Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les dérivées des fonctions trigonométriques et à appliquer les règles de dérivation.
Les fonctions trigonométriques et leurs dérivées ont des applications concrètes dans divers domaines tels que la physique, l’ingénierie, l’architecture, la robotique, la musique, la navigation et bien d’autres encore. En physique, on peut les utiliser pour déterminer la trajectoire d’un projectile, modéliser le rayonnement électromagnétique, analyser les courants alternatifs et continus et calculer la trajectoire d’une masse soumise à la force gravitationnelle d’un corps massif.
Dans cette fiche explicative, nous nous intéresserons tout particulièrement aux dérivées des fonctions sinus, cosinus et tangente. Nous commencerons par déterminer les dérivées de ces trois fonctions trigonométriques ; nous déterminerons d’abord celle de à partir de la définition de la dérivée, puis nous utiliserons ce résultat pour déterminer les dérivées de et , à l’aide de la règle de dérivation en chaîne et de la règle de dérivation d’un quotient.
Rappelons tout d’abord la définition de la dérivée.
Définition : La dérivée
La dérivée d’une fonction est définie par aux points où la limite existe.
En remplaçant dans la définition de la dérivée, on obtient
Pour simplifier l’expression à l’intérieur de la limite, nous utiliserons quelques identités trigonométriques. Nous utiliserons en particulier, la formule d’addition pour le sinus,
On utilise donc cette formule pour réécrire le terme , puis on réécrit l’expression résultante en utilisant le fait que la limite d’une somme est la somme des limites et que la limite d’un produit est le produit des limites ; on obtient ainsi
Étant donné que ni ni ne dépendent de , leurs limites sont simplement et respectivement. Notre dérivée devient donc
Les deux autres limites ne sont pas aussi évidentes, mais ce sont des limites de référence :
- ;
- .
Il est également possible de déterminer la seconde limite à partir de la première en appliquant une identité trigonométrique. Pour faire apparaître cette identité, on commence par multiplier le numérateur et le dénominateur par , ce qui donne
En utilisant l’identité pythagoricienne sous la forme , on peut réécrire le numérateur en fonction du sinus, puis utiliser le fait que la limite d’un produit est le produit des limites avant d’évaluer les limites résultantes :
En remplaçant la valeur de ces deux limites dans , on obtient la dérivée de :
De la même manière que pour le sinus, il est possible de déterminer la dérivée de à partir de la définition de la dérivée ; cependant, une meilleure approche consiste à utiliser la relation entre le cosinus et le sinus de deux angles complémentaires, , et la règle de dérivation en chaîne avec .
Règle : La règle de dérivation en chaîne
Pour deux fonctions dérivables et , la dérivée de leur fonction composée est :
On peut écrire cette règle de manière plus succincte en utilisant la notation prime :
On peut réécrire la fonction sous la forme avec et l’on a alors les dérivées
Alors, en utilisant la règle de dérivation en chaîne, la dérivée de est
On peut réécrire ce résultat en utilisant l’autre relation entre le cosinus et le sinus de deux angles complémentaires, :
Penchons-nous à présent sur les dérivées d’ordre supérieur de et , qui forment un motif cyclique. Pour , les quatre premières dérivées sont
On peut voir que la dérivée quatrième donne à nouveau la fonction d’origine et que les dérivées d’ordre supérieur du sinus forment un motif cyclique d’ordre 4. La figure ci-dessous représente ce motif.
Ainsi, pour , les dérivées d’ordre supérieur du sinus sont :
De la même manière, pour , les quatre premières dérivées sont
On peut voir que la dérivée quatrième donne à nouveau la fonction d’origine et que les dérivées d’ordre supérieur du cosinus forment un motif cyclique d’ordre 4, de la même manière que pour le sinus. La figure ci-dessous représente ce motif.
Ainsi, pour , les dérivées d’ordre supérieur du cosinus sont :
Passons maintenant à un exemple dans lequel nous déterminons la dérivée d’un ordre particulier du sinus en utilisant le motif cyclique des dérivées d’ordre supérieur du sinus.
Exemple 1: Dérivées successives du sinus
Déterminez la dérivée trente-troisième de .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée trente-troisième de la fonction sinus.
Pour , les quatre premières dérivées sont
Ainsi, la dérivée quatrième donne à nouveau la fonction d’origine et ce cycle se répète pour les dérivées d’ordre supérieur avec une période de 4. Donc, la dérivée avec est donnée par
Étant donné que , on a . Par conséquent, la dérivée trente-troisième est équivalente à la dérivée première de et l’on a
On peut trouver la dérivée de à l’aide de la règle du quotient ; on peut en effet utiliser la définition de la tangente, , pour exprimer sous la forme
Pour déterminer la dérivée de , on peut utiliser la règle du quotient.
Règle : La règle du quotient
Pour deux fonctions dérivables et , la dérivée de leur quotient est donnée par
On peut écrire cette règle de manière plus succincte en utilisant la notation prime :
On pose et et on utilise les résultats précédemment établis pour dériver et et ainsi obtenir les expressions de et :
En remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du quotient, on obtient
On peut simplifier le numérateur en utilisant l’identité pythagoricienne. Par conséquent,
On peut établir une formule générale pour dériver les fonctions de la forme en utilisant la règle de dérivation en chaîne ; on peut réécrire la fonction sous la forme , avec , et en utilisant la dérivée de notre fonction devient
De la même manière, pour dériver , on peut réécrire la fonction sous la forme , où , et utiliser la règle de dérivation en chaîne pour obtenir la formule générale
On peut également trouver la dérivée de à l’aide de la règle de dérivation en chaîne en réécrivant la fonction sous la forme , où , ou bien en utilisant la règle du quotient avec les formules générales des dérivées des fonctions sinus et cosinus pour obtenir
Récapitulons les formules générales que nous avons établies pour les dérivées des fonctions trigonométriques.
Formules : Formules générales des dérivées des fonctions trigonométriques
Les formules générales des dérivées des fonctions sinus, cosinus et tangente sont : pour .
À l’aide de ces formules, on peut trouver les dérivées d’un grand nombre de fonctions comprenant des sommes de fonctions trigonométriques en utilisant la linéarité de la dérivée :
Pour dériver des fonctions comprenant des compositions, des produits ou des quotients de fonctions trigonométriques, on peut utiliser la règle de dérivation en chaîne, les règles du produit et du quotient, ou combiner ces règles.
Dans le prochain exemple, nous dériverons une fonction définie comme somme d’un polynôme et de fonctions trigonométriques en utilisant la linéarité de la dérivée.
Exemple 2: Dériver une somme de fonctions polynomiale et trigonométrique
Soit la fonction ; déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, on doit dériver une fonction consistant en une combinaison de fonctions polynomiale et trigonométriques.
La règle de dérivation d’une puissance et la formule générale de la dérivée du sinus sont
On applique ces règles pour déterminer la dérivée première de et on obtient
Dans le prochain exemple, nous utiliserons la règle de dérivation en chaîne pour déterminer la dérivée d’une fonction composée d’une fonction du second degré et d’une somme de fonctions sinus et cosinus.
Exemple 3: Dériver des fonctions trigonométriques
Soit la fonction , déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’une fonction composée en utilisant la règle de dérivation en chaîne et les formules générales des dérivées des fonctions sinus et cosinus.
On rappelle que la règle de dérivation en chaîne pour une fonction composée est donnée par pour deux fonctions dérivables et . La règle de dérivation d’une puissance et les formules pour dériver le sinus et le cosinus sont
La fonction donnée dans l’énoncé, est une fonction composée de la forme , avec . On peut dériver par rapport à en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et dériver par rapport à en utilisant les formules de dérivation du sinus et du cosinus :
Enfin, on remplace ces expressions dans la formule de la règle de dérivation en chaîne, avec , pour trouver la dérivée de par rapport à ,
On peut simplifier cette dérivée davantage en appliquant la formule de duplication pour le cosinus : avec ; On obtient alors
Notons que l’on serait arrivé au même résultat si l’on avait plutôt choisi de développer la fonction d’origine et d’y appliquer les identités trigonométriques avant de dériver l’expression obtenue.
Passons à présent à un exemple dans lequel nous utiliserons la règle de dérivation en chaîne pour déterminer la dérivée d’une fonction composée de la fonction carré et d’une fonction tangente.
Exemple 4: Déterminer la dérivée d’une fonction trigonométrique en utilisant la règle de dérivation en chaîne
Déterminez la dérivée de la fonction .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’une fonction composée en utilisant la règle de dérivation en chaîne et la formule générale pour dériver la fonction tangente.
On rappelle que la règle de dérivation en chaîne pour une fonction de la forme nous dit que avec et dérivables. La règle de dérivation d’une puissance et la formule pour dériver la fonction tangente sont
La fonction donnée dans l’énoncé, , est une fonction composée de la forme , avec . On peut dériver par rapport à en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et dériver par rapport à en utilisant la formule de dérivation de la fonction tangente :
Enfin, on remplace ces expressions dans la formule de la règle de dérivation en chaîne, avec , pour trouver la dérivée de par rapport à :
Il est également possible de dériver des fonctions comprenant des produits de fonctions trigonométriques en utilisant la règle du produit.
Règle : La règle du produit
Pour deux fonctions dérivables et , la dérivée de leur produit est donnée par
On peut écrire cette règle de manière plus succincte en utilisant la notation prime :
Dans le prochain exemple, nous trouverons la dérivée d’une fonction définie comme le produit d’une fonction puissance et d’une fonction sinus.
Exemple 5: Dériver des fonctions impliquant des rapports trigonométriques en utilisant la règle du produit
Soit la fonction ; déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’une fonction définie comme un produit de fonctions dont une est une fonction trigonométrique, en utilisant la règle du produit.
On rappelle que la règle du produit, pour dériver un produit de fonctions de la forme , nous dit que avec et dérivables. La règle de dérivation d’une puissance et la formule pour dériver le sinus sont
La fonction donnée dans l’énoncé, est un produit de deux fonctions de la forme , avec et . On peut dériver et par rapport à en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et la formule de dérivation du sinus :
Enfin, en remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du produit, on trouve la dérivée de par rapport à ,
On peut aussi déterminer la dérivée de fonctions trigonométriques en un point particulier, ce qui correspond à la pente de la droite tangente à la courbe en ce point.
Voyons un exemple dans lequel nous déterminerons la dérivée d’une fonction comprenant un produit de fonctions sinus et tangente en utilisant la règle du produit et nous évaluerons cette dérivée en un point donné.
Exemple 6: Dériver des fonctions trigonométriques en utilisant la règle du produit
Soit la fonction ; déterminez en .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’une fonction définie comme produit de fonctions trigonométriques en utilisant la règle du produit, puis calculer cette dérivée en un point donné.
On rappelle que la règle du produit, pour dériver un produit de fonctions, de la forme , est avec et dérivables. Les formules pour dériver les fonctions sinus et tangente sont
La fonction donnée dans l’énoncé, est un produit de deux fonctions de la forme , avec et . On commence par dériver et par rapport à en utilisant les formules de dérivation du sinus et de la tangente :
En remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du produit, on trouve la dérivée de par rapport à :
Enfin, en calculant la valeur de cette fonction en , on trouve la dérivée en ce point :
On peut aussi dériver des fonctions comprenant des quotients avec des fonctions trigonométriques au numérateur, au dénominateur, ou aux deux, par une méthode similaire à celle employée pour déterminer la dérivée de la fonction tangente : en utilisant la règle du quotient.
Passons à présent à un exemple dans lequel nous déterminons la dérivée d’un quotient ayant une fonction linéaire au numérateur et une fonction tangente au dénominateur.
Exemple 7: Déterminer la dérivée première d’un quotient de fonctions trigonométrique et linéaire en utilisant la règle du quotient
Dérivez .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’un quotient comprenant une fonction trigonométrique en utilisant la règle du quotient.
On rappelle que la règle du quotient, pour dériver un quotient de fonctions de la forme , est avec et des fonctions dérivables. La règle de dérivation d’une puissance et la formule pour dériver la fonction tangente sont
La fonction donnée dans l’énoncé, est un quotient de deux fonctions de la forme , avec et . On peut dériver et par rapport à en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et la formule de dérivation de la tangente :
Enfin, en remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du quotient, on trouve la dérivée de par rapport à :
Dans le prochain exemple, nous utiliserons la règle du quotient pour déterminer la dérivée d’une fonction constituée d’un quotient avec une fonction cosinus au numérateur et une fonction sinus au dénominateur, puis nous calculerons sa valeur en un point donné.
Exemple 8: Déterminer la dérivée en un point d’un quotient de fonctions trigonométriques en utilisant la règle du quotient
Soit la fonction ; déterminez en .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’un quotient comprenant des fonctions trigonométriques en utilisant la règle du quotient et calculer sa valeur en un point donné.
On rappelle que la règle du quotient, pour dériver un quotient de fonctions de la forme , nous dit que avec et deux fonctions dérivables. Les formules pour dériver le sinus et le cosinus sont
La fonction donnée dans l’énoncé, est un quotient de deux fonctions de la forme , avec et . On peut dériver et par rapport à en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et la formule de dérivation de la tangente :
En remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du quotient, on trouve la dérivée de par rapport à :
On peut simplifier l’expression en utilisant l’identité pythagoricienne, , ce qui nous donne
Enfin, en utilisant la valeur , on trouve qu’en ce point, la dérivée vaut
Dans le dernier exemple, nous déterminerons la dérivée d’une fonction définie comme un quotient dont le numérateur est le produit d’une fonction linéaire et d’une fonction sinus, et le dénominateur est une fonction affine. Nous utiliserons la règle du produit et la règle du quotient.
Exemple 9: Dériver une combinaison de fonctions affines et trigonométrique en utilisant la règle du quotient
Dérivez .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’un quotient comprenant au numérateur une fonction trigonométrique et un produit de fonctions, en utilisant pour cela les règles du produit et du quotient.
On rappelle que la règle du quotient, pour dériver un quotient de fonctions de la forme , nous dit que avec et deux fonctions dérivables. On rappelle également que la règle du produit, pour dériver un produit de fonctions de la forme , nous dit que avec et deux fonctions dérivables. La règle de dérivation d’une puissance et la formule pour dériver le sinus sont
La fonction donnée dans l’énoncé, est un quotient de deux fonctions de la forme , avec et . On commence par dériver et par rapport à .
On remarque que le numérateur est un produit de deux fonctions de la forme avec et ; par conséquent, on peut déterminer la dérivée de en appliquant la règle du produit , on trouve les dérivées de et en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et la formule de dérivation du sinus : donc la dérivée de par rapport à est
On peut trouver la dérivée de par rapport à en appliquant la règle de dérivation d’une puissance :
En remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du quotient, on trouve la dérivée de par rapport à :
Récapitulons pour finir quelques-uns des points clés abordés dans cette fiche explicative.
Points clés
- On peut déterminer les dérivées des fonctions trigonométriques à partir de la définition de la dérivée. Il suffit en fait de le faire pour la fonction sinus ; on peut ensuite déterminer les dérivées des fonctions cosinus et tangente en utilisant les identités trigonométriques, ainsi que la règle de dérivation en chaîne et la règle du quotient. On a alors :
- Les dérivées d’ordre supérieur du sinus et du cosinus se répètent selon un cycle d’ordre 4 ; dans les deux cas, la dérivée quatrième donne la fonction d’origine : Ainsi, les dérivées , avec , du sinus et du cosinus sont données par :
- Les formules générales des dérivées des fonctions sinus, cosinus et tangente, que l’on peut déterminer à l’aide de la règle de dérivation en chaîne, sont : avec .
- À l’aide de ces formules, on peut déterminer les dérivées d’un grand nombre de fonctions comprenant des fonctions trigonométriques en utilisant la linéarité de la dérivée, la règle de dérivation en chaîne, la règle du produit et la règle du quotient.
