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Déterminez l’intégrale de trois 𝑥 plus quatre le tout au carré multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥.
Nous devons déterminer la valeur d’une intégrale indéfinie. Nous pouvons voir que notre intégrale est le produit de deux fonctions. Nous avons vu différentes façons de traiter les intégrales de cette forme. Par exemple, nous pourrions être tentés d’essayer l’intégration par substitution. Cependant, il n’y a pas de substitution évidente qui faciliterait cela. Au lieu de cela, nous pourrions essayer d’utiliser l’intégration par parties.
Tout d’abord, nous rappelons que l’intégration par parties nous dit que l’intégrale de 𝑢𝑣 prime par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois 𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 fois 𝑢 prime par rapport à 𝑥. Ainsi, l’intégration par parties nous donne une méthode d’intégration du produit de 𝑢 et 𝑣 prime par rapport à 𝑥.
Mais rappelez-vous, nous devons choisir notre fonction 𝑢. Il y a plusieurs façons de choisir notre fonction 𝑢. Habituellement, nous choisissons la fonction qui se dérive pour donner une fonction plus simple. En utilisant cette logique, nous voyons que la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 est juste égale à 𝑒 à la puissance 𝑥. Cela ne se simplifiera pas plus. Cependant, nous savons que trois 𝑥 plus quatre le tout au carré est un polynôme de second degré. Ainsi, lorsque nous dérivons cela par rapport à 𝑥, nous obtenons une fonction linéaire. Et une fonction linéaire est plus simple qu’une expression du second degré. Donc, cela en fait un bon candidat pour 𝑢.
Alternativement, nous aurions pu utiliser la méthode LIATE. Comme il n’y a pas de fonction logarithmique ou trigonométrique réciproque dans notre intégrale, nous choisirions la fonction algébrique trois 𝑥 plus quatre le tout au carré pour être 𝑢. Ces deux méthodes choisissent la même fonction. Ainsi, nous allons définir 𝑢 pour être trois 𝑥 plus quatre le tout au carré et 𝑣 prime pour être 𝑒 à la puissance 𝑥.
Pour utiliser l’intégration par parties, nous avons également besoin d’expressions pour 𝑢 prime et 𝑣 prime. Commençons par trouver 𝑢 prime. Pour trouver 𝑢 prime, nous devons dériver trois 𝑥 plus quatre le tout au carré. Nous pourrions le faire en utilisant la règle de dérivation en chaîne ou la règle générale de la puissance. Cependant, comme nous ne mettons au carré que cette fonction linéaire, nous pourrions le faire en utilisant la double distributivité ou la formule de binôme de Newton. Nous obtiendrions que 𝑢 est égal à neuf 𝑥 au carré plus 24𝑥 plus 16. Et maintenant, nous pouvons dériver ceci terme par terme en utilisant la règle de dérivation d’une puissance.
Nous devons le multiplier par nos exposants de 𝑥, puis réduire cet exposant de un. Cela nous donne que 𝑢 prime est égal à 18𝑥 plus 24. Maintenant, nous devons trouver notre fonction 𝑣. 𝑣 sera juste une primitive de 𝑒 à la puissance 𝑥. Eh bien, nous savons que la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est juste égale à 𝑒 à la puissance 𝑥. Donc, nous pouvons simplement définir 𝑣 pour être 𝑒 à la puissance 𝑥.
Maintenant que nous avons trouvé des expressions pour 𝑢 prime et 𝑣, nous pouvons utiliser l’intégration par parties pour tenter d’évaluer notre intégrale. En substituant dans nos expressions 𝑢, 𝑣, 𝑢 prime et 𝑣 prime, nous obtenons que notre intégrale est égale à neuf 𝑥 au carré plus 24𝑥 plus 16 le tout multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 moins l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois 18𝑥 plus 24 par rapport à 𝑥.
Mais maintenant, nous pouvons voir un problème. Nous avons une intégrale dans cette expression que nous ne pouvons toujours pas intégrer directement. Mais maintenant, nous pouvons voir quelque chose d’intéressant. Notre terme initial à intégrer était une expression du second degré multipliée par 𝑒 à la puissance 𝑥. Cependant, nous avons maintenant juste une fonction linéaire multipliée par 𝑒 à la puissance 𝑥. Si nous faisions ce processus une fois de plus, notre fonction linéaire deviendrait juste une constante. Ensuite, nous pourrions simplement évaluer notre intégrale.
Donc, nous allons utiliser l’intégration par parties sur l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois 18𝑥 plus 24 par rapport à 𝑥. Cette fois, notre fonction 𝑢 sera 18𝑥 plus 24, et 𝑣 prime sera égale à 𝑒 à la puissance 𝑥. Et comme nous le faisions auparavant, nous pouvons trouver des expressions pour 𝑢 prime et 𝑣 prime. 𝑢 prime sera la dérivée de 18𝑥 plus 24 par rapport à 𝑥, que nous savons être 18. Et 𝑣 sera 𝑒 à la puissance 𝑥.
Maintenant, tout ce que nous devons faire est de substituer nos expressions pour 𝑢, 𝑣, 𝑢 prime et 𝑣 prime dans notre formule pour l’intégration par parties. Ce faisant, nous obtenons 18𝑥 plus 24 le tout multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 moins l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois 18 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons réorganiser nos intégrales pour nous donner 18𝑒 à la puissance 𝑥. Et maintenant, nous pouvons simplement évaluer cette intégrale.
Moins un fois l’intégrale de 18𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est égal à moins 18 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶. Donc, cela nous a donné 18𝑥 plus 24 le tout multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 moins 18𝑒 à la puissance 𝑥 plus 𝐶. Et avant de remplacer cette expression dans notre intégrale initiale, nous pouvons éliminer un facteur de 𝑒 à la puissance 𝑥. En prenant ce facteur commun de 𝑒 à la puissance 𝑥, on obtient 18𝑥 plus 24 moins 18 le tout multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus 𝐶.
Et bien sûr, nous pouvons maintenant simplifier 24 moins 18 pour avoir six. Donc, nous avons simplifié cette expression pour nous donner 18𝑥 plus six le tout multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus 𝐶. Nous pouvons maintenant remplacer cette expression dans notre intégrale initiale. Ce faisant, nous obtenons neuf 𝑥 au carré plus 24𝑥 plus 16 le tout multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 moins 18𝑥 plus six fois 𝑒 à la puissance 𝑥 plus notre constante d’intégration 𝐶.
Nous voulons maintenant répartir ce moins un sur les parenthèses. Mais nous voyons que cela nous donnera le terme moins 𝐶. Nous pourrions appeler cela moins 𝐶. Cependant, 𝐶 est notre constante d’intégration. Nous pouvons appeler cela ce que nous voulons. Donc, nous aurions pu appeler à l’origine ce moins 𝐶, donc nous pouvons simplement écrire moins 𝐶 comme 𝐶. Cela nous donne neuf 𝑥 au carré plus 24𝑥 plus 16 le tout multiplié par 𝑒 à la puissance 𝑥 moins 18𝑥 plus six fois 𝑒 à la puissance 𝑥 plus notre constante d’intégration 𝐶.
Et nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous voyons que nos deux premiers termes partagent tous deux un facteur de 𝑒 à la puissance de 𝑥. Ainsi, en retirant ce facteur commun de 𝑒 à la puissance 𝑥, nous obtenons neuf 𝑥 au carré plus 24𝑥 plus 16 moins 18𝑥 moins six tous multipliés par 𝑒 à la puissance 𝑥 plus 𝐶. Et maintenant, nous pouvons simplifier cette expression. Nous avons 24𝑥 moins 18𝑥 est égal à six 𝑥. Et 16 moins six est égal à 10.
Et puis, en réécrivant 𝑒 à la puissance 𝑥 au début de notre premier facteur, nous avons obtenu 𝑒 à la puissance 𝑥 fois neuf 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 10 plus la constante d’intégration 𝐶. Et voici notre réponse finale. Par conséquent, en utilisant l’intégration par parties deux fois, nous avons pu déterminer que l’intégrale de trois 𝑥 plus quatre le tout au carré fois 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance 𝑥 fois neuf 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 10 plus la constante d’intégration 𝐶.
