Video Transcript
La figure montre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Chacun des carrés du quadrillage du diagramme a une longueur latérale de un. Calculez 𝐀 scalaire 𝐁.
Cette question nous donne deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁, sous la forme de flèches dessinées sur un diagramme. On nous demande de trouver 𝐀 scalaire 𝐁, le produit scalaire de ces deux vecteurs. Commençons donc par rappeler la définition du produit scalaire de deux vecteurs. Nous allons considérer deux vecteurs généraux, que nous appellerons 𝐂 et 𝐃. Si nous supposons que ces deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦, alors nous pouvons les écrire sous forme de composante comme une composante 𝑥 notée avec un indice 𝑥 multiplié par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 notée avec un indice 𝑦 multiplié par 𝐣 chapeau. Rappelez-vous que 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦.
Ensuite, le produit scalaire 𝐂 scalaire 𝐃 est égal à la composante 𝑥 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐃 plus la composante 𝑦 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐃. Donc, en général, le produit scalaire de deux vecteurs est donné par le produit de leurs composantes 𝑥 plus le produit de leurs composantes 𝑦. Cette expression générale du produit scalaire de deux vecteurs nous dit que si nous voulons calculer le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁, alors nous devons trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs 𝐀 et 𝐁.
Nos vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont donnés sous forme de flèches dessinées sur un diagramme. Et la question nous dit que chacun des carrés du quadrillage sur cette figure a une longueur latérale de un. Si nous ajoutons des axes à notre diagramme avec l’origine située à la queue des deux vecteurs, nous pouvons facilement lire le nombre de carrés dont chaque vecteur s’étend dans la direction 𝑥 et dans la direction 𝑦. Puisque nous savons que chacun de ces carrés a une longueur latérale de un, alors le nombre de carrés nous donne directement les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs.
Commençons par compter les carrés du vecteur 𝐀. Nous voyons que 𝐀 s’étend de quatre carrés dans le sens négatif suivant 𝑥 et de deux carrés dans le sens négatif suivant 𝑦. Ainsi, la composante 𝑥 de 𝐀 est moins quatre, et la composante 𝑦 est moins deux. Cela signifie que nous pouvons écrire le vecteur 𝐀 sous forme de composante comme moins quatre 𝐢 chapeau moins deux 𝐣 chapeau. Maintenant, nous allons faire la même chose pour le vecteur 𝐁. Nous voyons que 𝐁 s’étend de trois carrés dans le sens négatif suivant 𝑥 et de trois carrés dans le sens négatif suivant 𝑦. Ainsi, la composante 𝑥 de 𝐁 est moins trois et la composante 𝑦 de 𝐁 est également moins trois.
Ensuite, sous forme de composantes, nous pouvons écrire le vecteur 𝐁 comme moins trois 𝐢 chapeau moins trois 𝐣 chapeau. Nous avons maintenant nos deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 écrits sous forme de composantes, ce qui signifie que nous sommes prêts à calculer le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁. De notre expression générale pour le produit scalaire de deux vecteurs, nous voyons que le premier terme est donné par le produit des composantes 𝑥 des deux vecteurs. Donc, pour le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁, c’est la composante 𝑥 de 𝐀, qui est moins quatre, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁, qui est moins trois.
Ensuite, nous ajoutons un deuxième terme donné par le produit des composantes 𝑦 des vecteurs. Donc, pour nous, c’est la composante 𝑦 de 𝐀, qui est moins deux, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁, qui est moins trois. La dernière étape consiste alors à calculer cette expression ici. Le premier terme est moins quatre multiplié par moins trois, ce qui donne plus 12. Le deuxième terme est moins deux multiplié par moins trois, ce qui donne plus six. Ensuite, 12 plus six nous donne un résultat de 18. Et donc notre réponse à la question est : le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁 est égal à 18.
