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Fiche explicative de la leçon : Dérivation des fonctions trigonométriques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les dérivées des fonctions trigonométriques et à appliquer les règles de dérivation.

Les fonctions trigonométriques et leurs dérivées ont des applications concrètes dans divers domaines tels que la physique, l’ingénierie, l’architecture, la robotique, la musique, la navigation et bien d’autres encore. En physique, on peut les utiliser pour déterminer la trajectoire d’un projectile, modéliser le rayonnement électromagnétique, analyser les courants alternatifs et continus et calculer la trajectoire d’une masse soumise à la force gravitationnelle d’un corps massif.

Dans cette fiche explicative, nous nous intéresserons tout particulièrement aux dérivées des fonctions sinus, cosinus et tangente. Nous commencerons par déterminer les dérivées de ces trois fonctions trigonométriques;nous déterminerons d’abord celle de sin𝑥 à partir de la définition de la dérivée, puis nous utiliserons ce résultat pour déterminer les dérivées de cos𝑥 et tan𝑥, à l’aide de la règle de dérivation en chaîne et de la règle de dérivation d’un quotient.

Rappelons tout d’abord la définition de la dérivée.

Définition : La dérivée

La dérivée d’une fonction 𝑓(𝑥) est définie par 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥),lim aux points où la limite existe.

En remplaçant 𝑓(𝑥)=𝑥sin dans la définition de la dérivée, on obtient 𝑓(𝑥)=(𝑥+)𝑥.limsinsin

Pour simplifier l’expression à l’intérieur de la limite, nous utiliserons quelques identités trigonométriques. Nous utiliserons en particulier, la formule d’addition pour le sinus, sinsincoscossin(𝐴+𝐵)=𝐴𝐵+𝐴𝐵.

On utilise donc cette formule pour réécrire le terme sin(𝑥+), puis on réécrit l’expression résultante en utilisant le fait que la limite d’une somme est la somme des limites et que la limite d’un produit est le produit des limites;on obtient ainsi 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥𝑥=𝑥+𝑥(1)=𝑥×+𝑥×1=𝑥+𝑥1.limsincoscossinsinlimcossinsincoslimcossinsincoslimcoslimsinlimsinlimcos

Étant donné que ni sin𝑥 ni cos𝑥 ne dépendent de , leurs limites sont simplement sin𝑥 et cos𝑥 respectivement. Notre dérivée devient donc 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥1.coslimsinsinlimcos

Les deux autres limites ne sont pas aussi évidentes, mais ce sont des limites de référence:

  1. limsin=1;
  2. limcos1=0.

Il est également possible de déterminer la seconde limite à partir de la première en appliquant une identité trigonométrique. Pour faire apparaître cette identité, on commence par multiplier le numérateur et le dénominateur par cos+1, ce qui donne limcoslimcoscoscoslimcoscos1=1×+1+1=1(+1).

En utilisant l’identité pythagoricienne sous la forme cossin1=, on peut réécrire le numérateur en fonction du sinus, puis utiliser le fait que la limite d’un produit est le produit des limites avant d’évaluer les limites résultantes:limcoslimsincoslimsinsincoslimsinlimsincos1=(+1)=+1=+1=101+1=0.

En remplaçant la valeur de ces deux limites dans 𝑓(𝑥), on obtient la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥sin:𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥1=𝑥×1+𝑥×0=𝑥.coslimsinsinlimcoscossincos

De la même manière que pour le sinus, il est possible de déterminer la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥cos à partir de la définition de la dérivée;cependant, une meilleure approche consiste à utiliser la relation entre le cosinus et le sinus de deux angles complémentaires, cossin𝑥=𝜋2𝑥, et la règle de dérivation en chaîne avec 𝑓(𝑥)=𝜋2𝑥sin.

Règle : La règle de dérivation en chaîne

Pour deux fonctions dérivables 𝑢(𝑥) et 𝑣(𝑥), la dérivée de leur fonction composée 𝑢(𝑣(𝑥)) est:dddddd𝑥(𝑢(𝑣(𝑥)))=𝑢𝑣𝑣𝑥.

On peut écrire cette règle de manière plus succincte en utilisant la notation prime:(𝑢(𝑣))=𝑢(𝑣)𝑣.

On peut réécrire la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥cos sous la forme 𝑓=𝑢sin avec 𝑢=𝜋2𝑥 et l’on a alors les dérivées ddcosdd𝑓𝑢=𝑢,𝑢𝑥=1.

Alors, en utilisant la règle de dérivation en chaîne, la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥cos est 𝑓(𝑥)=𝑓𝑢𝑢𝑥=𝜋2𝑥.ddddcos

On peut réécrire ce résultat en utilisant l’autre relation entre le cosinus et le sinus de deux angles complémentaires, cossin𝜋2𝑥=𝑥:𝑓(𝑥)=𝑥.sin

Penchons-nous à présent sur les dérivées d’ordre supérieur de sin𝑥 et cos𝑥, qui forment un motif cyclique. Pour 𝑓(𝑥)=𝑥sin, les quatre premières dérivées sont ddcosddsinddcosddsin𝑓𝑥=𝑥,𝑓𝑥=𝑥,𝑓𝑥=𝑥,𝑓𝑥=𝑥.

On peut voir que la dérivée quatrième donne à nouveau la fonction d’origine et que les dérivées d’ordre supérieur du sinus forment un motif cyclique d’ordre 4. La figure ci-dessous représente ce motif.

Ainsi, pour 𝑘, les dérivées d’ordre supérieur du sinus sont:ddsinpourmodcospourmodsinpourmodcospourmod()()𝑓𝑥=𝑥,𝑘0(4),𝑥,𝑘1(4),𝑥,𝑘2(4),𝑥,𝑘3(4).

De la même manière, pour 𝑓(𝑥)=𝑥cos, les quatre premières dérivées sont ddsinddcosddsinddcos𝑓𝑥=𝑥,𝑓𝑥=𝑥,𝑓𝑥=𝑥,𝑓𝑥=𝑥.

On peut voir que la dérivée quatrième donne à nouveau la fonction d’origine et que les dérivées d’ordre supérieur du cosinus forment un motif cyclique d’ordre 4, de la même manière que pour le sinus. La figure ci-dessous représente ce motif.

Ainsi, pour 𝑘, les dérivées d’ordre supérieur du cosinus sont:ddcospourmodsinpourmodcospourmodsinpourmod()()𝑓𝑥=𝑥,𝑘0(4),𝑥,𝑘1(4),𝑥,𝑘2(4),𝑥,𝑘3(4).

Passons maintenant à un exemple dans lequel nous déterminons la dérivée d’un ordre particulier du sinus en utilisant le motif cyclique des dérivées d’ordre supérieur du sinus.

Exemple 1: Dérivées successives du sinus

Déterminez la dérivée trente-troisième de 𝑓(𝑥)=𝑥sin.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée trente-troisième de la fonction sinus.

Pour 𝑓(𝑥)=𝑥sin, les quatre premières dérivées sont ddcosddsinddcosddsin𝑓𝑥=𝑥,𝑓𝑥=𝑥,𝑓𝑥=𝑥,𝑓𝑥=𝑥.

Ainsi, la dérivée quatrième donne à nouveau la fonction d’origine et ce cycle se répète pour les dérivées d’ordre supérieur avec une période de 4. Donc, la dérivée 𝑘ième avec 𝑘 est donnée par ddsinpourmodcospourmodsinpourmodcospourmod()()𝑓𝑥=𝑥,𝑘0(4),𝑥,𝑘1(4),𝑥,𝑘2(4),𝑥,𝑘3(4).

Étant donné que 33=4×8+1, on a 331(4)mod. Par conséquent, la dérivée trente-troisième est équivalente à la dérivée première de 𝑓(𝑥)=𝑥sin et l’on a ddddcos()()𝑓𝑥=𝑓𝑥=𝑥.

On peut trouver la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥tan à l’aide de la règle du quotient;on peut en effet utiliser la définition de la tangente, tansincos𝑥=𝑥𝑥, pour exprimer 𝑓(𝑥) sous la forme 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥.sincos

Pour déterminer la dérivée de 𝑓, on peut utiliser la règle du quotient.

Règle : La règle du quotient

Pour deux fonctions dérivables 𝑢(𝑥) et 𝑣(𝑥), la dérivée de leur quotient 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) est donnée par dd𝑥𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)=𝑣(𝑥)𝑢(𝑥)(𝑣(𝑥)).dddd

On peut écrire cette règle de manière plus succincte en utilisant la notation prime:𝑢𝑣=𝑢𝑣𝑢𝑣𝑣.

On pose 𝑢=𝑥sin et 𝑣=𝑥cos et on utilise les résultats précédemment établis pour dériver 𝑢 et 𝑣 et ainsi obtenir les expressions de 𝑢 et 𝑣:𝑢=𝑥,𝑣=𝑥.cossin

En remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du quotient, on obtient 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥)(𝑥)𝑥(𝑥)=𝑥+𝑥𝑥.coscossinsincoscossincos

On peut simplifier le numérateur en utilisant l’identité pythagoricienne. Par conséquent, 𝑓(𝑥)=1𝑥=𝑥.cossec

On peut établir une formule générale pour dériver les fonctions de la forme 𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥)sin en utilisant la règle de dérivation en chaîne;on peut réécrire la fonction sous la forme 𝑓=𝑢sin, avec 𝑢=𝑎𝑥, et en utilisant ddcosdd𝑓𝑢=𝑢,𝑢𝑥=𝑎 la dérivée de notre fonction devient 𝑓(𝑥)=𝑓𝑢𝑢𝑥=𝑎(𝑎𝑥).ddddcos

De la même manière, pour dériver 𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥)cos, on peut réécrire la fonction sous la forme 𝑓=𝑢cos, 𝑢=𝑎𝑥, et utiliser la règle de dérivation en chaîne pour obtenir la formule générale 𝑓(𝑥)=𝑎(𝑎𝑥).sin

On peut également trouver la dérivée de 𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥)tan à l’aide de la règle de dérivation en chaîne en réécrivant la fonction sous la forme 𝑓=𝑢tan, 𝑢=𝑎𝑥, ou bien en utilisant la règle du quotient avec les formules générales des dérivées des fonctions sinus et cosinus pour obtenir 𝑓(𝑥)=𝑎(𝑎𝑥).sec

Récapitulons les formules générales que nous avons établies pour les dérivées des fonctions trigonométriques.

Formules : Formules générales des dérivées des fonctions trigonométriques

Les formules générales des dérivées des fonctions sinus, cosinus et tangente sont:ddsincosddcossinddtansec𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥),𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥),𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥), pour 𝑎.

À l’aide de ces formules, on peut trouver les dérivées d’un grand nombre de fonctions comprenant des sommes de fonctions trigonométriques en utilisant la linéarité de la dérivée:ddddddpour𝑥(𝑎𝑓+𝑏𝑔)=𝑎𝑓𝑥+𝑏𝑔𝑥,𝑎,𝑏.

Pour dériver des fonctions comprenant des compositions, des produits ou des quotients de fonctions trigonométriques, on peut utiliser la règle de dérivation en chaîne, les règles du produit et du quotient, ou combiner ces règles.

Dans le prochain exemple, nous dériverons une fonction définie comme somme d’un polynôme et de fonctions trigonométriques en utilisant la linéarité de la dérivée.

Exemple 2: Dériver une somme de fonctions polynomiale et trigonométrique

Soit la fonction 𝑦=2𝑥+6𝑥2+𝜋4sincos;déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, on doit dériver une fonction consistant en une combinaison de fonctions polynomiale et trigonométriques.

La règle de dérivation d’une puissance et la formule générale de la dérivée du sinus sont ddddsincos𝑥(𝑥)=𝑛𝑥,𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥).

On applique ces règles pour déterminer la dérivée première de 𝑦=2𝑥+6𝑥2+𝜋4sincos et on obtient ddddddsinddcoscoscos𝑦𝑥=2𝑥𝑥+6𝑥𝑥2+𝑥𝜋4=2×4𝑥+6×12𝑥2+0=8𝑥+3𝑥2.

Dans le prochain exemple, nous utiliserons la règle de dérivation en chaîne pour déterminer la dérivée d’une fonction composée d’une fonction du second degré et d’une somme de fonctions sinus et cosinus.

Exemple 3: Dériver des fonctions trigonométriques

Soit la fonction 𝑦=(27𝑥+27𝑥)sincos, déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’une fonction composée en utilisant la règle de dérivation en chaîne et les formules générales des dérivées des fonctions sinus et cosinus.

On rappelle que la règle de dérivation en chaîne pour une fonction composée 𝑦=𝑢(𝑣(𝑥)) est donnée par dddddd𝑦𝑥=𝑢𝑣𝑣𝑥, pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣. La règle de dérivation d’une puissance et les formules pour dériver le sinus et le cosinus sont ddddsincosddcossin𝑥(𝑥)=𝑛𝑥,𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑎𝑥,𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑎𝑥.

La fonction donnée dans l’énoncé, 𝑦=(27𝑥+27𝑥)sincos est une fonction composée de la forme 𝑢=𝑣, avec 𝑣=27𝑥+27𝑥sincos. On peut dériver 𝑢 par rapport à 𝑣 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et dériver 𝑣 par rapport à 𝑥 en utilisant les formules de dérivation du sinus et du cosinus:ddddcossin𝑢𝑣=2𝑣,𝑣𝑥=147𝑥147𝑥.

Enfin, on remplace ces expressions dans la formule de la règle de dérivation en chaîne, avec 𝑣=27𝑥+27𝑥sincos, pour trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, ddsincoscossinsincoscossincossincossin𝑦𝑥=(2(27𝑥+27𝑥))(147𝑥147𝑥)=14(27𝑥+27𝑥)(27𝑥27𝑥)=1447𝑥47𝑥=567𝑥7𝑥.

On peut simplifier cette dérivée davantage en appliquant la formule de duplication pour le cosinus:coscossin2𝐴=𝐴𝐴, avec 𝐴=7𝑥;On obtient alors ddcos𝑦𝑥=5614𝑥.

Notons que l’on serait arrivé au même résultat si l’on avait plutôt choisi de développer la fonction d’origine et d’y appliquer les identités trigonométriques avant de dériver l’expression obtenue.

Passons à présent à un exemple dans lequel nous utiliserons la règle de dérivation en chaîne pour déterminer la dérivée d’une fonction composée de la fonction carré et d’une fonction tangente.

Exemple 4: Déterminer la dérivée d’une fonction trigonométrique en utilisant la règle de dérivation en chaîne

Déterminez la dérivée de la fonction 𝐽(𝜃)=(𝑛𝜃)tan.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’une fonction composée en utilisant la règle de dérivation en chaîne et la formule générale pour dériver la fonction tangente.

On rappelle que la règle de dérivation en chaîne pour une fonction de la forme 𝐽=𝑢(𝑣(𝜃)) nous dit que dddddd𝐽𝜃=𝑢𝑣𝑣𝜃, avec 𝑢 et 𝑣 dérivables. La règle de dérivation d’une puissance et la formule pour dériver la fonction tangente sont ddddtansec𝑢(𝑢)=𝑟𝑢,𝜃((𝑎𝜃))=𝑎(𝑎𝜃).

La fonction donnée dans l’énoncé, 𝐽(𝜃)=(𝑛𝜃)tan, est une fonction composée de la forme 𝑢=𝑣, avec 𝑣=(𝑛𝜃)tan. On peut dériver 𝑢 par rapport à 𝑣 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et dériver 𝑣 par rapport à 𝑥 en utilisant la formule de dérivation de la fonction tangente:ddddsec𝑢𝑣=2𝑣,𝑣𝜃=𝑛(𝑛𝜃).

Enfin, on remplace ces expressions dans la formule de la règle de dérivation en chaîne, avec 𝑣=𝑛𝜃tan, pour trouver la dérivée de 𝐽 par rapport à 𝜃:ddtansecsectan𝐽𝜃=(2(𝑛𝜃))𝑛(𝑛𝜃)=2𝑛(𝑛𝜃)(𝑛𝜃).

Il est également possible de dériver des fonctions comprenant des produits de fonctions trigonométriques en utilisant la règle du produit.

Règle : La règle du produit

Pour deux fonctions dérivables 𝑢(𝑥) et 𝑣(𝑥), la dérivée de leur produit 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) est donnée par dddddd𝑥(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))=𝑢𝑥𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣𝑥.

On peut écrire cette règle de manière plus succincte en utilisant la notation prime:(𝑢𝑣)=𝑢𝑣+𝑢𝑣.

Dans le prochain exemple, nous trouverons la dérivée d’une fonction définie comme le produit d’une fonction puissance et d’une fonction sinus.

Exemple 5: Dériver des fonctions impliquant des rapports trigonométriques en utilisant la règle du produit

Soit la fonction 𝑦=𝑥(5𝑥)sin;déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’une fonction définie comme un produit de fonctions dont une est une fonction trigonométrique, en utilisant la règle du produit.

On rappelle que la règle du produit, pour dériver un produit de fonctions de la forme 𝑦=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥), nous dit que dddddd𝑦𝑥=𝑢𝑥𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣𝑥, avec 𝑢 et 𝑣 dérivables. La règle de dérivation d’une puissance et la formule pour dériver le sinus sont ddddsincos𝑥(𝑥)=𝑛𝑥,𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥).

La fonction donnée dans l’énoncé, 𝑦=𝑥(5𝑥)sin est un produit de deux fonctions de la forme 𝑦=𝑢𝑣, avec 𝑢=𝑥 et 𝑣=(5𝑥)sin. On peut dériver 𝑢 et 𝑣 par rapport à 𝑥 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et la formule de dérivation du sinus:ddddcos𝑢𝑥=5𝑥,𝑣𝑥=5(5𝑥).

Enfin, en remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du produit, on trouve la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, ddsincoscossin𝑦𝑥=5𝑥((5𝑥))+𝑥(5(5𝑥))=5𝑥(5𝑥)+5𝑥(5𝑥).

On peut aussi déterminer la dérivée de fonctions trigonométriques en un point particulier, ce qui correspond à la pente de la droite tangente à la courbe en ce point.

Voyons un exemple dans lequel nous déterminerons la dérivée d’une fonction comprenant un produit de fonctions sinus et tangente en utilisant la règle du produit et nous évaluerons cette dérivée en un point donné.

Exemple 6: Dériver des fonctions trigonométriques en utilisant la règle du produit

Soit la fonction 𝑦=(4𝑥)(4𝑥)sintan;déterminez dd𝑦𝑥 en 𝑥=𝜋6.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’une fonction définie comme produit de fonctions trigonométriques en utilisant la règle du produit, puis calculer cette dérivée en un point donné.

On rappelle que la règle du produit, pour dériver un produit de fonctions, de la forme 𝑦=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥), est dddddd𝑦𝑥=𝑢𝑥𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣𝑥, avec 𝑢 et 𝑣 dérivables. Les formules pour dériver les fonctions sinus et tangente sont ddsincosddtansec𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥),𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥).

La fonction donnée dans l’énoncé, 𝑦=(4𝑥)(4𝑥)sintan est un produit de deux fonctions de la forme 𝑦=𝑢𝑣, avec 𝑢=(4𝑥)sin et 𝑣=(4𝑥)tan. On commence par dériver 𝑢 et 𝑣 par rapport à 𝑥 en utilisant les formules de dérivation du sinus et de la tangente:ddcosddsec𝑢𝑥=4(4𝑥),𝑣𝑥=4(4𝑥).

En remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du produit, on trouve la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥:ddcostansinseccossincossincossinsincoscossintansec𝑦𝑥=(4(4𝑥))((4𝑥))+((4𝑥))4(4𝑥)=4(4𝑥)×(4𝑥)(4𝑥)+(4𝑥)×4(4𝑥)=4(4𝑥)+(4𝑥)(4𝑥)×4(4𝑥)=4(4𝑥)+4(4𝑥)(4𝑥).

Enfin, en calculant la valeur de cette fonction en 𝑥=𝜋6, on trouve la dérivée en ce point:ddsintansecsintansec𝑦𝑥|||=44𝜋6+44𝜋64𝜋6=42𝜋3+42𝜋32𝜋3=4×32+4×3×(2)=23+83=103.

On peut aussi dériver des fonctions comprenant des quotients avec des fonctions trigonométriques au numérateur, au dénominateur, ou aux deux, par une méthode similaire à celle employée pour déterminer la dérivée de la fonction tangente:en utilisant la règle du quotient.

Passons à présent à un exemple dans lequel nous déterminons la dérivée d’un quotient ayant une fonction linéaire au numérateur et une fonction tangente au dénominateur.

Exemple 7: Déterminer la dérivée première d’un quotient de fonctions trigonométrique et linéaire en utilisant la règle du quotient

Dérivez 𝑦=4𝑥5𝑥tan.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’un quotient comprenant une fonction trigonométrique en utilisant la règle du quotient.

On rappelle que la règle du quotient, pour dériver un quotient de fonctions de la forme 𝑦=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥), est dd𝑦𝑥=𝑣(𝑥)𝑢(𝑥)(𝑣(𝑥)),dddd avec 𝑢 et 𝑣 des fonctions dérivables. La règle de dérivation d’une puissance et la formule pour dériver la fonction tangente sont ddddtansec𝑥(𝑥)=𝑛𝑥,𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥).

La fonction donnée dans l’énoncé, 𝑦=4𝑥5𝑥tan est un quotient de deux fonctions de la forme 𝑦=𝑢𝑣, avec 𝑢=4𝑥 et 𝑣=5𝑥tan. On peut dériver 𝑢 et 𝑣 par rapport à 𝑥 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et la formule de dérivation de la tangente:ddddsec𝑢𝑥=4,𝑣𝑥=𝑥.

Enfin, en remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du quotient, on trouve la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥:ddtansectantansectan𝑦𝑥=(4)(5𝑥)(4𝑥)𝑥(5𝑥)=204𝑥+4𝑥𝑥(5𝑥).

Dans le prochain exemple, nous utiliserons la règle du quotient pour déterminer la dérivée d’une fonction constituée d’un quotient avec une fonction cosinus au numérateur et une fonction sinus au dénominateur, puis nous calculerons sa valeur en un point donné.

Exemple 8: Déterminer la dérivée en un point d’un quotient de fonctions trigonométriques en utilisant la règle du quotient

Soit la fonction 𝑦=6𝑥16𝑥cossin;déterminez dd𝑦𝑥 en 𝑥=𝜋4.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’un quotient comprenant des fonctions trigonométriques en utilisant la règle du quotient et calculer sa valeur en un point donné.

On rappelle que la règle du quotient, pour dériver un quotient de fonctions de la forme 𝑦=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥), nous dit que dd𝑦𝑥=𝑣(𝑥)𝑢(𝑥)(𝑣(𝑥)),dddd avec 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables. Les formules pour dériver le sinus et le cosinus sont ddsincosddcossin𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑎𝑥,𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑎𝑥.

La fonction donnée dans l’énoncé, 𝑦=6𝑥16𝑥cossin est un quotient de deux fonctions de la forme 𝑦=𝑢𝑣, avec 𝑢=6𝑥cos et 𝑣=16𝑥sin. On peut dériver 𝑢 et 𝑣 par rapport à 𝑥 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et la formule de dérivation de la tangente:ddsinddcos𝑢𝑥=6(6𝑥),𝑣𝑥=6(6𝑥).

En remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du quotient, on trouve la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥:ddsinsincoscossinsinsincossin𝑦𝑥=(6(6𝑥))(16𝑥)(6𝑥)(6(6𝑥))(16𝑥)=6(6𝑥)+6(6𝑥)+6(6𝑥)(16𝑥).

On peut simplifier l’expression en utilisant l’identité pythagoricienne, sincos𝑧+𝑧=1, ce qui nous donne ddsinsinsinsinsin𝑦𝑥=6(6𝑥)+6(16𝑥)=6(1(6𝑥))(16𝑥)=616𝑥.

Enfin, en utilisant la valeur 𝑥=𝜋4, on trouve qu’en ce point, la dérivée vaut ddsinsin𝑦𝑥|||=61=61=61(1)=62=3.

Dans le dernier exemple, nous déterminerons la dérivée d’une fonction définie comme un quotient dont le numérateur est le produit d’une fonction linéaire et d’une fonction sinus, et le dénominateur est une fonction affine. Nous utiliserons la règle du produit et la règle du quotient.

Exemple 9: Dériver une combinaison de fonctions affines et trigonométrique en utilisant la règle du quotient

Dérivez 𝑦=𝑡𝑡2+5𝑡sin.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée d’un quotient comprenant au numérateur une fonction trigonométrique et un produit de fonctions, en utilisant pour cela les règles du produit et du quotient.

On rappelle que la règle du quotient, pour dériver un quotient de fonctions de la forme 𝑦=𝑢(𝑡)𝑣(𝑡), nous dit que 𝑦(𝑡)=𝑢(𝑡)𝑣(𝑡)𝑢(𝑡)𝑣(𝑡)(𝑣(𝑡)), avec 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables. On rappelle également que la règle du produit, pour dériver un produit de fonctions de la forme 𝑢(𝑡)=𝑓(𝑡)𝑔(𝑡), nous dit que 𝑢(𝑡)=𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)+𝑓(𝑡)𝑔(𝑡), avec 𝑓 et 𝑔 deux fonctions dérivables. La règle de dérivation d’une puissance et la formule pour dériver le sinus sont ddddsincos𝑡(𝑡)=𝑛𝑡,𝑡((𝑎𝑡))=𝑎(𝑎𝑡).

La fonction donnée dans l’énoncé, 𝑦=𝑡𝑡2+5𝑡sin est un quotient de deux fonctions de la forme 𝑦=𝑢𝑣, avec 𝑢(𝑡)=𝑡𝑡sin et 𝑣(𝑡)=2+5𝑡. On commence par dériver 𝑢 et 𝑣 par rapport à 𝑡.

On remarque que le numérateur 𝑢 est un produit de deux fonctions de la forme 𝑢=𝑓𝑔 avec 𝑓(𝑡)=𝑡 et 𝑔(𝑡)=𝑡sin;par conséquent, on peut déterminer la dérivée de 𝑢 en appliquant la règle du produit , on trouve les dérivées de 𝑓 et 𝑔 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance et la formule de dérivation du sinus:𝑓(𝑡)=1,𝑔(𝑡)=𝑡,cos donc la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑡 est 𝑢(𝑡)=(1)(𝑡)+(𝑡)(𝑡)=𝑡+𝑡𝑡.sincossincos

On peut trouver la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡 en appliquant la règle de dérivation d’une puissance:𝑣(𝑡)=5.

En remplaçant ces expressions dans la formule de la règle du quotient, on trouve la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡:𝑦(𝑡)=(𝑡+𝑡𝑡)(2+5𝑡)(𝑡𝑡)(5)(2+5𝑡)=2𝑡+5𝑡𝑡+2𝑡𝑡+5𝑡𝑡5𝑡𝑡(2+5𝑡)=5𝑡𝑡+2𝑡𝑡+2𝑡(2+5𝑡)=5𝑡+2𝑡𝑡+2𝑡(2+5𝑡).sincossinsinsincoscossincoscossincossin

Récapitulons pour finir quelques-uns des points clés abordés dans cette fiche explicative.

Points clés

  • On peut déterminer les dérivées des fonctions trigonométriques à partir de la définition de la dérivée. Il suffit en fait de le faire pour la fonction sinus;on peut ensuite déterminer les dérivées des fonctions cosinus et tangente en utilisant les identités trigonométriques, ainsi que la règle de dérivation en chaîne et la règle du quotient. On a alors:ddsincosddcossinddtansec𝑥(𝑥)=𝑥,𝑥(𝑥)=𝑥,𝑥(𝑥)=𝑥.
  • Les dérivées d’ordre supérieur du sinus et du cosinus se répètent selon un cycle d’ordre 4;dans les deux cas, la dérivée quatrième donne la fonction d’origine:dd𝑓𝑥=𝑓(𝑥). Ainsi, les dérivées 𝑘ième, avec 𝑘, du sinus et du cosinus sont données par:ddsinsinpourmodcospourmodsinpourmodcospourmodddcoscospourmodsinpourmodcospourmodsinpourmod()()()()𝑥(𝑥)=𝑥,𝑘0(4),𝑥,𝑘1(4),𝑥,𝑘2(4),𝑥,𝑘3(4),𝑥(𝑥)=𝑥,𝑘0(4),𝑥,𝑘1(4),𝑥,𝑘2(4),𝑥,𝑘3(4).
  • Les formules générales des dérivées des fonctions sinus, cosinus et tangente, que l’on peut déterminer à l’aide de la règle de dérivation en chaîne, sont:ddsincosddcossinddtansec𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥),𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥),𝑥((𝑎𝑥))=𝑎(𝑎𝑥), avec 𝑎.
  • À l’aide de ces formules, on peut déterminer les dérivées d’un grand nombre de fonctions comprenant des fonctions trigonométriques en utilisant la linéarité de la dérivée, la règle de dérivation en chaîne, la règle du produit et la règle du quotient.

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