Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de la leçon : Simplifier une expression trigonométrique Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment simplifier une expression trigonométrique.

14:57

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment simplifier une expression trigonométrique. Tout d’abord, nous ferons le point sur les fonctions trigonométriques. Puis nous nous intéresserons aux fonctions trigonométriques inverses. Et puis, nous examinerons les relations de parité pour les fonctions trigonométriques. Les fonctions inverses et les relations de parité nous aideront à simplifier les expressions trigonométriques.

Si nous considérons ce triangle rectangle avec un angle 𝜃, nous avons sa longueur de côté opposé, sa longueur de côté adjacent et l’hypoténuse. Les trois fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en fonction du rapport des longueurs des côtés du triangle. Le sinus de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Le cosinus de 𝜃 est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse. Et la tangente de 𝜃 est égale à l’opposé sur l’adjacent. Et puis nous avons la relation trigonométrique tan 𝜃 égale sin 𝜃 sur cos 𝜃.

Lorsque nous utilisons des fonctions trigonométriques dans des triangles rectangles, nous ne manipulons que des angles aigus pour 𝜃. Mais, nous pouvons aussi considérer les fonctions trigonométriques pour les valeurs de 𝜃 définies sur le cercle unité. Pour un point 𝑥, 𝑦 donné qui se trouve sur le cercle unité à l’angle 𝜃, la fonction sinus est définie comme 𝑦 égale sinus 𝜃 et la fonction cosinus est 𝑥 égale cos 𝜃.

Parmi les outils que nous utilisons pour simplifier les expressions trigonométriques on trouve les fonctions trigonométriques inverses. Rappelez-vous que l’inverse est ce par quoi nous multiplions une valeur pour obtenir un. Pour un nombre, son inverse est simplement un sur ce nombre. Ainsi, l’inverse de sin 𝜃 est un sur sin 𝜃. Et ceci s’appelle la cosécante. Par conséquent, sec 𝜃 égale un sur cos 𝜃. La sécante de 𝜃 est l’inverse de cos 𝜃. La cotangente de 𝜃 est égale à un sur tan 𝜃. Par définition de la tangente, nous pouvons réécrire la cotangente 𝜃 cos 𝜃 sur sin 𝜃.

Maintenant que nous connaissons ces fonctions inverses, il convient de souligner que lorsque nous travaillons avec des expressions trigonométriques, la première étape consiste généralement à réécrire toutes les fonctions inverses en fonction de sinus et de cosinus. Voyons comment faire.

Trouvez la valeur de huit sur sin 𝜃 fois moins cinq sur csc 𝜃.

Dans cette expression, nous avons une fonction trigonométrique et une fonction trigonométrique inverse. Une stratégie pour simplifier une expression trigonométrique consiste à l’écrire en fonctions de sinus et cosinus. Le premier terme de cette expression est déjà fonction de sinus et de cosinus. Et pour réécrire csc 𝜃 en fonction de sinus et de cosinus, nous rappelons que cosécante 𝜃 est l’inverse de sin 𝜃, soit cosécante 𝜃 égale un sur sinus 𝜃.

Par conséquent, au dénominateur de ce deuxième terme, nous remplaçons csc 𝜃 par un sur sin 𝜃. Si nous considérons moins cinq sur un sur sin 𝜃, c’est moins cinq divisé par un sur sin 𝜃. Et diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. Par conséquent, nous pouvons réécrire moins cinq sur un sur sin 𝜃 comme moins cinq fois sin 𝜃. Dans ce cas, nous avons un sin 𝜃 au dénominateur et un sin 𝜃 au numérateur qui se simplifient, et il nous reste huit fois moins cinq, soit moins 40.

Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression trigonométrique sans calculer aucune valeur de cette expression.

Simplifiez cos 𝜃 csc 𝜃 sin 𝜃.

Dans cette expression, nous avons deux fonctions trigonométriques et une fonction trigonométrique inverse. Une stratégie pour simplifier une expression trigonométrique consiste à la réécrire en fonctions de sinus et cosinus. Cela signifie réécrire toutes les fonctions inverses en termes de sinus et de cosinus. Rappelons que csc 𝜃 est la fonction inverse de la fonction sinus, ce qui signifie qu’elle est égale à un sur sin 𝜃. Cela signifie que dans notre expression, nous pouvons substituer un sur sin 𝜃 à la place de csc 𝜃. Nous savons que un sur sin 𝜃 fois sin 𝜃 égale un et cos 𝜃 fois un égale cos 𝜃.

Voyons un autre exemple de simplification des expressions trigonométriques avec des fonctions inverses.

Simplifiez tan 𝜃 sin 𝜃 sur sec 𝜃.

Dans cette expression, nous avons des fonctions trigonométriques et une fonction trigonométrique inverse. Une bonne stratégie pour simplifier une expression trigonométrique consiste à la réécrire en fonction de sinus et cosinus. Dans le cas présent, nous voulons réécrire tan 𝜃 en fonction de sinus et de cosinus et sec 𝜃 en fonction de sinus et de cosinus.

Rappelons que tan 𝜃 égale sin 𝜃 sur cos 𝜃 et que sec 𝜃 égale un sur cos 𝜃. J’ai commencé par réécrire notre expression tan 𝜃 sin 𝜃 divisé par sec 𝜃, en remplaçant la barre de fraction par le symbole de division. Dans l’étape suivante, nous substituons un sur cos 𝜃 à sec 𝜃 et nous substituons sin 𝜃 sur cos 𝜃 à tangente 𝜃. Cela signifie que nous avons maintenant sin 𝜃 sur cos 𝜃 fois sin 𝜃 divisé par un sur cos 𝜃. Et puis nous savons diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, ainsi notre expression devient sin 𝜃 sur cos 𝜃 fois sin 𝜃 fois cos 𝜃.

Si nous réécrivons sin 𝜃 sur cos 𝜃 comme sin 𝜃 fois un sur cos 𝜃, nous avons un cosinus au dénominateur et un cosinus au numérateur. Ce qui donne un. Il ne nous reste donc plus que sin 𝜃 fois sin 𝜃, ce qui est égal à sin carré 𝜃.

Considérons maintenant une autre propriété des fonctions trigonométriques et des fonctions trigonométriques inverses. Toute fonction paire vérifie 𝑓 de moins 𝜃 égale 𝑓 de 𝜃. Et toute fonction impaire vérifie 𝑓 de moins 𝜃 égale moins 𝑓 de 𝜃. En ce qui concerne les fonctions trigonométriques, la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. Nous pouvons le voir sur le graphique de la fonction cosinus, où cos moins 180 degrés égale moins un et cos plus 180 degrés est également égal à moins un. Et avec le graphique de la fonction sinus, nous voyons que sin moins 90 degrés égale moins un et sin 90 degrés égale un.

Notez que dans la fonction sinus, sin 90 degrés et sin moins 90 degrés sont opposés l’un de l’autre. Nous pouvons également déterminer la parité des autres fonctions trigonométriques définies en termes de sinus et de cosinus. Par exemple, tan moins 𝜃 égale sin moins 𝜃 sur cos moins 𝜃. Le sin moins 𝜃 égale moins sin 𝜃. Et cos moins 𝜃 égale cos 𝜃. En faisant sortir le signe moins, nous avons sin 𝜃 sur cos 𝜃, qui est égal à tan 𝜃. Cela signifie que tan moins 𝜃 est égal à moins tan 𝜃. Et cela rend la fonction tangente impaire.

Par conséquent, pour toute valeur de 𝜃 dans leurs domaines respectifs, les fonctions cosinus et sécantes sont paires. Et pour toute valeur de 𝜃 dans leurs domaines respectifs, sinus, tangente, cosécante et cotangente sont impaires. Cela s’appelle la parité des fonctions trigonométriques. Voyons comment utiliser la parité pour simplifier des expressions.

Simplifiez tan moins 𝜃 fois cosécante 𝜃.

Dans cette expression, nous avons une fonction trigonométrique en moins 𝜃 et une fonction inverse. Une stratégie pour simplifier les expressions trigonométriques consiste à réécrire l’expression en fonction de sinus et de cosinus. Rappelons que cosécante 𝜃 égale un sur sin 𝜃. Par conséquent, nous pouvons réécrire cosécante 𝜃 comme un sur sin 𝜃. De plus, nous rappelons que la fonction tangente est une fonction impaire. Ainsi tangente moins 𝜃 égale moins tangente 𝜃. Nous savons que tangente égale sinus sur cosinus. Par conséquent, moins tan 𝜃 égale moins sin 𝜃 sur cos 𝜃.

Notre nouvelle expression est moins sin 𝜃 sur cos 𝜃 fois un sur sin 𝜃. Le sinus dans le numérateur et le dénominateur se simplifient. Il nous reste moins un sur cos 𝜃. Et nous savons que sec 𝜃 égale un sur cos 𝜃, ce qui permet de simplifier cette expression en moins sec 𝜃.

Intéressons-nous maintenant à un nouvel ensemble de relatons qui peuvent nous aider à simplifier des expressions trigonométriques. Nous pouvons utiliser les courbes sinus et cosinus pour comprendre l’origine de ces relations. Si nous regardons sur la figure quand sin 𝜃 est égal à un, l’un des endroits où cela se produit est à 90 degrés. Si nous regardons les endroits où cos 𝜃 est égal un, nous voyons que cela se produit à zéro degré. Cela montre que si on décale la fonction sinus de 90 degrés vers la gauche on obtient la fonction cosinus. Et par conséquent, nous pouvons dire que sin 90 degrés plus 𝜃 égale cos 𝜃. De même, sin 90 degrés moins 𝜃 égale cos 𝜃.

Dans notre exemple, cela signifie que sin 90 degrés plus zéro degré égale cos zéro degré. Le calcul de ces deux valeurs donne un. Nous pouvons écrire ces deux relations sous la forme sin 90 degrés plus ou moins 𝜃 égale cos 𝜃. Pour le cosinus, cos 90 degrés plus 𝜃 égale moins sin 𝜃. Et cos 90 degrés moins 𝜃 égale plus sin 𝜃. Et tan 90 degrés plus ou moins 𝜃 égale moins ou plus cotangente 𝜃. Bien sûr, tout cela reste vrai si nous travaillons en radians. Il suffit de remplacer 90 degrés par 𝜋 sur deux.

De même, nous avons les trois valeurs inverses. cotangente 90 degrés plus ou moins 𝜃 égale moins ou plus tangente 𝜃. sécante 90 degrés plus ou moins 𝜃 égale moins ou plus cosécante 𝜃. Et cosécante 90 degrés plus ou moins 𝜃 égale sécante 𝜃.

Dans le prochain exemple, nous utiliserons ces relations en plus de la parité des fonctions trigonométriques pour simplifier une expression.

Simplifiez sin 𝜋 sur deux plus 𝜃 fois sec moins 𝜃.

Pour simplifier cette expression, rappelons que sec moins 𝜃 égale sec 𝜃. De plus, sin 𝜋 sur deux plus ou moins 𝜃 égale cos 𝜃 d’après la relation des angles corrélés. Maintenant, nous avons cos 𝜃 fois sec 𝜃. Et enfin, rappelez-vous que la fonction sécante est l’inverse du cosinus. En remplaçant sec 𝜃 par un sur cos 𝜃, nous avons cos 𝜃 fois un sur cos 𝜃, ce qui est égal à un.

Nous avons déjà exploré certaines relations pour les angles corrélés qui traitent d’un décalage de 90 degrés. En appliquant à plusieurs reprises les relations que nous avons utilisées précédemment dans la vidéo ou en utilisant le cercle unité, nous pouvons obtenir de nouvelles relations, à savoir que sin 180 degrés plus ou moins 𝜃 égale moins ou plus sin 𝜃. Ou cos 180 degrés plus ou moins 𝜃 égale moins cos 𝜃. Ou enfin, tan 180 degrés plus ou moins 𝜃 égale plus ou moins tan 𝜃. Et bien sûr, on obtient les mêmes relations en radians en remplaçant 180 par 𝜋. Et nous pouvons faire de même avec les fonctions inverses.

Regardons un autre exemple de simplification d’expression.

Simplifiez sec 𝜋 sur deux moins 𝜃 sur cotangente 𝜋 moins 𝜃.

Dans cette expression, nous avons une fonction inverse divisée par une fonction inverse. De plus, nous avons une relation de cofonction et une relation d’angles corrélés. Premièrement, sec de 𝜋 sur deux moins 𝜃 égale cosécante 𝜃. Et deuxièmement, cotangente 𝜋 moins 𝜃 égale moins cotangente 𝜃. Nous réécrivons sec 𝜋 sur deux moins 𝜃 comme cosécante 𝜃. Et cotangente 𝜋 moins 𝜃 devient moins cotangente 𝜃. Et puis nous rappelons que cosécante 𝜃 égale un sur sin 𝜃 et cotangente 𝜃 égale cos 𝜃 sur sin 𝜃.

Nous utilisons la même stratégie qui consiste à réécrire les fonctions en fonction de sinus et de cosinus, ce qui nous donne un sur sin 𝜃 divisé par moins cos 𝜃 sur sin 𝜃. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Un sinus au dénominateur et un sinus au numérateur se simplifient, ce qui nous donne moins un sur cos 𝜃, ce qui signifie que nous devons utiliser une dernière relation, sec 𝜃 égale un sur cos 𝜃, ce qui donne finalement la forme simplifiée moins sec 𝜃.

Nous avons vu les relations pour un décalage d’angle de 90 degrés et un décalage de 180 degrés. Regardons maintenant les décalages de 270 degrés et 360 degrés. Les relations d’angles corrélés pour un décalage de 270 degrés sont les suivantes. Le cercle unité nous permet de déterminer les relations d’angles corrélés pour le sinus et le cosinus. Soit le triangle rectangle avec un angle 𝜃. Soit 𝑎 la longueur marquée ici en vert et 𝑏 la longueur en bleu. Nous savons que l’hypoténuse est égale à un, puisque ceci est le cercle unité. Dans ce cas, cos 𝜃 égale 𝑎 et sin 𝜃 égale 𝑏.

Maintenant, regardons l’angle trois 𝜋 sur deux moins 𝜃, il a un angle de référence avec l’axe des abscisses qui est marqué en rose ici. En notant 𝑎, 𝑏 et un les côtés du triangle rectangle créé avec l’angle de référence puis en analysant le signe des fonctions trigonométriques en fonction du quadrant du cercle, nous savons que le sinus pour un point du troisième quadrant va être négatif, ce qui signifie que sin 270 degrés moins 𝜃 égale moins 𝑎. Cela confirme les relations que nous avons listées.

Comme vous pouvez le voir, vous pouvez utiliser le cercle unité pour retrouver toutes les relations d’angles corrélés si vous ne vous en souvenez pas : 𝜋 sur deux ; 𝜋 ; trois 𝜋 sur deux; et ce que nous verrons ensuite, deux 𝜋. Voici la liste des identités d’angles corrélés pour un décalage de 270 degrés et un décalage de 360 degrés. Encore une fois, si vous travaillez en radians cela représente respectivement trois 𝜋 sur deux ou deux 𝜋.

Dans le dernier exemple, nous utiliserons ces identités d’angles corrélés afin de simplifier une expression trigonométrique.

Simplifiez sec 𝜃 tan 𝜃 tan 270 degrés plus 𝜃.

Pour simplifier cette expression, simplifions d’abord tan 270 degrés plus 𝜃 en utilisant les relations d’angles corrélés. Rappelons que tan 270 degrés plus 𝜃 égale moins cotangente 𝜃. À la place de tan 270 degrés plus 𝜃, nous pouvons substituer moins cotangente 𝜃. Or la tangente et la cotangente sont inverses l’une de l’autre. Autrement dit, cotangente 𝜃 égale un sur tan 𝜃. Et lorsque nous multiplions ces valeurs ensemble, nous obtenons moins un. Nous avons donc moins un fois sec 𝜃, ce qui signifie qu’une forme simplifiée de cette expression est moins sec 𝜃.

Terminons en passant en revue les points clés. Nous pouvons exprimer les fonctions tangentes et inverses en fonction de sinus et de cosinus et les utiliser pour simplifier les expressions trigonométriques. Ces fonctions sont paires ou impaires. On a cos moins 𝜃 égale cos 𝜃 ; la fonction est paire. Et sin moins 𝜃 égale moins sin 𝜃 ; la fonction est impaire. La parité des autres fonctions peut se déduire de la parité des fonctions sinus et cosinus Le cercle unité nous permet de déterminer les relations d’angles corrélés pour le sinus et le cosinus. Et enfin, nous devons souvent combiner toutes ces différentes relations pour simplifier une expression trigonométrique.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.