Transcription de la vidéo
Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par neuf tangente de 𝑥 fois la sécante de 𝑥 le tout divisé par cinq sécante de 𝑥 moins 19 par rapport à 𝑥.
On nous demande de déterminer l’expression d’une du quotient de deux fonctions trigonométriques. Et nous ne savons pas comment déterminer cette intégrale en général. Il existe différentes méthodes que nous pourrions utiliser. Par exemple, nous pourrions utiliser un changement de variable pour essayer de simplifier cette intégrale. Cependant, dans ce cas, il existe une méthode plus simple.
Nous devons remarquer ce qui se passe lorsque nous dérivons notre dénominateur par rapport à 𝑥. Nous savons que la dérivée de la sécante de 𝑥 par rapport à 𝑥 est la tangente de 𝑥 multiplié par la sécante de 𝑥. Donc, en dérivant notre dénominateur par rapport à 𝑥, nous obtenons cinq tangente de 𝑥 fois sécante de 𝑥. Et en fait, il s’agit d’un multiple scalaire de notre numérateur. Cela signifie que nous pouvons utiliser l’une de nos règles d’intégration pour nous aider à déterminer la valeur de cette intégrale.
Rappelons la règle d’intégration suivante. L’intégrale de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus une constante d’intégration 𝑐. Et notre intégrale était presque exactement de cette forme. Cependant, au lieu d’avoir le coefficient de cinq dans notre numérateur, nous avions un coefficient de neuf. Cependant, nous pouvons résoudre ce problème. Nous allons commencer par sortir la constante neuf en dehors de notre intégrale. Cela nous donne l’expression suivante.
Ensuite, nous voulons que cinq soit dans notre numérateur. Mais cela signifie que nous devons multiplier toute notre intégrale par un cinquième. Cela signifie que nous pouvons réécrire notre intégrale ainsi. Et si nous définissons 𝑓 de 𝑥 comme notre dénominateur, cinq fois la sécante de 𝑥 moins 19, alors 𝑓 prime de 𝑥 est notre numérateur, cinq tangente de 𝑥 fois la sécante de 𝑥. Nous pouvons donc déterminer la valeur de cette intégrale en utilisant notre règle d’intégration.
En utilisant notre règle d’intégration avec 𝑓 de 𝑥 fixé à cinq sécante de 𝑥 moins 19, nous pouvons calculer notre intégrale et nous obtenons neuf sur cinq fois le logarithme naturel de la valeur absolue de cinq sécante de 𝑥 moins 19 plus une constante d’intégration 𝑐. Et rappelez-vous, nous devons multiplier par neuf sur cinq parce que nous avons ce facteur dans notre intégrale. Et nous pourrions répartir neuf sur cinq entre parenthèses. Cependant, 𝑐 est une constante d’intégration, nous pouvons donc simplement ajouter ceci à la fin de notre expression. Et cela nous donne notre réponse finale.
Par conséquent, nous avons pu montrer que toute primitive de neuf tangente de 𝑥 fois sécante de 𝑥 le tout sur cinq sécante de 𝑥 moins 19 par rapport à 𝑥 est de la forme neuf sur cinq fois le logarithme naturel de la valeur absolue de cinq sécante de 𝑥 moins 19 plus notre constante d’intégration 𝑐.
