Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la position du centre de gravité d’une plaque composée de figures standard en deux dimensions.
Le poids d’un corps est une force et une force agit en un point. Pour un corps qui est une particule, on peut dire que le poids du corps agit à la position du corps.
Considérons cependant une barre rigide et horizontale. La barre peut être modélisée comme un système de particules, chacune séparée d’une distance , comme le montre la figure suivante.
On peut alors imaginer modéliser le système de particules par une seule particule P. La masse de P est égale à la somme des masses des particules. Comme P n’a pas de longueur, elle ne peut pas tourner et toute force qui agit sur elle ne peut produire qu’une accélération de translation.
Si une force résultante agit sur le système des particules en un point particulier unique dans le système, l’accélération de chaque particule du système due à est équivalente à l’accélération de P due à .
Si s’applique en , le système ne subit qu’une accélération de translation due à . La force ne provoque pas de rotation du système.
Quand l’accélération de P et celle du système sont égales, le point est le centre de gravité du système.
Définissons le centre de gravité d’un système de particules en une dimension.
Définition : Centre de gravité d’un système de particules en une dimension
La position du centre de gravité d’un système de particules en une dimension est définie par où est la masse de la particule d’indice et est la distance entre l’origine du repère et la particule d’indice .
La modélisation d’un système de particules peut être rendue plus réaliste en supposant que tend vers zéro et que tend par conséquent vers l’infini. Cela nécessite de remplacer la sommation par l'intégrale suivante :
Dans le cas d’une barre homogène, est défini par où est la masse de la barre et est donc situé au milieu de la barre.
Une force s’appliquant sur le centre de gravité d’une barre agit de manière équivalente à un ensemble de forces agissant dans la même direction et le même sens sur tous les points de la barre. La même modélisation d’un ensemble de forces par une seule force peut être considérée pour le poids de la barre.
Une barre au repos sur une surface exerce des forces en chaque point de contact entre la barre et la surface, mais le poids d’une barre peut être modélisé comme une force unique qui s’applique en son centre gravité.
Si une barre est en contact avec une surface, la surface produit une force de réaction dans le sens opposé au poids de la barre , où agit le long d’une droite passant par le centre de gravité. Pour que et conservent le corps en équilibre, le centre de gravité de la barre doit être situé verticalement au-dessus d’une partie de la surface qui produit , comme indiqué sur la figure suivante.
La position du centre de gravité de la barre par rapport à la surface détermine si le poids produira ou non un effet de rotation.
Dans cette fiche explicative, nous ne considérons que les corps d’épaisseur négligeable. Ces corps sont appelés des plaques. Une plaque est définie en deux dimensions.
Pour une plaque, le centre de gravité peut être défini par un couple de coordonnées dans un repère. L’origine du repère utilisée pour définir le centre de gravité d’une plaque peut, pour plus de commodité, être l’un des sommets de la plaque, en supposant que la plaque a des sommets.
Étudions un exemple de recherche de la position du centre de gravité d’une plaque.
Exemple 1: Déterminer le centre de gravité d’une plaque en forme de triangle rectangle
Sur la figure suivante, déterminez la position du centre de gravité de la plaque triangulaire homogène , en considérant comme l’origine.
Réponse
Pour des plaques homogènes, le centre de gravité du corps est le centre géométrique du corps. La plaque est homogène donc son centre de gravité est son centre géométrique.
Le centre géométrique d’un triangle rectangle est le point d’intersection de deux droites qui passent par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Ces droites sont les médianes du triangle.
La figure suivante montre deux droites qui se coupent au point , le centre géométrique de , ou le barycentre. Les coordonnées des points d’intersection de ces droites avec l’axe des et l’axe des sont indiquées sur la figure.
Les valeurs de et peuvent être déterminées algébriquement en déterminant les valeurs de et pour lesquelles l’équation de la droite est égale à l’équation de la droite .
L’équation de est
L’équation de est
Ces équations sont égales quand et sont les coordonnées du centre géométrique de :
Le facteur commun peut être éliminé pour obtenir
On peut le réarranger comme suit pour déterminer :
Substituer cette valeur de dans l’équation de donne
Pour obtenir l’abscisse du point , la valeur de doit être multipliée par , donc
Par conséquent, les coordonnées du centre de gravité de sont
La méthode de recherche du centre géométrique par l’intersection de médianes aurait pu être considérablement simplifiée car est un triangle et on sait que le centre géométrique divise la médiane selon le rapport . Cela signifie que la position du centre géométrique est nécessairement à de la longueur de sa médiane et donc que l’ordonnée est nécessairement . Comme la longueur du côté de dans le sens des est égale à de la longueur du côté dans le sens des , l’abscisse est nécessairement .
Pour localiser le centre de gravité d’une plaque homogène, nous devons identifier le centre géométrique de la plaque. Ils sont en effet confondus si la plaque est homogène. Vérifions pourquoi c’est bien le cas.
Considérons la plaque homogène en forme d’ellipse suivante dont les foyers se situent aux points et .
L’axe de symétrie horizontal de l’ellipse, qui passe par et , est également représenté. Si on divise l’ellipse le long de cet axe de symétrie, on obtient deux figures superposables. Puisqu’il s’agit d’une plaque homogène, les deux figures sont de même masse. Étudions maintenant les centres de gravité de ces deux nouvelles plaques. Comme les plaques sont superposables et homogènes, leurs centres de gravité sont confondus.
Étant donné que l’ellipse est une forme symétrique, il est logique que les centres de gravité des deux figures se situent sur l’axe de symétrie vertical de l’ellipse. Le schéma ci-dessus représente les centres de gravité et , et on peut voir que le segment est perpendiculaire à .
On sait que ces deux plaques sont de même masse, donc le centre de gravité de l’ellipse se situe au milieu de , qui correspond au point d’intersection avec . Par conséquent, le centre de gravité de l’ellipse est à l’intersection de ses axes de symétrie.
En étudiant cette ellipse, nous avons observé une propriété des plaques homogènes.
Propriété : Centre de gravité d’une plaque symétrique
Si une plaque homogène possède un axe de symétrie, alors son centre de gravité se situe sur cet axe de symétrie.
De même, si une plaque homogène possède plusieurs axes de symétrie, alors son centre de gravité se situe à l’intersection de ces axes de symétrie.
Le point d’intersection des axes de symétrie de la plaque peut également être appelé son centre géométrique. Par conséquent, le centre de gravité d’une plaque homogène est confondu avec son centre géométrique.
Nous n’étudions que les plaques dans cette leçon, mais le même concept peut être étendu aux solides homogènes. Si un solide homogène admet un plan de symétrie, alors son centre de gravité se situera quelque part dans ce plan. S’il admet deux plans de symétrie, on peut réduire sa localisation à la droite d’intersection des deux plans, et s’il a trois plans de symétrie ou plus, alors son centre de gravité se situe au point d’intersection des trois plans.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment déterminer le centre de gravité d’un système impliquant une plaque et des masses.
Exemple 2: Déterminer le centre de gravité d’une plaque avec des masses supplémentaires
Une plaque homogène de forme carrée de côté 28 cm a une masse de 54 grammes. Des masses de 10, 8, 4 et 8 grammes sont respectivement attachées en , , et . Déterminez les coordonnées du centre de gravité du système.
Réponse
Le corps présenté dans la question peut être considéré comme un système composé de cinq particules. Les quatre masses attachées sont des particules et le centre de gravité de la plaque est une autre une particule. Comme la plaque est un carré homogène, le centre de gravité de la plaque est au centre géométrique du carré.
Ce système de particules est un système en deux dimensions. Il est toutefois possible de modéliser un système en deux dimensions comme deux systèmes en une dimension dans les directions respectives des et des .
Le système en une dimension dans la direction des peut être représenté par le tableau suivant :
| Total | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Masse | 10 | 8 | 54 | 8 | 4 | 84 |
| Distance de | 0 | 0 | 14 | 28 | 28 | |
| Masse Distance | 0 | 0 | 756 | 224 | 112 | 1 092 |
Le centre de gravité du système dans la direction des est
Déterminer la position du centre de gravité du système dans la direction des équivaut à utiliser la formule suivante : où on calcule les valeurs de , et en additionnant les valeurs de se trouvant à une valeur de donnée. Par conséquent,
Les côtés du carré sont de longueur 28 cm et le poids du carré agit au milieu de ces segments. La valeur de en définissant comme étant situé en , est alors
On peut appliquer la même méthode dans la direction des pour déterminer la position du centre de gravité dans la direction des , et il se trouve que la distribution des masses du système de particules donne les mêmes valeurs pour , et , et que les valeurs de , et sont respectivement égales à , et , comme indiqué sur la figure suivante.
Par conséquent, la valeur de est également 13 cm.
La position du centre de gravité du système est
Le centre de gravité du système est très proche du centre de gravité de la plaque. Cela n’est pas surprenant : d’une part, car la plus grande partie de la masse du système est due à la plaque et d’autre part, parce que les autres masses sont distribuées de manière symétrique autour du centre de la plaque.
Étudions un exemple de plaque composée.
Exemple 3: Déterminer le centre de gravité d’une plaque composée d’un carré et d’un triangle
Une plaque carrée homogène a des côtés de longueur . Une autre plaque homogène de même densité en forme de triangle isocèle est attachée au carré de telle sorte que se situe à l’extérieur du carré et que . Sachant que la longueur du côté du carré mesure de la hauteur du triangle, trouvez le centre de gravité du système.
Réponse
Les centres de gravité du carré et du triangle qui composent la plaque sont tous deux facilement déterminables.
Le centre de gravité du carré est son centre géométrique, il a donc les coordonnées en définissant comme l’origine du repère en deux dimensions.
L’abscisse du centre de gravité du triangle est à un point situé à de la longueur de la médiane du triangle à partir de sa base : les coordonnées de ce point sont
La plaque est homogène donc les masses du carré et du triangle sont proportionnelles à leurs aires.
L’aire du carré est et l’aire du triangle est la masse du triangle est donc égale à de la masse du carré.
Les centres de gravité du carré et du triangle forment un système en une dimension dans la direction des qui peut être représenté par le tableau suivant :
| Total | |||
|---|---|---|---|
| Masse | 1 | ||
| Distance à | |||
| Masse Distance |
Le centre de gravité du système dans la direction des est
Les coordonnées du centre de gravité du système en deux dimensions sont donc .
Étudions maintenant un exemple où une plaque homogène est pliée.
Exemple 4: Déterminer les coordonnées du centre de gravité d’une plaque rectangulaire non homogène
Une plaque rectangulaire homogène a une longueur de 63 cm et une largeur de 59 cm. Elle est divisée en trois rectangles de taille égale le long de sa longueur et le dernier de ces rectangles a été plié de manière à reposer sur le rectangle du milieu comme le montre la figure ci-dessous. Déterminez les coordonnées du centre de gravité de la plaque pliée.
Réponse
La plaque est divisée en trois rectangles de taille égale. Le centre de gravité de chaque rectangle est situé au centre géométrique de chacun des rectangles. Chaque rectangle est de masse .
Après le pliage de la plaque, le rectangle délimité par la ligne en pointillés se retrouve aux mêmes coordonnées que le rectangle gris. Comme les centres de gravité de chaque rectangle sont confondus avec leurs centres géométriques respectifs, les positions des centres de gravité des deux rectangles et leurs distances par rapport à dans la direction des sont illustrées sur la figure suivante.
La zone grise est constituée de deux rectangles empilés, la masse de cette zone est donc le double de la masse de la zone blanche.
Le système en une dimension dans la direction des peut être représenté par le tableau suivant :
| Total | |||
|---|---|---|---|
| Masse | 1 | 2 | 3 |
| Distance à | |||
| Masse Distance |
L’abscisse du centre de gravité du système dans la direction des est
Le résultat peut être confirmé à l’aide de la formule suivante :
Substituer les valeurs des et donne
Le facteur apparaît au numérateur et au dénominateur, on peut donc l’annuler pour obtenir
Plier la plaque ne change pas la répartition de sa masse dans la direction des donc le centre de gravité de la plaque dans la direction des est simplement le milieu de la longueur de la plaque de 59 cm dans la direction des .
Les coordonnées du centre de gravité de la plaque sont par conséquent .
Le poids d’un corps s’applique en son centre de gravité, par conséquent, un objet sur lequel agissent son poids et une autre force ne peut être en équilibre que si la force appliquée et le poids ont la même ligne d’action.
Considérons une plaque carrée homogène en équilibre suspendue par une corde légère en un point , comme illustré sur la figure suivante.
La force agissant verticalement vers le haut sur le corps due à la tension de la corde a la même ligne d’action que le poids de la plaque.
Si la plaque était non homogène, la suspendre comme indiqué établirait seulement que la ligne d’action de la force appliquée passe par le centre de gravité de la plaque mais ne permettrait pas de déterminer sa position exacte. On peut uniquement déterminer la position du centre de gravité en suspendant la plaque par deux points distincts et en déterminant l’intersections des lignes d’action des forces agissant aux points de suspension, comme indiqué sur la figure suivante.
Étudions maintenant un exemple où une plaque composée est suspendue en un point.
Exemple 5: Déterminer l’angle entre un segment et la verticale dans une plaque homogène sachant que la plaque est suspendue librement en un point
Déterminez, au degré près, l’angle que le segment forme avec la verticale si la plaque homogène ci-dessous est suspendue librement en .
Réponse
Plutôt que suspendre la plaque par un point pour déterminer la position de son centre de gravité, la question demande de déterminer la position du centre de gravité de la plaque afin de calculer l’angle qu’un côté de la plaque forme avec la verticale quand elle est suspendue par ce point.
On peut trouver la position du centre de gravité de la plaque en déterminant d’abord les positions des centres de gravité des deux parties rectangulaires de la plaque. Le centre de gravité de chaque partie rectangulaire de la plaque est son centre géométrique.
Avant de faire des calculs, il est possible de localiser approximativement le centre de gravité de la plaque par une méthode de dessin à l’échelle, comme indiqué sur la figure suivante.
Ce dessin indique que le centre de gravité de la plaque a une abscisse très proche de celle du point par lequel la plaque doit être suspendue.
En modélisant la plaque comme deux rectangles, les positions des centres de gravité des rectangles et sont illustrées par la figure suivante.
Les coordonnées de sont et les coordonnées de sont
Comme les rectangles sont homogènes, leurs masses relatives sont proportionnelles à leurs aires ; par conséquent,
On peut en déduire que et donc que
Le système en une dimension dans la direction des peut être représenté par le tableau suivant :
| Total | |||
|---|---|---|---|
| Masse | 1 | ||
| Distance à | 4 | 13 | |
| Masse Distance | 13 |
L’abscisse du centre de gravité de la plaque est
Le résultat peut être confirmé à l’aide de la formule suivante :
Substituer les valeurs connues donne
Le facteur apparaît au numérateur et au dénominateur, et peut donc être simplifié pour obtenir
Cela peut être réarrangé comme suit :
On peut suivre un raisonnement similaire pour trouver l’ordonnée du centre de gravité de la plaque et obtenir
L’angle entre la verticale et la droite passant le point de suspension et le centre de gravité est illustré par la figure suivante. Cet angle est très petit.
Lorsque la plaque est suspendue, elle effectue une rotation de cet angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de son point de suspension.
La distance verticale entre le point de suspension et le centre de gravité est et la distance horizontale du point de suspension au centre de gravité est
Par conséquent, l’angle est décrit par ce qui donne une valeur pour de
Le segment fera une rotation selon le même angle. Comme est initialement horizontal, son angle initial par rapport à la verticale est de . Diminuer cet angle de donne un angle final, arrondi au degré près, de .
Points clés
- Si une force résultante agit sur un système de particules au centre de gravité du système, l’accélération de chaque particule due à est équivalente à l’accélération due à d’une seule particule de masse égale à la masse totale du système.
- Le poids d’un corps s’applique en son centre de gravité.
- La position du centre de gravité d’une plaque homogène est son centre géométrique.
- La position du centre de gravité d’un système de particules en une dimension est définie par où est la masse de la particule d’indice et est la distance entre l’origine du repère et la particule d’indice .
- Un système de particules en deux dimensions peut être traité comme deux systèmes en une dimension.
- Le centre de gravité d’une plaque est le point d’intersection des lignes d’action de plusieurs forces qui agissent chacune individuellement pour suspendre la plaque à l’équilibre.
