑚 et 𝑥 donne 𝑥=𝑚+2𝑚3×3𝑚.

Le facteur 𝑚 apparaît au numérateur et au dénominateur, on peut donc l’annuler pour obtenir 𝑥=+233𝑥=+63=1476=492.

Plier la plaque ne change pas la répartition de sa masse dans la direction des 𝑦 donc le centre de gravité de la plaque dans la direction des 𝑦 est simplement le milieu de la longueur de la plaque de 59 cm dans la direction des 𝑦.

Les coordonnées du centre de gravité de la plaque sont par conséquent 492;592.

Le poids d’un corps s’applique en son centre de gravité, par conséquent, un objet sur lequel agissent son poids et une autre force ne peut être en équilibre que si la force appliquée et le poids ont la même ligne d’action.

Considérons une plaque carrée homogène en équilibre suspendue par une corde légère en un point 𝑃, comme illustré sur la figure suivante.

La force agissant verticalement vers le haut sur le corps due à la tension de la corde a la même ligne d’action que le poids de la plaque.

Si la plaque était non homogène, la suspendre comme indiqué établirait seulement que la ligne d’action de la force appliquée passe par le centre de gravité de la plaque mais ne permettrait pas de déterminer sa position exacte. On peut uniquement déterminer la position du centre de gravité en suspendant la plaque par deux points distincts et en déterminant l’intersections des lignes d’action des forces agissant aux points de suspension, comme indiqué sur la figure suivante.

Étudions maintenant un exemple où une plaque composée est suspendue en un point.

Exemple 5: Déterminer l’angle entre un segment et la verticale dans une plaque homogène sachant que la plaque est suspendue librement en un point

Déterminez, au degré près, l’angle que le segment 𝑈𝑇 forme avec la verticale si la plaque homogène ci-dessous est suspendue librement en 𝑄.

Réponse

Plutôt que suspendre la plaque par un point pour déterminer la position de son centre de gravité, la question demande de déterminer la position du centre de gravité de la plaque afin de calculer l’angle qu’un côté de la plaque forme avec la verticale quand elle est suspendue par ce point.

On peut trouver la position du centre de gravité de la plaque en déterminant d’abord les positions des centres de gravité des deux parties rectangulaires de la plaque. Le centre de gravité de chaque partie rectangulaire de la plaque est son centre géométrique.

Avant de faire des calculs, il est possible de localiser approximativement le centre de gravité de la plaque par une méthode de dessin à l’échelle, comme indiqué sur la figure suivante.

Ce dessin indique que le centre de gravité de la plaque a une abscisse 𝑥 très proche de celle du point par lequel la plaque doit être suspendue.

En modélisant la plaque comme deux rectangles, les positions des centres de gravité des rectangles 𝑚 et 𝑚 sont illustrées par la figure suivante.

Les coordonnées de 𝑚 sont 4,152, et les coordonnées de 𝑚 sont 13,92.

Comme les rectangles sont homogènes, leurs masses relatives sont proportionnelles à leurs aires;par conséquent, 𝑚𝑚=15×810×9=43.

On peut en déduire que 𝑚=43𝑚, et donc que 𝑚+𝑚=73𝑚.

Le système en une dimension dans la direction des 𝑥 peut être représenté par le tableau suivant:

Total
Masse43173
Distance à 𝑈𝑃413
Masse × Distance16313553

L’abscisse 𝑥 du centre de gravité de la plaque est 𝑥==557.

Le résultat peut être confirmé à l’aide de la formule suivante:𝑥=𝑚𝑥+𝑚𝑥𝑚+𝑚.

Substituer les valeurs connues donne 𝑥=𝑚×4+(𝑚×13)𝑚.

Le facteur 𝑚 apparaît au numérateur et au dénominateur, et peut donc être simplifié pour obtenir 𝑥=×4+13.

Cela peut être réarrangé comme suit:𝑥=3×+137=557.

On peut suivre un raisonnement similaire pour trouver l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité de la plaque et obtenir 𝑦=3×10+7=8714.

L’angle entre la verticale et la droite passant le point de suspension et le centre de gravité est illustré par la figure suivante. Cet angle est très petit.

Lorsque la plaque est suspendue, elle effectue une rotation de cet angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de son point de suspension.

La distance verticale entre le point de suspension et le centre de gravité est 𝑑=158714=12314, et la distance horizontale du point de suspension au centre de gravité est 𝑑=8557=17.

Par conséquent, l’angle 𝜃 est décrit par tan(𝜃)==14861, ce qui donne une valeur pour 𝜃 de 𝜃=055.

Le segment 𝑈𝑇 fera une rotation selon le même angle. Comme 𝑈𝑇 est initialement horizontal, son angle initial par rapport à la verticale est de 90. Diminuer cet angle de 055 donne un angle final, arrondi au degré près, de 89.

Points clés

  • Si une force résultante 𝐹 agit sur un système de 𝑛 particules au centre de gravité du système, l’accélération de chaque particule due à 𝐹 est équivalente à l’accélération due à 𝐹 d’une seule particule de masse égale à la masse totale du système.
  • Le poids d’un corps s’applique en son centre de gravité.
  • La position du centre de gravité d’une plaque homogène est son centre géométrique.
  • La position du centre de gravité d’un système de particules en une dimension est définie par 𝑥=𝑚𝑥𝑚,𝑚 est la masse de la particule d’indice 𝑖 et 𝑥 est la distance entre l’origine du repère et la particule d’indice 𝑖.
  • Un système de particules en deux dimensions peut être traité comme deux systèmes en une dimension.
  • Le centre de gravité d’une plaque est le point d’intersection des lignes d’action de plusieurs forces qui agissent chacune individuellement pour suspendre la plaque à l’équilibre.

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