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Simplifiez tangente moins 𝜃 fois cosécante 𝜃.
Nous utilisons le fait que tangante est une fonction impaire pour écrire tangente moins 𝜃 comme moins tangente 𝜃. Nous écrivons maintenant tout en fonction de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃. Tangente 𝜃 vaut sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 et cosécante 𝜃 vaut un sur sinus 𝜃. Ainsi, l’expression que nous devons simplifier devient moins sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 fois un sur sinus 𝜃. Nous pouvons voir que le sinus 𝜃 au numérateur est annulé avec le sinus 𝜃 au dénominateur et il nous reste juste moins un sur cosinus 𝜃. Nous savons que sécante 𝜃 vaut un sur cosinus 𝜃, nous pouvons donc simplifier davantage pour obtenir notre réponse finale, moins sécante 𝜃.
Pour récapituler, nous utilisons le fait que tangente est une fonction impaire. Nous pouvons voir que tangente est une fonction impaire en considérant son graphique, qui a une symétrie de rotation de 180 degrés par rapport à l’origine. Alternativement, nous pouvons le prouver en utilisant cette identité ici et le fait que sinus est une fonction impaire et que cosinus est une fonction paire.
En utilisant cette identité, nous voyons que tangente moins 𝜃 est égal à sinus moins 𝜃 sur cosinus moins 𝜃. Le sinus est une fonction impaire, donc sinus moins 𝜃 est égal à moins sinus 𝜃. Le cosinus est une fonction paire, donc cosinus moins 𝜃 est égal à cosinus 𝜃. Puisque sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 vaut tangente 𝜃, alors moins sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 vaut moins tangente 𝜃 et donc tangente moins 𝜃 est égal à moins tangente 𝜃.
Nous avons utilisé ceci pour notre première étape. Après cette première étape, nous avons réécrit tangente 𝜃 et cosécante 𝜃 en fonction de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃. Après une petite simplification, nous utilisons une autre identité connexe qui stipule que sécante 𝜃 est égal à un sur cosinus 𝜃. En fait, la seule identité de ce type dont nous n’avions pas besoin était cotangente 𝜃 égale cosinus 𝜃 sur sinus 𝜃.
