Fiche explicative de la leçon: Simplifier une expression trigonométrique Mathématiques • Première année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment simplifier une expression trigonométrique.

On peut souvent simplifier ces expressions en appliquant une ou plusieurs relations trigonométriques, qui lient les différentes fonctions trigonométriques et inverses de fonctions trigonométriques ainsi que leurs arguments. Bien que ces relations soient mathématiques par nature, elles ont des applications dans le monde réel.

Les relations trigonométriques ont plusieurs applications concrètes dans divers domaines, tels que la physique, l’ingénierie, l’architecture, la robotique, la théorie musicale et la navigation, pour n’en nommer que quelques-unes. En physique, on peut les utiliser dans le cadre du calcul de la trajectoire d’un projectile, pour modéliser des ondes électromagnétiques, pour analyser les courants alternatifs et continus, et pour déterminer l’orbite d’un corps autour d’un autre, sous l’action de la gravitation.

Commençons par faire quelques rappels sur les fonctions trigonométriques au cœur des relations que nous allons étudier dans cette fiche explicative. On considère le triangle suivant.

On peut exprimer chacune de ces fonctions trigonométriques par un rapport entre les longueurs de deux côtés du triangle

Ces fonctions vérifient l’identité trigonométrique suivante : 

Remarquons que ces rapports trigonométriques ne sont définis que pour des angles aigus , et que pour définir les fonctions trigonométriques pour tout , on utilise le cercle unité.

Supposons qu’un point se déplace le long du cercle unité dans le sens trigonométrique (c’est-à-dire inverse des aiguilles d’une montre). En un point du cercle formant un angle , la fonction sinus est définie comme et la fonction cosinus comme , comme illustré sur la figure ci-dessus. En d’autres termes, les fonctions trigonométriques sont définies en utilisant les coordonnées du point d’intersection du cercle unité avec le rayon d’angle .

Les fonctions trigonométriques inverses sont définies en fonction des équations trigonométriques comme suit.

Les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui signifie que si l’on ajoute un multiple entier de , en radians , ou à l’angle , la valeur de la fonction reste inchangée : 

Nous pouvons constater que cette propriété est vraie directement à partir de la définition des fonctions trigonométriques sur le cercle unité. Par ailleurs, la fonction tangente est de période radians, ou de puisque que nous avons

De même, dans le cas des fonctions trigonométriques inverses, on a

De façon analogue à la fonction tangente, la fonction cotangente est périodique de période radians, ou puisque nous avons

Dans la totalité de cette fiche explicative, les relations présentées sont valables pour tout angle dans l’ensemble de définition des fonctions, qu’il soit exprimé en degrés ou en radians. En particulier, la conversion entre degrés et radians se fait de la façon suivante : on peut convertir tout angle en radians avec la formule

Lors de l’étude d’expressions trigonométriques, il est utile de réécrire les fonctions trigonométriques inverses en termes de sinus et de cosinus afin de simplifier.

Voyons un exemple dans lequel nous devons utiliser la définition des fonctions trigonométriques inverses pour calculer la valeur d’une expression trigonométrique.

Maintenant, considérons un exemple où nous devons simplifier une expression trigonométrique particulière.

Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression trigonométrique en l’exprimant en termes de fonctions sinus et cosinus

L’exemple suivant implique un produit de fonctions trigonométriques et de fonctions trigonométriques inverses que nous pouvons réécrire à l’aide simplement des définitions des fonctions inverses et en exprimant notre réponse en fonction d’une autre fonction trigonométrique réciproque.

Les fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses sont des fonctions paires et impaires car elles vérifient, d’une part, pour des fonctions paires, et, d’autre part, pour les fonctions impaires. En particulier, la fonction sinus est impaire, tandis que la fonction cosinus est paire, car elles vérifient pour toute valeur de exprimée en degrés ou en radians. À partir de ce résultat, on peut déterminer la parité d’autres fonctions trigonométriques qui sont définies en fonctions de sinus et de cosinus. En particulier, la fonction tangente satisfait

Ainsi, la fonction tangente est impaire, et nous pouvons déterminer la parité des autres fonctions trigonométriques de la même manière. Nous pouvons résumer les parités comme suit.

Maintenant, considérons un exemple où nous devons utiliser la propriété de parité des fonctions trigonométriques afin de simplifier une expression trigonométrique.

La fonction sinus est égale à la fonction cosinus par une translation de à gauche, ce que l’on peut voir en comparant les courbes représentatives de ces fonctions.

En particulier, nous avons les identités de translation suivantes pour les angles et  : 

Nous illustrons également ces identités sur le cercle unité ci-dessous.

De même, en remplaçant par , on obtient les relations de cofonction suivantes pour les angles complémentaires et  : 

Ceci peut être exprimé comme suit.

Sur cette figure, on voit un triangle rectangle avec angle au centre dont le rayon coupe le cercle au point et avec une mesure d’angle aigu .

Nous pouvons utiliser ces relations afin de déduire des relations sur d’autres fonctions trigonométriques définies en termes de cosinus et de sinus.

Par exemple, pour la fonction tangente, on a

Ces relations sont toujours vraies dans le cas d’angles en radians, notamment en remplaçant par radians.

Maintenant, traitons un exemple où nous devons utiliser ces relations en conjonction avec la parité afin de simplifier une expression.

Maintenant, supposons que nous voulions déterminer . Cela peut être accomplie en utilisant les relations précédentes à plusieurs reprises. Soit , alors

Maintenant, en substituant , on obtient

De façon analogue, on trouve

En appliquant de manière répétée ces identités ou en utilisant le cercle unité, nous pouvons également démontrer les relations suivantes sur les angles et  : 

Le cas des angles et est illustré comme suit.

Le cas des angles et est illustré comme suit.

À partir de ces relations sur cosinus et sinus, et en utilisant les définitions des autres fonctions trigonométriques, on peut démontrer les relations suivantes : 

Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression en utilisant les définitions de fonctions trigonométriques inverse en conjonction avec les relations de cofonctions en radians.

Comme précédemment, on peut obtenir les relations sur les angles et suivantes

Ces relations peuvent être illustrées comme suit.

En remarquant, d’après leurs définitions sur le cercle unité, que les fonctions trigonométriques sont périodiques, on trouve

Ces égalités sont également vraies en exprimant les angles en radians, en remplaçant par radians. Elles sont également illustrées sur le cercle unité comme suit.

Toutes les relations à angle corrélés peuvent être visualisées en utilisant la figure suivante.

Considérons maintenant quelques exemples où nous devons appliquer les identités de cofonction pour simplifier une expression trigonométrique. Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer ces relations à plusieurs reprises sur les fonctions cosinus et sinus, avec des angles exprimés en degrés.

Dans le dernier exemple, nous voulons appliquer les identités de cofonction aux fonctions tangentes et cotangentes à plusieurs reprises, avec des angles exprimes en degrés, afin de simplifier une expression trigonométrique.

Concluons cette fiche explicative en résumant quelques-uns de ses points clés.