Vidéo de la leçon: Dérivation des fonctions trigonométriques Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à dériver les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente. Nous allons d’abord voir comment trouver la dérivée des fonctions sinus et cosinus en utilisant la définition de la dérivée, puis nous calculerons la dérivée de la fonction tangente en utilisant la formule de dérivation d’un quotient. Nous verrons ensuite des exemples d’application de ces dérivées et de ce qu’on observe en faisant des dérivations successives.

Vous devriez maintenant savoir facilement dériver les fonctions polynomiales et calculer des dérivées en partant de la définition. Rappelez-vous : d’après la définition, la dérivée d’une fonction 𝑓, notée 𝑓 prime de 𝑥, est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout sur ℎ aux points où la limite existe. Nous allons donc utiliser cette définition pour trouver la dérivée de sinus de 𝑥. Nous aurons besoin de connaître quelques limites usuelles. Il est possible de les retrouver, mais dans cette vidéo, on se contentera d’un simple rappel.

Notons également que, pour que ces limites soient vraies, il sera nécessaire d’exprimer tous les angles en radians. Utilisons ceci : la limite lorsque ℎ tend vers zéro de sinus de ℎ sur ℎ est égale à un et la limite lorsque ℎ tend vers zéro de cosinus de ℎ moins un sur ℎ est égale à zéro. Maintenant que les rappels nécessaires ont été faits, passons à la méthode.

Dérivez 𝑓 de 𝑥 égale sinus 𝑥 en partant de la définition d’une dérivée.

On a 𝑓 de 𝑥 est égal au sinus de 𝑥. Or, on sait que, pour dériver d’après la définition d’une dérivée, on calcule la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout sur ℎ. Donc, puisque 𝑓 de 𝑥 vaut sinus 𝑥, il faut trouver 𝑓 de 𝑥 plus ℎ. C’est le sinus de 𝑥 plus ℎ. Et ainsi, pour dériver sinus 𝑥 en utilisant la définition, nous calculons la limite lorsque ℎ tend vers zéro de sinus 𝑥 plus ℎ moins sinus de 𝑥 le tout sur ℎ. Notez qu’on ne peut pas encore vraiment calculer quoi que ce soit. Il faut donc trouver un moyen de simplifier l’expression sinus 𝑥 plus ℎ moins sinus 𝑥 sur ℎ. Rappelons la formule du sinus d’une somme.

C’est sinus de 𝐴 plus 𝐵 est égal à sinus 𝐴 cosinus 𝐵 plus cosinus 𝐴 sinus 𝐵. On voit donc que sinus de 𝑥 plus ℎ est égal à sinus 𝑥 cosinus ℎ plus cosinus 𝑥 sinus ℎ. On peut donc réécrire comme ceci la limite représentant la dérivée de 𝑓 de 𝑥. Ce n’est pas encore très utile, mais on peut factoriser par sinus de 𝑥. On identifie les deux expressions qui contiennent sinus de 𝑥. On voit que sinus 𝑥 cosinus ℎ moins sinus 𝑥 peut maintenant s’écrire sinus de 𝑥 fois cosinus de ℎ moins un.

Séparons un peu tout ça. Séparons la fraction en deux parties et rappelons que la limite de la somme de deux fonctions est égale à la somme de leurs limites respectives. Maintenant, remarquons que sinus de 𝑥 et cosinus de 𝑥 sont en fait indépendants de ℎ. Ce qui nous permet de sortir de la limite le sinus de 𝑥 et le cosinus de 𝑥. Ensuite, rappelons que, pour des angles mesurés en radians, la limite lorsque ℎ tend vers zéro de sinus ℎ sur ℎ vaut un. Et la limite lorsque ℎ tend vers zéro de cosinus ℎ moins un sur ℎ est égale à zéro. On voit donc qu’on peut remplacer l’une de nos limites par zéro et l’autre par un. sinus 𝑥 fois zéro égale zéro. Donc, ce terme disparaît entièrement. cosinus 𝑥 fois un est simplement égal à cosinus 𝑥.

Nous avons donc trouvé, par dérivation en partant de la définition, que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à cosinus 𝑥. La dérivée de sinus 𝑥 est cosinus 𝑥. C’est un résultat que vous devez apprendre par cœur. Mais c’est important de savoir retrouver la dérivée de la fonction sinus en partant de la définition.

Procédons de même pour le cosinus de 𝑥.

Sachant que 𝑦 est égal à cosinus 𝑥, trouvez d𝑦 sur d𝑥 à partir de la définition.

Pour répondre à cette question, nous utiliserons la définition d’une dérivée. Pour une fonction 𝑓 de 𝑥, la dérivée, que l’on note 𝑓 prime de 𝑥, mais que l’on peut également définir comme d𝑦 sur d𝑥, est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 sur ℎ, lorsque la limite existe. Et ℎ est égal à 𝛿𝑥. Maintenant, soit 𝑓 de 𝑥 égale cosinus 𝑥. Donc 𝑓 de 𝑥 plus ℎ égale cosinus 𝑥 plus ℎ. Et donc pour faire cette dérivation, nous commençons par chercher la limite lorsque ℎ tend vers zéro de cosinus 𝑥 plus ℎ moins cosinus 𝑥 le tout sur ℎ. Maintenant, rappelons la formule trigonométrique selon laquelle cosinus 𝐴 plus 𝐵 égale cosinus 𝐴 fois cosinus 𝐵 moins sinus 𝐴 fois sinus 𝐵. Donc cosinus 𝑥 plus ℎ égale cosinus 𝑥 cosinus ℎ moins sinus 𝑥 sinus ℎ. Et donc nous pouvons réécrire notre limite ainsi.

L’étape suivante consiste à factoriser par cosinus 𝑥. Nous remarquons qu’il y a cosinus 𝑥 ici et moins cosinus 𝑥 ici. Et donc le numérateur de cette expression devient cosinus 𝑥 fois cosinus ℎ moins un moins sinus 𝑥 fois sinus ℎ. Nous allons séparer cela en deux fractions et appliquer les propriétés sur les limites. À savoir, la limite de la somme ou de la différence de deux fonctions est égale à la somme ou à la différence de leurs limites respectives. Nous savons également que nous pouvons écrire, par exemple, cosinus 𝑥 fois cosinus ℎ moins un sur ℎ comme cosinus 𝑥 fois la fraction cosinus ℎ moins un sur ℎ. Et nos limites ressemblent à peu près à ça, mais on sait que cosinus 𝑥 et sinus 𝑥 sont indépendants de ℎ.

Nous pouvons donc les placer en dehors des limites. Et donc d𝑦 sur d𝑥 égale cosinus 𝑥 fois la limite lorsque ℎ tend vers zéro de cosinus ℎ moins un sur ℎ moins sinus 𝑥 fois la limite lorsque ℎ tend vers zéro de sinus ℎ sur ℎ. Utilisons à présent les limites suivantes, on les appelle les approximations de Gauss, ou également les approximations des petits angles, et rappelons encore une fois que c’est uniquement valable pour des mesures en radians. La limite lorsque ℎ tend vers zéro de cosinus ℎ moins un sur ℎ est égale à zéro. Le premier terme devient donc zéro. Alors moins sinus 𝑥 fois la limite lorsque ℎ tend vers zéro de sinus ℎ sur ℎ est moins sinus 𝑥 fois un, ce qui vaut moins sinus 𝑥. On voit donc que pour 𝑦 égale cosinus de 𝑥, d𝑦 sur d𝑥, c’est-à-dire la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥, est égale à moins sinus 𝑥

Donc, pour un réel 𝑥 exprimé en radians, la dérivée première de sinus 𝑥 par rapport à 𝑥 est cosinus 𝑥 et la dérivée première de cosinus 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins sinus 𝑥. On peut alors observer ce qui suit : la dérivée de sinus 𝑥 est cosinus 𝑥. Si on dérive encore un fois, ça nous donne moins sinus 𝑥. Ensuite, en dérivant à nouveau, on obtient moins cosinus 𝑥. Et puis une dernière dérivation nous ramène à sinus 𝑥. Comme l’intégration est le procédé inverse de la dérivation, on peut également inverser ces étapes pour l’intégration.

Ces formules de dérivation de sinus et de cosinus peuvent se généraliser aux dérivées de sinus 𝑎𝑥 et de cosinus 𝑎𝑥. La dérivée de sinus 𝑎𝑥 est 𝑎 cosinus 𝑎𝑥 et la dérivée de cosinus 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sinus 𝑎𝑥. On peut même considérer les formules générales, qui sont valables pour les valeurs entières de 𝑘. Des formules similaires s’appliquent à la dérivée de cosinus 𝑥.

Voyons maintenant ce qu’il en est de la dérivée de la fonction tangente. Nous allons appliquer la formule qui exprime tan 𝜃 en fonction de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃. Et utiliser la formule de dérivation d’un quotient. Voyons ce qu’il en est.

Trouvez le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 égale tan de cinq 𝑥 en 𝑥 égale 𝜋.

Rappelez-vous, lorsqu’on parle du taux de variation d’une fonction, il s’agit de sa dérivée. Nous allons donc dériver tangente de cinq 𝑥 puis calculer cette dérivée pour 𝑥 égale 𝜋. Réécrivons d’abord tangente 𝑥, utilisons pour cela la formule tangente 𝑥 égale sinus 𝑥 sur cosinus 𝑥. Ainsi, 𝑓 de 𝑥, qui est tangente de cinq 𝑥, peut donc s’écrire sinus de cinq 𝑥 sur cosinus de cinq 𝑥. Maintenant, pour trouver la dérivée de cette fonction rationnelle, rappelons la formule de dérivée du quotient. À savoir, la dérivée par rapport à 𝑥 du quotient de deux fonctions dérivables 𝑢 sur 𝑣 est égale à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré.

Ainsi donc, notons 𝑢 égale sinus de cinq 𝑥, c’est le numérateur, et 𝑣 égale cosinus de cinq 𝑥 ; c’est le dénominateur. Il faudra bien sûr trouver la dérivée de chacune de ces fonctions par rapport à 𝑥. Or, on sait que la dérivée de sinus 𝑎𝑥 est 𝑎 cosinus 𝑎𝑥. Donc, la dérivée de sinus de cinq 𝑥 est cinq cosinus de cinq 𝑥. Ensuite, en dérivant cosinus 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥, on obtient moins 𝑎 sinus 𝑎𝑥. Et donc la dérivée de 𝑣 en 𝑥 est moins cinq sinus de cinq 𝑥. Maintenant, insérons tout cela dans la formule du quotient. À savoir, 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré.

On voit alors qu’on peut réécrire le numérateur comme cinq cosinus au carré de cinq 𝑥 plus cinq sinus au carré de cinq 𝑥. Ensuite factorisons les cinq du numérateur. C’est très utile car nous avons une formule trigonométrique que nous pouvons utiliser. Nous savons que cosinus 𝑥 au carré plus sinus 𝑥 au carré est égal à un. Et donc cosinus carré de cinq 𝑥 plus sinus carré de cinq 𝑥 est égal à un. On obtient donc cinq sur cosinus carré de cinq 𝑥. Mais utilisons une autre formule pour réécrire cela. Un sur cosinus 𝑥 égale sec 𝑥, donc un sur cosinus carré 𝑥 égale sec carré de 𝑥. Et donc cinq sur cosinus carré cinq 𝑥 peut s’écrire cinq sec carré cinq 𝑥. Voilà donc la dérivée de la tangente de cinq 𝑥.

Mais rappelez-vous, on voulait calculer cette dérivée en 𝑥 égale 𝜋. Donc, 𝑓 prime de 𝜋 égale cinq sec au carré de cinq 𝜋. Or, sec carré de cinq 𝜋 est égal à un. On obtient donc simplement cinq. Le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 égale tangente de cinq 𝑥 pour 𝑥 égale 𝜋 est donc égal à cinq.

Maintenant, nous pouvons généraliser ce résultat en dérivant tangente de cinq 𝑥. La dérivée en 𝑥 de tangente 𝑥 est sec au carré de 𝑥. Et la dérivée en 𝑥 de tangente 𝑎𝑥, où 𝑎 est une constante réelle, est 𝑎 sec au carré de 𝑎𝑥. Lorsque nous avons dérivé sinus 𝑥 et cosinus 𝑥, nous avons dit que ces résultats n’étaient valables que pour les radians. Et donc, puisque nous avons utilisé ces résultats pour dériver tangente de cinq 𝑥, nous savons que ce n’est valable que pour les radians. Comme pour les dérivées de sinus et de cosinus, il est important de connaître ce résultat par cœur, mais aussi de savoir le retrouver si nécessaire.

Passons maintenant à un exemple d’application de ces dérivées.

Si 𝑦 est égal à 𝑥 puissance cinq fois sinus de cinq 𝑥, calculez d𝑦 sur d𝑥.

Nous avons ici une fonction qui est le produit de deux fonctions dérivables. Nous allons donc la dériver en utilisant la formule de dérivée d’un produit. À savoir, si 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables, la dérivée de leur produit est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Commençons par définir 𝑢 et 𝑣. Comme la multiplication est commutative, peu importe dans quel ordre on les définit. Soit 𝑢 égale 𝑥 puissance cinq et 𝑣 égale sinus cinq 𝑥. Alors d𝑢 sur d𝑥, la dérivée en 𝑥 de 𝑥 puissance cinq est cinq 𝑥 puissance quatre.

Comme on sait dériver sinus 𝑎𝑥, on obtient 𝑎 cosinus 𝑎𝑥. La dérivée de sinus de cinq 𝑥 est cinq cosinus de cinq 𝑥. Nous utilisons donc cela dans la formule. Ce qui donne 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 égale 𝑥 puissance cinq fois cinq cosinus cinq 𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Ce qui fait sinus cinq 𝑥 fois cinq 𝑥 puissance quatre. Et donc on voit que d𝑦 sur d𝑥 égale cinq 𝑥 puissance cinq cosinus cinq 𝑥 plus cinq 𝑥 puissance quatre sinus cinq 𝑥.

Passons maintenant au dernier exemple qui demande quelques manipulations.

Si 𝑦 est égal à deux sinus de sept 𝑥 plus deux cosinus de sept 𝑥 au carré, trouvez d𝑦 sur d𝑥.

Il existe plusieurs façons de répondre à cette question. Nous pouvons, par exemple, remarquer que 𝑦 est une fonction composée et utiliser la formule de la chaîne. Nous pouvons également l’écrire comme le produit de deux fonctions et utiliser la formule du produit. Sinon, il est également possible de la simplifier à l’aide de quelques formules trigonométriques. Commençons simplement par factoriser par deux, en se rappelant évidemment de le mettre au carré. Ensuite, développons. sinus sept 𝑥 plus cosinus sept 𝑥 au carré est égal à sinus sept 𝑥 plus cosinus sept 𝑥 fois sinus sept 𝑥 plus cosinus sept 𝑥. Ce qui est égal à sinus au carré de sept 𝑥 plus deux sinus sept 𝑥 cosinus sept 𝑥 plus cosinus au carré de sept 𝑥. Deux au carré égale quatre.

Ensuite, utilisons la formule trigonométrique sinus carré 𝑥 plus cosinus carré 𝑥 est égal à un. Appliquons-la à sinus au carré de sept 𝑥 plus cosinus au carré de sept 𝑥. Ce qui donne un. Réécrivons donc l’expression entre parenthèses pour obtenir un plus deux sinus sept 𝑥 cosinus sept 𝑥. Voyez-vous une autre formule ici ? On peut utiliser la formule de l’angle double. sinus deux 𝑎 égale deux sinus 𝑎 cosinus 𝑎. Prenons 𝑎 égale sept 𝑥. On obtient deux sinus sept 𝑥 cosinus sept 𝑥 est égal au sinus de deux fois sept 𝑥, c’est-à-dire sinus 14𝑥.

On peut maintenant dériver cette fonction assez facilement. Nous utiliserons le fait que la dérivée en 𝑥 de sinus 𝑎𝑥 est 𝑎 cosinus 𝑎𝑥. Sortons également les constantes en dehors de la dérivée afin de nous concentrer sur la dérivation en 𝑥 de la fonction elle-même. Donc d𝑦 sur d𝑥 égale quatre fois la dérivée de un plus sinus 14𝑥. La dérivée en 𝑥 de un est nulle, et la dérivée de sinus 14𝑥 est 14 cosinus 14𝑥. Et enfin, multiplions quatre par 14 cosinus de 14𝑥 pour trouver 56 cosinus de 14𝑥. Si 𝑦 est la fonction, alors d𝑦 sur d𝑥 vaut 56 cosinus de 14𝑥.

Dans cette vidéo, nous avons appris à appliquer notre compréhension des dérivées aux fonctions trigonométriques. Nous avons vu que la dérivée en 𝑥 de sinus 𝑎𝑥 est 𝑎 cosinus 𝑎𝑥. Nous avons vu que la dérivée de cosinus 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sinus 𝑎𝑥. Et la dérivée de tangente 𝑎𝑥 est 𝑎 sec au carré de 𝑎𝑥. Vu comment elles ont été obtenues, on a vu que ces formules ne s’appliquent que pour des angles exprimés en radians. Nous avons également fait des observations sur les dérivées successives de sinus et de cosinus. Ces observations peuvent être utilisées lorsqu’on dérive ou intègre sinus ou cosinus plusieurs fois.