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On pose 𝑦 égal six cosinus quatre 𝑥 plus deux sinus deux 𝑥. Déterminez d𝑦 sur d𝑥.
Dans cette question, on nous demande de trouver la dérivée d’une somme de deux fonctions trigonométriques. Nous devons donc rappeler les règles pour les dériver. Les règles les plus élémentaires disent que la dérivée de sinus 𝑥 est cosinus 𝑥, que la dérivée de cosinus 𝑥 est moins sinus 𝑥, que la dérivée de moins sinus 𝑥 est moins cosinus 𝑥, et que la dérivée de moins cosinus 𝑥 est sinus 𝑥. Cependant, nous devons nous rappeler que ces règles ne sont vraies que si l’angle est mesuré en radians.
Nous pouvons voir, cependant, que les arguments de la fonction ne sont pas seulement 𝑥 ; nous avons quatre 𝑥 dans le premier terme, et nous avons deux 𝑥 dans le deuxième terme. Donc, nous devons aussi nous rappeler comment dériver les fonctions sinus et cosinus de ce type. Nous pouvons citer d’autres résultats standards. Pour une constante 𝑎, la dérivée par rapport à 𝑥 de sinus 𝑎𝑥 est 𝑎 cosinus 𝑥. Et la dérivée par rapport à 𝑥 de cosinus 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sinus 𝑎𝑥. Nous avons juste un facteur supplémentaire de 𝑎 dans nos dérivées. Ces résultats pourraient être prouvés en utilisant la règle de la dérivation en chaîne si nous le souhaitions.
Maintenant, notez que nous avons aussi des constantes multiplicatives devant chaque terme. Nous avons six au premier terme et deux au second. Mais nous savons que multiplier par une constante signifie simplement que la dérivée sera également multipliée par la même constante. On peut donc dire que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 sera égale à six multipliée par la dérivée de cosinus quatre 𝑥 par rapport à 𝑥 plus deux multipliée par la dérivée de sinus deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons utiliser nos résultats standards pour trouver chacune de ces dérivées.
En appliquant la deuxième règle pour la dérivée par rapport à 𝑥 de cosinus 𝑎𝑥, nous avons que la dérivée par rapport à 𝑥 de cosinus quatre 𝑥 vaut moins quatre sinus quatre 𝑥. Et puis, en appliquant notre première règle pour la dérivée de sinus 𝑎𝑥, nous avons que la dérivée par rapport à 𝑥 de sinus deux 𝑥 est deux cosinus deux 𝑥. Donc, d𝑦 sur d𝑥 est égale à six fois moins quatre sinus quatre 𝑥 plus deux fois deux cosinus deux 𝑥. Simplifier les constantes nous donne notre réponse. d𝑦 sur d𝑥 est égale à moins 24 sinus quatre 𝑥 plus quatre cosinus deux 𝑥. Et encore une fois, rappelez-vous que ce résultat n’est vrai que lorsque 𝑥 est mesuré en radians.
