Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser l'intégration par parties pour déterminer l'intégrale du produit de fonctions.
Le théorème fondamental de l'analyse nous dit que la dérivation et l’intégration sont des processus inverses l’un de l’autre.
Cela signifie que toute règle de dérivation peut être inversée pour obtenir une règle d’intégration. Par exemple, considérons la règle du produit pour dériver , où et sont des fonctions dérivables :
En réarrangeant cette équation on obtient
Ensuite, nous intégrons les deux membres de cette équation en fonction de :
Alors, d’après la première partie du théorème fondamental de l'analyse, le premier terme du membre de droite se simplifie par , alors que la constante d’intégration fusionne avec la constante de l’autre intégrale indéfinie. Cela nous donne la formule d’intégration par parties :
Théorème : Intégration par parties
Pour deux fonctions dérivables et ,
Cette formule remplace une intégrale par une autre intégrale. Le but est de rendre la nouvelle intégrale plus facile à calculer, nous devons donc choisir nos fonctions et judicieusement. Une fois que nous les avons choisies, nous devons dériver et intégrer pour obtenir respectivement les fonctions et .
Voyons maintenant un exemple d’utilisation de l’intégration par parties pour calculer l’intégrale de .
Exemple 1: Intégrer le produit d’un polynôme et d’une fonction trigonométrique
Utilisez l’intégration par parties pour calculer .
Réponse
La formule d’intégration par parties nous indique que, pour des fonctions dérivables et ,
Comme nous intégrons , nous devons déterminer le facteur que nous désignerons par et le facteur que nous désignerons par .
Remarquez que si nous choisissons , alors quand on dérive cette fonction, on obtient . Puisqu’il s’agit d’une constante, cela rendra le terme final à intégrer dans cette formule beaucoup moins compliquée que l’original.
Posons
Ensuite, on calcule en dérivant et en intégrant :
Note
En principe, nous devrions obtenir une constante d’intégration à chaque fois que nous intégrons. Cependant, nous finirons par combiner cela avec une seconde constante et nous choisissons donc généralement de ne pas en inclure une à ce stade.
La formule d’intégration par parties devient alors
En utilisant l’intégration par parties, nous constatons que
Dans notre premier exemple, nous avons vu que, en faisant attention à notre choix pour , nous avons créé une seconde intégrale qui était beaucoup plus facile à calculer. Si nous avions choisi à la place, nous aurions obtenu une seconde intégrale plus complexe. Dans ce cas, la dérivée de était un terme constant. Si, toutefois, on ne sait pas quelle fonction choisir pour , l’acronyme LIATE, représente une règle qui nous aide à décider. Quelle que soit la fonction qui vient en premier dans la liste, c’est la fonction que nous devrions choisir pour désigner . Il est à noter que bien que ce soit une astuce, il y a des exceptions à cette règle LIATE qui nous permet de choisir la fonction.
Comment : Appliquer la règle LIATE
Dans l’intégration par parties, la règle LIATE nous dit de choisir comme la fonction qui apparaît en premier dans cette liste.
L | Fonctions logarithmiques (Logarithmic functions) | , , etc. |
---|---|---|
I | Fonctions trigonométriques inverses (Inverse trigonometric functions) | , , etc. |
A | Fonctions algébriques (Algebraic functions) | , , etc. |
T | Fonctions trigonométriques (Trigonometric functions) | , , etc. |
E | Fonctions exponentielles (Exponential functions) | , , etc. |
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser cet acronyme pour intégrer le produit d’une fonction exponentielle et d’une fonction polynomiale.
Exemple 2: Déterminer l’intégrale d’une fonction exponentielle multipliée par un polynôme en utilisant l’intégration par parties
Déterminez .
Réponse
Le terme à intégrer est le produit de deux fonctions. Cela nous indique que nous pourrions avoir besoin d’utiliser l’intégration par parties pour calculer l’intégrale.
L’intégration par parties nous indique que, pour des fonctions dérivables et ,
On commence par choisir les fonctions et . La règle LIATE nous dit de choisir comme étant la fonction qui apparaît en premier dans la liste : fonctions logarithmiques, fonctions trigonométriques inverses, fonctions algébriques, fonctions trigonométriques et fonctions exponentielles.
Notre terme à intégrer est le produit d’une fonction polynomiale (algébrique) et d’une fonction exponentielle. Comme A apparaît avant E dans l’acronyme, on choisit la fonction algébrique pour désigner .
Par conséquent, nous définissons
Ensuite, nous trouvons en dérivant et en intégrant . La règle de dérivation d’une puissance indique comment déterminer la dérivée d’une fonction dérivable élevée à un exposant constant, :
On dérive ce qui nous donne
Pour obtenir , on intègre :
Par conséquent,
Rappelez-vous, bien que nous devrions obtenir une constante d’intégration à chaque fois que nous intégrons, nous finirons par combiner cela avec une seconde constante et nous choisissons donc généralement de ne pas en inclure une à ce stade.
En utilisant l’intégration par parties,
Remarquez que nous avons maintenant un second terme à intégrer, qui est le produit de deux fonctions. Nous pourrions craindre d’avoir choisi la mauvaise fonction . Cependant, on remarque que la dérivée de est une constante, ce qui signifie que nous pouvons calculer cette nouvelle intégrale en utilisant l’intégration par parties. Nous prendrons le facteur constant, 6, en dehors de l’intégrale et appliquerons à nouveau la formule pour calculer :
Soit de sorte que
En les substituant dans la formule d’intégration par parties, on obtient
Nous pouvons maintenant substituer cette expression dans l’équation de notre intégrale initiale :
Pour simplifier ce résultat, on factorise par :
En appliquant l’intégration par parties,
Dans l’exemple précédent, nous avons vu qu’il est parfois nécessaire d’appliquer l’intégration par parties plusieurs fois. Chaque fois que nous avons appliqué l’intégration par parties, la puissance de la fonction algébrique a diminué, devenant finalement constante et créant ainsi une intégrale finale simple. Dans notre prochain exemple, nous verrons pourquoi l’acronyme LIATE a ses exceptions et comment nous pourrions avoir besoin de réorganiser notre résultat pour calculer une intégrale indéfinie.
Exemple 3: Déterminer l’intégrale indéfinie du produit d’une fonction exponentielle et d’une fonction trigonométrique
En posant et , calculez en intégrant par parties.
Réponse
La formule d’intégration par parties nous indique que, pour des fonctions dérivables et ,
On nous dit de poser et . En d’autres termes,
Nous devrons calculer en dérivant et en intégrant :
La formule d’intégration par parties nous indique que
Nous ne pouvons pas calculer directement, nous appliquons donc l’intégration par parties.
Soit de sorte que
Par conséquent,
Notez que la seconde intégrale que nous obtenons est égale à l’intégrale d’origine, donc nous n’avons pas besoin de continuer l’intégration. Au lieu de cela, en substituant cette expression dans notre précédente intégration par parties, nous avons
On peut maintenant ajouter à chaque membre de cette équation et inclure une constante d’intégration :
Enfin, en divisant par 2, on obtient
Dans cet exemple, nous avons vu qu’il n’est pas toujours nécessaire d’appliquer l’acronyme LIATE et que nous sommes en mesure d’inverser l’ordre dans lequel nous choisissons et . Ce sera rarement le cas, mais cela montre qu’il est possible de choisir nos fonctions de manière différente.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment le fait de choisir quelle partie de la fonction nous intégrons et quelle partie nous dérivons est important et n’est pas toujours évident immédiatement, et comment nous ne pouvons pas toujours compter sur l’acronyme pour décider quelle partie on intègre et quelle partie on dérive.
Exemple 4: Utiliser l’intégration par parties pour intégrer une fonction
Déterminez .
Réponse
L’expression qu’on nous a demandé d’intégrer ici est , qui est une fraction algébrique multipliée par une fonction exponentielle. Puisqu’il s’agit d’un produit de deux fonctions, nous devrons utiliser l’intégration par parties. La formule pour ce faire est
Il est important de choisir correctement la fonction qui désigne et celle qui désigne . Si l’on considère l’acronyme LIATE, nous pouvons voir que nous devrions choisir la fraction algébrique pour . Cela nous donnerait
Nous devrons dériver et intégrer . Nous devrions appliquer la règle du quotient pour dériver . En utilisant la règle du quotient, nous obtiendrons
Intégrer le terme exponentiel le laissera inchangé, donc nous avons
Considérons maintenant ce que nous aurons comme terme à intégrer dans la formule d’intégration par parties :
En considérant cette intégrale, nous pouvons voir qu’elle est très similaire à l’intégrale d’origine que nous essayions de trouver, sauf que, cette fois la puissance du dénominateur est plus grande. Si nous essayions d’intégrer ce terme en utilisant l’intégration par parties comme nous avions fait initialement (en choisissant de dériver la fraction algébrique et d’intégrer la fonction exponentielle), alors nous aurions besoin de procéder à une autre intégration, mais le dénominateur aurait une puissance encore plus élevée. Cela signifie que si nous continuons à essayer d’intégrer de cette manière, nous continuerons à augmenter la puissance du dénominateur et n’atteindrons jamais la solution.
Afin d’intégrer, nous devons changer les valeurs de et . Une chose que nous pouvons remarquer ici est que si nous considérons une partie de la fonction que nous intégrons et la réécrivons, nous obtiendrons
En règle générale, lorsque nous utilisons l’intégration par parties, nous cherchons à réduire la puissance d’un terme en le dérivant. Cependant, cela ne fonctionne que lorsque la puissance est positive. Comme cette puissance est négative, nous pouvons la faire se rapprocher de zéro en l’intégrant. Choisissons donc cette partie de la fonction pour et la partie restante pour . Nous avons
En utilisant la règle du produit, nous pouvons dériver pour obtenir
Ensuite, nous intégrons pour obtenir
En les substituant dans la formule d’intégration par parties, nous avons
Nous pouvons voir que l’intégration par parties a très bien fonctionné pour nous dans ce cas, comme le terme disparait dans l’intégrale. Pour trouver notre solution, il suffit d’intégrer ce dernier terme. Cela nous donne le résultat
Nous avons vu, dans l’exemple précédent, à quel point cela peut être important de choisir quelle partie de la fonction nous dérivons et quelle partie nous intégrons. Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser l’intégration par parties pour intégrer une fonction logarithmique.
Exemple 5: Intégrer la fonction logarithme népérien
Intégrez par parties en prenant et .
Réponse
On nous dit d’utiliser l’intégration par parties pour calculer cette intégrale.
La formule d’intégration par parties nous indique que, pour des fonctions dérivables et ,
On nous donne
Pour appliquer l’intégration par parties, nous dérivons et intégrons :
Une fois que nous avons chacune de ces expressions, nous pouvons les substituer dans la formule pour trouver
On peut simplifier en factorisant par :
L'exemple précédent a montré que nous pouvons utiliser l’intégration par parties pour calculer l’intégrale de la fonction logarithme népérien, en l’écrivant comme le produit de et de 1. Nous posons car si nous devions choisir , alors nous devrions encore intégrer dans la seconde intégrale.
Dans le dernier exemple, nous verrons comment nous pouvons intégrer le produit d’un logarithme et d’une fonction algébrique.
Exemple 6: Utiliser l’intégration par parties pour intégrer une fonction
Déterminez .
Réponse
Nous pouvons voir que, dans notre intégrale, nous avons une fonction logarithmique multipliée par une fonction algébrique. Pour intégrer cela, nous devrons utiliser l’intégration par parties. La formule requise pour ce faire est la suivante :
En règle générale, nous choisirions de dériver la partie algébrique, mais si nous le faisions, cela signifierait que nous devrions intégrer la partie logarithmique, ce qui est très délicat à faire, alors nous allons plutôt intégrer la partie algébrique. Par conséquent, nous aurons
Maintenant, nous pouvons, respectivement, les dériver et les intégrer pour obtenir
En les substituant dans la formule d’intégration par parties, on obtient
Il ne nous reste plus qu’à compléter l’intégration du dernier terme et nous obtiendrons notre solution :
Maintenant que nous avons montré comment utiliser la formule d’intégration par parties pour calculer un certain nombre de types d’intégrales, récapitulons quelques points clés.
Points Clés
- On peut calculer des intégrales de produits de fonctions en utilisant la formule d’intégration par parties : où et sont des fonctions dérivables.
- Lors d’une intégration par parties, nous essayons de choisir comme la fonction qui, une fois dérivée, créera une seconde intégrale plus facile à calculer.
- L’acronyme LIATE représente une règle qui nous aide à décider quelle fonction choisir, en prenant la fonction qui apparaît en premier dans cette liste.
L Fonctions logarithmiques (Logarithmic functions) , , etc. I Fonctions trigonométriques inverses (Inverse trigonometric functions) , , etc. A Fonctions algébriques (Algebraic functions) , , etc. T Fonctions trigonométriques (Trigonometric functions) , , etc. E Fonctions exponentielles (Exponential functions) , , etc. - On peut utiliser la formule pour intégrer des fonctions particulières, telles que et , en écrivant chacune sous la forme ou .