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Fiche explicative de la leçon : Simplifier une expression trigonométrique Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment simplifier une expression trigonométrique.

On peut souvent simplifier ces expressions en appliquant une ou plusieurs relations trigonométriques, qui lient les différentes fonctions trigonométriques et inverses de fonctions trigonométriques ainsi que leurs arguments. Bien que ces relations soient mathématiques par nature, elles ont des applications dans le monde réel.

Les relations trigonométriques ont plusieurs applications concrètes dans divers domaines, tels que la physique, l’ingénierie, l’architecture, la robotique, la théorie musicale et la navigation, pour n’en nommer que quelques-unes. En physique, on peut les utiliser dans le cadre du calcul de la trajectoire d’un projectile, pour modéliser des ondes électromagnétiques, pour analyser les courants alternatifs et continus, et pour déterminer l’orbite d’un corps autour d’un autre, sous l’action de la gravitation.

Commençons par faire quelques rappels sur les fonctions trigonométriques au cœur des relations que nous allons étudier dans cette fiche explicative. On considère le triangle suivant.

On peut exprimer chacune de ces fonctions trigonométriques par un rapport entre les longueurs de deux côtés du triangle sinOHcosAHtanOA𝜃=,𝜃=,𝜃=.

Ces fonctions vérifient l’identité trigonométrique suivante:tansincos𝜃=𝜃𝜃.

Remarquons que ces rapports trigonométriques ne sont définis que pour des angles aigus 0<𝜃<90, et que pour définir les fonctions trigonométriques pour tout 𝜃, on utilise le cercle unité.

Supposons qu’un point se déplace le long du cercle unité dans le sens trigonométrique (c’est-à-dire inverse des aiguilles d’une montre). En un point du cercle (𝑥;𝑦) formant un angle 𝜃, la fonction sinus est définie comme 𝑦=𝜃sin et la fonction cosinus comme 𝑥=𝜃cos, comme illustré sur la figure ci-dessus. En d’autres termes, les fonctions trigonométriques sont définies en utilisant les coordonnées du point d’intersection du cercle unité avec le rayon d’angle 𝜃.

Les fonctions trigonométriques inverses sont définies en fonction des équations trigonométriques comme suit.

Définition : Fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions cosécante, sécante et cotangente sont définies comme suit:cscsinseccoscottancossin𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃=𝜃𝜃.

Les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui signifie que si l’on ajoute un multiple entier de 2𝜋, en radians , ou 360 à l’angle 𝜃, la valeur de la fonction reste inchangée:sinsincoscostantan(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃.

Nous pouvons constater que cette propriété est vraie directement à partir de la définition des fonctions trigonométriques sur le cercle unité. Par ailleurs, la fonction tangente est de période 𝜋radians, ou de 180 puisque que nous avons tantan(180+𝜃)=𝜃.

De même, dans le cas des fonctions trigonométriques inverses, on a csccscsecseccotcot(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃,(360+𝜃)=𝜃.

De façon analogue à la fonction tangente, la fonction cotangente est périodique de période 𝜋radians, ou 180 puisque nous avons cotcot(180+𝜃)=𝜃.

Dans la totalité de cette fiche explicative, les relations présentées sont valables pour tout angle 𝜃 dans l’ensemble de définition des fonctions, qu’il soit exprimé en degrés ou en radians. En particulier, la conversion entre degrés et radians se fait de la façon suivante:on peut convertir tout angle 𝜃degré en radians avec la formule 𝜃=𝜋180𝜃.radiansdegré

Lors de l’étude d’expressions trigonométriques, il est utile de réécrire les fonctions trigonométriques inverses en termes de sinus et de cosinus afin de simplifier.

Voyons un exemple dans lequel nous devons utiliser la définition des fonctions trigonométriques inverses pour calculer la valeur d’une expression trigonométrique.

Exemple 1: Évaluation d’expressions trigonométriques avec des fonctions trigonométriques inverses

Évaluez l’expression 8𝜃×5𝜃sincsc.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons évaluer une expression comportant des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.

Une façon de procéder consiste en réécrire cette expression à l’aide des fonctions sinus et cosinus, grâce à la définition de la fonction cosécante qui est un des facteurs de cette expression:cscsin𝜃=1𝜃.

Par conséquent, on peut simplifier l’expression et obtenir 8𝜃×5𝜃=8𝜃×5=8𝜃×5𝜃=40×𝜃𝜃=40.sincscsinsinsinsinsinsin

Maintenant, considérons un exemple où nous devons simplifier une expression trigonométrique particulière.

Exemple 2: Simplification d’expressions trigonométriques à l’aide de relations trigonométriques

Simplifiez l’expression coscscsin𝜃𝜃𝜃.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression particulière impliquant des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.

Une façon de simplifier une expression trigonométrique consiste à l’écrire en fonction des fonctions sinus et cosinus en utilisant la définition suivante de la fonction cosécante, qui apparaît dans l’expression donnée:cscsin𝜃=1𝜃.

L’expression trigonométrique donnée devient alors coscscsincossinsincos𝜃𝜃𝜃=𝜃×1𝜃×𝜃=𝜃.

Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression trigonométrique en l’exprimant en termes de fonctions sinus et cosinus

Exemple 3: Simplification d’expressions trigonométriques à l’aide de relations trigonométriques

Simplifiez l’expression tansinsec𝜃𝜃𝜃.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression particulière impliquant des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.

Une façon de simplifier une expression trigonométrique consiste à l’écrire en fonction des fonctions sinus et cosinus en utilisant les définitions suivantes des fonctions tangente et sécante, qui apparaissent dans l’expression donnée:tansincosseccos𝜃=𝜃𝜃𝜃=1𝜃.

L’expression trigonométrique donnée devient alors tansinsectansincossincossincossincoscossin𝜃𝜃𝜃=𝜃𝜃÷1𝜃=𝜃𝜃×𝜃𝜃=𝜃×𝜃𝜃=𝜃.

L’exemple suivant implique un produit de fonctions trigonométriques et de fonctions trigonométriques inverses que nous pouvons réécrire à l’aide simplement des définitions des fonctions inverses et en exprimant notre réponse en fonction d’une autre fonction trigonométrique réciproque.

Exemple 4: Simplification d’expressions trigonométriques en utilisant des relations des fonctions trigonométriques inverses

Simplifiez l’expression cosseccsc𝜃𝜃𝜃.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression particulière impliquant des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.

Une façon de simplifier une expression trigonométrique consiste à l’écrire en fonction des fonctions sinus et cosinus en utilisant les définitions des fonctions cosécantes et sécantes, qui apparaissent dans l’expression donnée:cscsinseccos𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃.

Par conséquent, l’expression peut être simplifiée comme suit cosseccsccoscossincossin𝜃𝜃𝜃=𝜃×1𝜃×1𝜃=𝜃𝜃.

On utilise maintenant la définition de la fonction cotangente, cotcossin𝜃=𝜃𝜃.

L’expression donnée peut être exprimée en fonction de la fonction cotangente comme suit:cosseccsccossincot𝜃𝜃𝜃=𝜃𝜃=𝜃.

Les fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses sont des fonctions paires et impaires car elles vérifient, d’une part, 𝑓(𝜃)=𝑓(𝜃) pour des fonctions paires, et, d’autre part, 𝑓(𝜃)=𝑓(𝜃) pour les fonctions impaires. En particulier, la fonction sinus est impaire, tandis que la fonction cosinus est paire, car elles vérifient sinsincoscos(𝜃)=𝜃,(𝜃)=𝜃, pour toute valeur de 𝜃 exprimée en degrés ou en radians. À partir de ce résultat, on peut déterminer la parité d’autres fonctions trigonométriques qui sont définies en fonctions de sinus et de cosinus. En particulier, la fonction tangente satisfait tansincossincostan(𝜃)=(𝜃)(𝜃)=𝜃𝜃=𝜃.

Ainsi, la fonction tangente est impaire, et nous pouvons déterminer la parité des autres fonctions trigonométriques de la même manière. Nous pouvons résumer les parités comme suit.

Relations de parité pour les fonctions trigonométriques

Les fonctions cosinus et sécante sont paires, ce qui signifie que, pour tout angle 𝜃 dans leurs ensembles de définition respectifs, elles vérifient coscossecsec(𝜃)=𝜃,(𝜃)=𝜃.

Les fonctions sinus, tangente, cosécante et cotangente sont, quant à elles, impaires, de sorte que pour tout angle 𝜃 dans leurs ensembles de définition respectifs, on a:sinsintantancsccsccotcot(𝜃)=𝜃,(𝜃)=𝜃,(𝜃)=𝜃,(𝜃)=𝜃.

Maintenant, considérons un exemple où nous devons utiliser la propriété de parité des fonctions trigonométriques afin de simplifier une expression trigonométrique.

Exemple 5: Simplification d’expressions trigonométriques grâce aux relations de parité

Simplifiez l’expression tancsc(𝜃)𝜃.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression particulière impliquant des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverse en utilisant une relation de parité.

Une façon de simplifier une expression trigonométrique consiste à l’écrire en fonction des fonctions sinus et cosinus en utilisant la définition la fonction cosécante, qui apparaît dans l’expression donnée:cscsin𝜃=1𝜃.

La fonction tangente est impaire, d’où l’égalité tantan(𝜃)=𝜃.

On peut réécrire la fonction tangente en utilisant sa définition en fonction des fonctions sinus et cosinus:tansincos𝜃=𝜃𝜃.

Par conséquent, l’expression peut être simplifiée comme suit tancsctancscsincossincos(𝜃)𝜃=𝜃𝜃=𝜃𝜃×1𝜃=1𝜃.

Enfin, nous pouvons réécrire cette expression en fonction de la fonction sécante définie par seccos𝜃=1𝜃.

Ainsi, l’expression devient tancscsec(𝜃)𝜃=𝜃.

La fonction sinus est égale à la fonction cosinus par une translation de 90 à gauche, ce que l’on peut voir en comparant les courbes représentatives de ces fonctions.

En particulier, nous avons les identités de translation suivantes pour les angles 𝜃 et 90+𝜃:sincoscossin(90+𝜃)=𝜃,(90+𝜃)=𝜃.

Nous illustrons également ces identités sur le cercle unité ci-dessous.

De même, en remplaçant 𝜃 par 𝜃, on obtient les relations de cofonction suivantes pour les angles complémentaires 𝜃 et 90𝜃:sincoscossin(90𝜃)=𝜃,(90𝜃)=𝜃.

Ceci peut être exprimé comme suit.

Sur cette figure, on voit un triangle rectangle avec angle au centre 𝐴𝑂𝐵 dont le rayon coupe le cercle au point 𝐵(𝑥;𝑦) et avec une mesure d’angle aigu 0<𝜃<90.

Nous pouvons utiliser ces relations afin de déduire des relations sur d’autres fonctions trigonométriques définies en termes de cosinus et de sinus.

Définition : Relations trigonométriques pour les angles corrélés

Les fonctions trigonométriques vérifient les relations de cofonction pour tout angle 𝜃 dans leurs ensembles de définitions respectifs. En particulier, nous avons sincoscossintancotcottancscsecseccsc(90±𝜃)=𝜃,(90±𝜃)=𝜃,(90±𝜃)=𝜃,(90±𝜃)=𝜃,(90±𝜃)=𝜃,(90±𝜃)=𝜃.

Par exemple, pour la fonction tangente, on a tansincoscossincossincot(90±𝜃)=(90±𝜃)(90±𝜃)=𝜃𝜃=𝜃𝜃=𝜃.

Ces relations sont toujours vraies dans le cas d’angles en radians, notamment en remplaçant 90 par 𝜋2radians.

Maintenant, traitons un exemple où nous devons utiliser ces relations en conjonction avec la parité afin de simplifier une expression.

Exemple 6: Simplification d’expressions trigonométriques en utilisant les relations d’angles corrélées et la parité

Simplifiez l’expression sinsec𝜋2+𝜃(𝜃).

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression particulière impliquant des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.

Nous allons appliquer la relation des angles corrélés sincos𝜋2+𝜃=𝜃 et le fait que la fonction sécante est paire secsec(𝜃)=𝜃.

Une façon de simplifier une expression trigonométrique consiste à l’écrire en fonction des fonctions sinus et cosinus en utilisant la définition de la fonction sécante:seccos𝜃=1𝜃.

Ainsi, l’expression étudiée devient sinseccosseccoscos𝜋2+𝜃(𝜃)=𝜃𝜃=𝜃×1𝜃=1.

Maintenant, supposons que nous voulions déterminer sin(180𝜃). Cela peut être accomplie en utilisant les relations précédentes à plusieurs reprises. Soit 𝜃=90𝑥, alors sinsinsincos(180𝜃)=(180[90𝑥])=(90+𝑥)=𝑥.

Maintenant, en substituant 𝑥=90𝜃, on obtient sincossin(180𝜃)=(90𝜃)=𝜃.

De façon analogue, on trouve coscos(180𝜃)=𝜃.

En appliquant de manière répétée ces identités ou en utilisant le cercle unité, nous pouvons également démontrer les relations suivantes sur les angles 𝜃 et 𝜃±180:sinsincoscos(180±𝜃)=𝜃,(180±𝜃)=𝜃.

Le cas des angles 𝜃 et 180𝜃 est illustré comme suit.

Le cas des angles 𝜃 et 180+𝜃 est illustré comme suit.

À partir de ces relations sur cosinus et sinus, et en utilisant les définitions des autres fonctions trigonométriques, on peut démontrer les relations suivantes:tantancotcotcsccscsecsec(180±𝜃)=±𝜃,(180±𝜃)=±𝜃,(180±𝜃)=𝜃,(180±𝜃)=𝜃.

Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression en utilisant les définitions de fonctions trigonométriques inverse en conjonction avec les relations de cofonctions en radians.

Exemple 7: Simplification d’expressions trigonométriques à l’aide de relations de confonctions et de périodicité

Simplifiez l’expression seccot𝜃(𝜋𝜃).

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression particulière impliquant des fonctions trigonométriques inverses.

Nous allons utiliser les relations de cofonction et des angles corrélés:seccsccotcot𝜋2𝜃=𝜃,(𝜋𝜃)=𝜃.

Une façon de simplifier une expression trigonométrique consiste à l’écrire en fonction des fonctions sinus et cosinus en utilisant les définitions des fonctions cosécantes et cotangentes, qui apparaissent respectivement au numérateur et au dénominateur:cscsincotcossin𝜃=1𝜃,𝜃=𝜃𝜃.

Le numérateur de l’expression peut être simplifié comme suit:seccscsin𝜋2𝜃=𝜃=1𝜃.

Et le dénominateur comme cotcotcossin(𝜋𝜃)=𝜃=𝜃𝜃.

Par conséquent, l’expression peut être simplifiée comme suit seccotsinsincoscos𝜃(𝜋𝜃)=1𝜃×𝜃𝜃=1𝜃.

Enfin, nous pouvons réécrire cette expression en fonction de la fonction sécante définie par seccos𝜃=1𝜃.

Ainsi, on obtient seccotsec𝜃(𝜋𝜃)=𝜃.

Comme précédemment, on peut obtenir les relations sur les angles 𝜃 et 270±𝜃 suivantes sincoscossintancotcottancscsecseccsc(270±𝜃)=𝜃,(270±𝜃)=±𝜃.(270±𝜃)=𝜃,(270±𝜃)=𝜃,(270±𝜃)=𝜃,(270±𝜃)=±𝜃.

Ces relations peuvent être illustrées comme suit.

En remarquant, d’après leurs définitions sur le cercle unité, que les fonctions trigonométriques sont périodiques, on trouve sinsincoscostantancotcotcsccscsecsec(360±𝜃)=±𝜃,(360±𝜃)=𝜃,(360±𝜃)=±𝜃,(360±𝜃)=±𝜃,(360±𝜃)=±𝜃,(360±𝜃)=𝜃.

Ces égalités sont également vraies en exprimant les angles en radians, en remplaçant 360 par 2𝜋radians. Elles sont également illustrées sur le cercle unité comme suit.

Toutes les relations à angle corrélés peuvent être visualisées en utilisant la figure suivante.

Considérons maintenant quelques exemples où nous devons appliquer les identités de cofonction pour simplifier une expression trigonométrique. Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer ces relations à plusieurs reprises sur les fonctions cosinus et sinus, avec des angles exprimés en degrés.

Exemple 8: Simplification d’expressions trigonométriques en utilisant les relations de cofonction

Simplifiez l’expression sincos𝜃+(270+𝜃).

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression particulière impliquant des fonctions trigonométriques.

Afin de simplifier l’expression donnée, nous utilisons la relation sur les angles corrélés suivante cossin(270+𝜃)=𝜃.

Par conséquent, nous avons sincossinsinsin𝜃+(270+𝜃)=𝜃+𝜃=2𝜃.

Dans le dernier exemple, nous voulons appliquer les identités de cofonction aux fonctions tangentes et cotangentes à plusieurs reprises, avec des angles exprimes en degrés, afin de simplifier une expression trigonométrique.

Exemple 9: Application des relations trigonométriques pour la simplification d’une expression trigonométrique

Simplifiez l’expression sectantan𝜃𝜃(270+𝜃).

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons simplifier une expression particulière impliquant des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.

Nous utiliserons également la relation sur les angles corrélés tancot(270+𝜃)=𝜃.

Sachant que nous avons, par définition de la fonction cotangente, cottan𝜃=1𝜃, la relation sur les angles corrélés peut être écrite en fonction de la fonction tangente comme suit tancottan(270+𝜃)=𝜃=1𝜃.

Par conséquent, l’expression peut être simplifiée de la sorte sectantansectantansectantansec𝜃𝜃(270+𝜃)=𝜃𝜃×1𝜃=𝜃×𝜃𝜃=𝜃.

Concluons cette fiche explicative en résumant quelques-uns de ses points clés.

Points clés

  • On peut exprimer la fonction tangente et les fonctions trigonométriques inverses en fonction de cosinus et de sinus de la sorte tansincoscscsinseccoscottancossin𝜃=𝜃𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃,𝜃=1𝜃=𝜃𝜃. et nous pouvons utiliser ces relations pour simplifier les expressions trigonométriques.
  • Ces fonctions trigonométriques sont toutes soit paires soit impaires. En particulier, les fonctions cosinus et sinus vérifient coscossinsin(𝜃)=𝜃,(𝜃)=𝜃, et, de la même manière, on peut déduire la parité des autres fonctions trigonométriques à partir de leurs définitions. Nous pouvons utiliser les relations de parité des fonctions trigonométriques pour simplifier des expressions trigonométriques.
  • On peut établir les relations sur les angles corrélés grâce au cercle unité.
    Par exemple, les relations de cofonction (en radians ) sont, sincoscossin𝜋2𝜃=𝜃,𝜋2𝜃=𝜃. Les relations correspondantes pour les fonctions tangente et trigonométriques inverses sont trouvées en utilisant leurs définitions pour les exprimer en fonction du sinus et du cosinus.
  • Nous devons souvent appliquer plusieurs relations, ou types de relations, pour simplifier une expression trigonométrique.

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