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Fiche explicative de la leçon: Intégration par parties Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser l'intégration par parties pour déterminer l'intégrale du produit de fonctions.

Le théorème fondamental de l'analyse nous dit que la dérivation et l’intégration sont des processus inverses l’un de l’autre.

Cela signifie que toute règle de dérivation peut être inversée pour obtenir une règle d’intégration. Par exemple, considérons la règle du produit pour dériver 𝑦=𝑢𝑣, 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables:dddddd𝑦𝑥=𝑢𝑣𝑥+𝑣𝑢𝑥.

En réarrangeant cette équation on obtient 𝑢𝑣𝑥=𝑦𝑥𝑣𝑢𝑥𝑢𝑣𝑥=𝑥(𝑢𝑣)𝑣𝑢𝑥.dddddddddddd

Ensuite, nous intégrons les deux membres de cette équation en fonction de 𝑥:𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑥(𝑢𝑣)𝑣𝑢𝑥𝑥𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑥(𝑢𝑣)𝑥𝑣𝑢𝑥𝑥.ddddddddddddddddd

Alors, d’après la première partie du théorème fondamental de l'analyse, le premier terme du membre de droite se simplifie par 𝑢𝑣+C, alors que la constante d’intégration fusionne avec la constante de l’autre intégrale indéfinie. Cela nous donne la formule d’intégration par parties:𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑢𝑣𝑣𝑢𝑥𝑥.dddddd

Théorème : Intégration par parties

Pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, 𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑢𝑣𝑣𝑢𝑥𝑥.dddddd

Cette formule remplace une intégrale par une autre intégrale. Le but est de rendre la nouvelle intégrale plus facile à calculer, nous devons donc choisir nos fonctions 𝑢 et dd𝑣𝑥 judicieusement. Une fois que nous les avons choisies, nous devons dériver 𝑢 et intégrer dd𝑣𝑥 pour obtenir respectivement les fonctions dd𝑢𝑥 et 𝑣.

Voyons maintenant un exemple d’utilisation de l’intégration par parties pour calculer l’intégrale de 𝑥𝑥sin.

Exemple 1: Intégrer le produit d’un polynôme et d’une fonction trigonométrique

Utilisez l’intégration par parties pour calculer 𝑥𝑥𝑥sind.

Réponse

La formule d’intégration par parties nous indique que, pour des fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, 𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑢𝑣𝑣𝑢𝑥𝑥.dddddd

Comme nous intégrons 𝑥𝑥sin, nous devons déterminer le facteur que nous désignerons par 𝑢 et le facteur que nous désignerons par dd𝑣𝑥.

Remarquez que si nous choisissons 𝑢=𝑥, alors quand on dérive cette fonction, on obtient dd𝑢𝑥=1. Puisqu’il s’agit d’une constante, cela rendra le terme final à intégrer dans cette formule beaucoup moins compliquée que l’original.

Posons 𝑢=𝑥𝑣𝑥=𝑥.etddsin

Ensuite, on calcule dd𝑢𝑥 en dérivant 𝑢 et 𝑣 en intégrant dd𝑣𝑥:ddetcos𝑢𝑥=1𝑣=𝑥.

Note

En principe, nous devrions obtenir une constante d’intégration à chaque fois que nous intégrons. Cependant, nous finirons par combiner cela avec une seconde constante et nous choisissons donc généralement de ne pas en inclure une à ce stade.

La formule d’intégration par parties devient alors 𝑥𝑥𝑥=𝑥×(𝑥)(𝑥)×1𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥(𝑥)+=𝑥𝑥𝑥+.sindcoscosdcoscosdcossinCsincosC

En utilisant l’intégration par parties, nous constatons que 𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥+.sindsincosC

Dans notre premier exemple, nous avons vu que, en faisant attention à notre choix pour 𝑢, nous avons créé une seconde intégrale qui était beaucoup plus facile à calculer. Si nous avions choisi 𝑢=𝑥sin à la place, nous aurions obtenu une seconde intégrale plus complexe. Dans ce cas, la dérivée de 𝑢 était un terme constant. Si, toutefois, on ne sait pas quelle fonction choisir pour 𝑢, l’acronyme LIATE, représente une règle qui nous aide à décider. Quelle que soit la fonction qui vient en premier dans la liste, c’est la fonction que nous devrions choisir pour désigner 𝑢. Il est à noter que bien que ce soit une astuce, il y a des exceptions à cette règle LIATE qui nous permet de choisir la fonction.

Comment : Appliquer la règle LIATE

Dans l’intégration par parties, la règle LIATE nous dit de choisir 𝑢 comme la fonction qui apparaît en premier dans cette liste.

LFonctions logarithmiques (Logarithmic functions)log(𝑥), ln(𝑥), etc.
IFonctions trigonométriques inverses (Inverse trigonometric functions)sin(𝑥), cos(𝑥), etc.
AFonctions algébriques (Algebraic functions)𝑥, 5𝑥, etc.
TFonctions trigonométriques (Trigonometric functions)sin(𝑥), cos(𝑥), etc.
EFonctions exponentielles (Exponential functions)2, 𝑒, etc.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser cet acronyme pour intégrer le produit d’une fonction exponentielle et d’une fonction polynomiale.

Exemple 2: Déterminer l’intégrale d’une fonction exponentielle multipliée par un polynôme en utilisant l’intégration par parties

Déterminez (3𝑥+4)𝑒𝑥d.

Réponse

Le terme à intégrer (3𝑥+4)𝑒 est le produit de deux fonctions. Cela nous indique que nous pourrions avoir besoin d’utiliser l’intégration par parties pour calculer l’intégrale.

L’intégration par parties nous indique que, pour des fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, 𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑢𝑣𝑣𝑢𝑥𝑥.dddddd

On commence par choisir les fonctions 𝑢 et dd𝑣𝑥. La règle LIATE nous dit de choisir 𝑢 comme étant la fonction qui apparaît en premier dans la liste:fonctions logarithmiques, fonctions trigonométriques inverses, fonctions algébriques, fonctions trigonométriques et fonctions exponentielles.

Notre terme à intégrer est le produit d’une fonction polynomiale (algébrique) et d’une fonction exponentielle. Comme A apparaît avant E dans l’acronyme, on choisit la fonction algébrique pour désigner 𝑢.

Par conséquent, nous définissons 𝑢=(3𝑥+4)𝑣𝑥=𝑒.etdd

Ensuite, nous trouvons dd𝑢𝑥 en dérivant 𝑢 et 𝑣 en intégrant dd𝑣𝑥. La règle de dérivation d’une puissance indique comment déterminer la dérivée d’une fonction dérivable élevée à un exposant constant, 𝑛:dd𝑥(𝑓(𝑥))=𝑛(𝑓(𝑥))𝑓(𝑥).

On dérive (3𝑥+4) ce qui nous donne dd𝑢𝑥=2(3𝑥+4)×3=6(3𝑥+4).

Pour obtenir 𝑣, on intègre dd𝑣𝑥=𝑒:𝑒𝑥=𝑒+.dC

Par conséquent, ddet𝑢𝑥=6(3𝑥+4)𝑣=𝑒.

Rappelez-vous, bien que nous devrions obtenir une constante d’intégration à chaque fois que nous intégrons, nous finirons par combiner cela avec une seconde constante et nous choisissons donc généralement de ne pas en inclure une à ce stade.

En utilisant l’intégration par parties, (3𝑥+4)𝑒𝑥=(3𝑥+4)×𝑒𝑒×6(3𝑥+4)𝑥=𝑒(3𝑥+4)6𝑒(3𝑥+4)𝑥.ddd

Remarquez que nous avons maintenant un second terme à intégrer, qui est le produit de deux fonctions. Nous pourrions craindre d’avoir choisi la mauvaise fonction 𝑢. Cependant, on remarque que la dérivée de 3𝑥+4 est une constante, ce qui signifie que nous pouvons calculer cette nouvelle intégrale en utilisant l’intégration par parties. Nous prendrons le facteur constant, 6, en dehors de l’intégrale et appliquerons à nouveau la formule pour calculer:6𝑒(3𝑥+4)𝑥.d

Soit 𝑢=3𝑥+4𝑣𝑥=𝑒etdd de sorte que ddet𝑢𝑥=3𝑣=𝑒.

En les substituant dans la formule d’intégration par parties, on obtient 𝑒(3𝑥+4)𝑥=(3𝑥+4)×𝑒𝑒×3𝑥=𝑒(3𝑥+4)3𝑒𝑥=𝑒(3𝑥+4)3𝑒+.dddC

Nous pouvons maintenant substituer cette expression dans l’équation de notre intégrale initiale:(3𝑥+4)𝑒𝑥=𝑒(3𝑥+4)6𝑒(3𝑥+4)𝑥=𝑒(3𝑥+4)6[𝑒(3𝑥+4)3𝑒+]=𝑒(3𝑥+4)6𝑒(3𝑥+4)+18𝑒+.ddCC

Pour simplifier ce résultat, on factorise par 𝑒:(3𝑥+4)𝑒𝑥=𝑒(3𝑥+4)6(3𝑥+4)+18+=𝑒9𝑥+6𝑥+10+.dCC

En appliquant l’intégration par parties, (3𝑥+4)𝑒𝑥=𝑒9𝑥+6𝑥+10+.dC

Dans l’exemple précédent, nous avons vu qu’il est parfois nécessaire d’appliquer l’intégration par parties plusieurs fois. Chaque fois que nous avons appliqué l’intégration par parties, la puissance de la fonction algébrique a diminué, devenant finalement constante et créant ainsi une intégrale finale simple. Dans notre prochain exemple, nous verrons pourquoi l’acronyme LIATE a ses exceptions et comment nous pourrions avoir besoin de réorganiser notre résultat pour calculer une intégrale indéfinie.

Exemple 3: Déterminer l’intégrale indéfinie du produit d’une fonction exponentielle et d’une fonction trigonométrique

En posant 𝑢=𝑒 et dcosd𝑣=𝑥𝑥, calculez 𝑒𝑥𝑥cosd en intégrant par parties.

Réponse

La formule d’intégration par parties nous indique que, pour des fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, 𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑢𝑣𝑣𝑢𝑥𝑥.dddddd

On nous dit de poser 𝑢=𝑒 et dcosd𝑣=𝑥𝑥. En d’autres termes, 𝑢=𝑒𝑣𝑥=𝑥.etddcos

Nous devrons calculer dd𝑢𝑥 en dérivant 𝑢 et 𝑣 en intégrant dd𝑣𝑥:ddetsin𝑢𝑥=𝑒𝑣=𝑥.

La formule d’intégration par parties nous indique que 𝑒𝑥𝑥=𝑒×𝑥𝑥×𝑒𝑥=𝑒𝑥𝑒𝑥𝑥.cosdsinsindsinsind

Nous ne pouvons pas calculer 𝑒𝑥𝑥sind directement, nous appliquons donc l’intégration par parties.

Soit 𝑢=𝑒𝑣𝑥=𝑥.etddsin de sorte que ddetcos𝑢𝑥=𝑒𝑣=𝑥.

Par conséquent, 𝑒𝑥𝑥=𝑒×(𝑥)(𝑥)×𝑒𝑥=𝑒𝑥+𝑒𝑥𝑥.sindcoscosdcoscosd

Notez que la seconde intégrale que nous obtenons est égale à l’intégrale d’origine, donc nous n’avons pas besoin de continuer l’intégration. Au lieu de cela, en substituant cette expression dans notre précédente intégration par parties, nous avons 𝑒𝑥𝑥=𝑒𝑥𝑒𝑥+𝑒𝑥𝑥=𝑒𝑥+𝑒𝑥𝑒𝑥𝑥.cosdsincoscosdsincoscosd

On peut maintenant ajouter 𝑒𝑥𝑥cosd à chaque membre de cette équation et inclure une constante d’intégration:2𝑒𝑥𝑥=𝑒𝑥+𝑒𝑥+.cosdsincosC

Enfin, en divisant par 2, on obtient 𝑒𝑥𝑥=12(𝑒𝑥+𝑒𝑥)+.cosdsincosC

Dans cet exemple, nous avons vu qu’il n’est pas toujours nécessaire d’appliquer l’acronyme LIATE et que nous sommes en mesure d’inverser l’ordre dans lequel nous choisissons 𝑢 et dd𝑣𝑥. Ce sera rarement le cas, mais cela montre qu’il est possible de choisir nos fonctions de manière différente.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment le fait de choisir quelle partie de la fonction nous intégrons et quelle partie nous dérivons est important et n’est pas toujours évident immédiatement, et comment nous ne pouvons pas toujours compter sur l’acronyme pour décider quelle partie on intègre et quelle partie on dérive.

Exemple 4: Utiliser l’intégration par parties pour intégrer une fonction

Déterminez 2𝑒𝑥3(𝑥+1)𝑥d.

Réponse

L’expression qu’on nous a demandé d’intégrer ici est 2𝑒𝑥3(𝑥+1), qui est une fraction algébrique multipliée par une fonction exponentielle. Puisqu’il s’agit d’un produit de deux fonctions, nous devrons utiliser l’intégration par parties. La formule pour ce faire est 𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑢𝑣𝑣𝑢𝑥𝑥.dddddd

Il est important de choisir correctement la fonction qui désigne 𝑢 et celle qui désigne dd𝑣𝑥. Si l’on considère l’acronyme LIATE, nous pouvons voir que nous devrions choisir la fraction algébrique pour 𝑢. Cela nous donnerait 𝑢=2𝑥3(𝑥+1)𝑣𝑥=𝑒.etdd

Nous devrons dériver 𝑢 et intégrer dd𝑣𝑥. Nous devrions appliquer la règle du quotient pour dériver 𝑢. En utilisant la règle du quotient, nous obtiendrons dd𝑢𝑥=2×3(𝑥+1)2𝑥×6(𝑥+1)9(𝑥+1)=2×3(𝑥+1)2𝑥×69(𝑥+1)=2𝑥3(𝑥+1).

Intégrer le terme exponentiel le laissera inchangé, donc nous avons 𝑣=𝑒.

Considérons maintenant ce que nous aurons comme terme à intégrer dans la formule d’intégration par parties:2𝑒𝑥3(𝑥+1)𝑥.d

En considérant cette intégrale, nous pouvons voir qu’elle est très similaire à l’intégrale d’origine que nous essayions de trouver, sauf que, cette fois la puissance du dénominateur est plus grande. Si nous essayions d’intégrer ce terme en utilisant l’intégration par parties comme nous avions fait initialement (en choisissant de dériver la fraction algébrique et d’intégrer la fonction exponentielle), alors nous aurions besoin de procéder à une autre intégration, mais le dénominateur aurait une puissance encore plus élevée. Cela signifie que si nous continuons à essayer d’intégrer de cette manière, nous continuerons à augmenter la puissance du dénominateur et n’atteindrons jamais la solution.

Afin d’intégrer, nous devons changer les valeurs de 𝑢 et dd𝑣𝑥. Une chose que nous pouvons remarquer ici est que si nous considérons une partie de la fonction que nous intégrons et la réécrivons, nous obtiendrons 23(𝑥+1)=23(𝑥+1).

En règle générale, lorsque nous utilisons l’intégration par parties, nous cherchons à réduire la puissance d’un terme en le dérivant. Cependant, cela ne fonctionne que lorsque la puissance est positive. Comme cette puissance est négative, nous pouvons la faire se rapprocher de zéro en l’intégrant. Choisissons donc cette partie de la fonction pour dd𝑣𝑥 et la partie restante pour 𝑢. Nous avons 𝑢=𝑥𝑒𝑣𝑥=23(𝑥+1).etdd

En utilisant la règle du produit, nous pouvons dériver 𝑢 pour obtenir dd𝑢𝑥=𝑒+𝑥𝑒=(1+𝑥)𝑒.

Ensuite, nous intégrons dd𝑣𝑥 pour obtenir 𝑣=23(𝑥+1)=23(𝑥+1).

En les substituant dans la formule d’intégration par parties, nous avons 2𝑒𝑥3(𝑥+1)𝑥=2𝑥𝑒3(𝑥+1)23(𝑥+1)×(1+𝑥)𝑒𝑥=2𝑥𝑒3(𝑥+1)+23𝑒𝑥.ddd

Nous pouvons voir que l’intégration par parties a très bien fonctionné pour nous dans ce cas, comme le terme (𝑥+1) disparait dans l’intégrale. Pour trouver notre solution, il suffit d’intégrer ce dernier terme. Cela nous donne le résultat 2𝑒𝑥3(𝑥+1)𝑥=2𝑥𝑒3(𝑥+1)+23𝑒+=2𝑥𝑒3(𝑥+1)+2𝑒(𝑥+1)3(𝑥+1)+=2𝑒3(𝑥+1)+.dCCC

Nous avons vu, dans l’exemple précédent, à quel point cela peut être important de choisir quelle partie de la fonction nous dérivons et quelle partie nous intégrons. Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser l’intégration par parties pour intégrer une fonction logarithmique.

Exemple 5: Intégrer la fonction logarithme népérien

Intégrez 𝑥𝑥lnd par parties en prenant 𝑢=𝑥ln et dd𝑣=𝑥.

Réponse

On nous dit d’utiliser l’intégration par parties pour calculer cette intégrale.

La formule d’intégration par parties nous indique que, pour des fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, 𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑢𝑣𝑣𝑢𝑥𝑥.dddddd

On nous donne 𝑢=𝑥𝑣=𝑥,𝑣𝑥=1.lnetddoudd

Pour appliquer l’intégration par parties, nous dérivons 𝑢 et intégrons dd𝑣𝑥:ddet𝑢𝑥=1𝑥𝑣=𝑥.

Une fois que nous avons chacune de ces expressions, nous pouvons les substituer dans la formule pour trouver 𝑥𝑥=𝑥×𝑥𝑥×1𝑥𝑥=𝑥𝑥1𝑥=𝑥𝑥𝑥+.lndlndlndlnC

On peut simplifier en factorisant par 𝑥:𝑥𝑥=𝑥(𝑥1)+.lndlnC

L'exemple précédent a montré que nous pouvons utiliser l’intégration par parties pour calculer l’intégrale de la fonction logarithme népérien, en l’écrivant comme le produit de ln𝑥 et de 1. Nous posons 𝑢=𝑥ln car si nous devions choisir 𝑢=1, alors nous devrions encore intégrer ln𝑥 dans la seconde intégrale.

Dans le dernier exemple, nous verrons comment nous pouvons intégrer le produit d’un logarithme et d’une fonction algébrique.

Exemple 6: Utiliser l’intégration par parties pour intégrer une fonction

Déterminez 𝑥𝑥𝑥lnd.

Réponse

Nous pouvons voir que, dans notre intégrale, nous avons une fonction logarithmique multipliée par une fonction algébrique. Pour intégrer cela, nous devrons utiliser l’intégration par parties. La formule requise pour ce faire est la suivante:𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑢𝑣𝑣𝑢𝑥𝑥.dddddd

En règle générale, nous choisirions de dériver la partie algébrique, mais si nous le faisions, cela signifierait que nous devrions intégrer la partie logarithmique, ce qui est très délicat à faire, alors nous allons plutôt intégrer la partie algébrique. Par conséquent, nous aurons 𝑢=𝑥𝑣𝑥=𝑥.lnetdd

Maintenant, nous pouvons, respectivement, les dériver et les intégrer pour obtenir ddet𝑢𝑥=1𝑥𝑣=13𝑥.

En les substituant dans la formule d’intégration par parties, on obtient 𝑥𝑥𝑥=13𝑥𝑥13𝑥×1𝑥𝑥=13𝑥𝑥13𝑥𝑥.lndlndlnd

Il ne nous reste plus qu’à compléter l’intégration du dernier terme et nous obtiendrons notre solution:𝑥𝑥𝑥=13𝑥𝑥19𝑥+=19𝑥(3𝑥1)+.lndlnClnC

Maintenant que nous avons montré comment utiliser la formule d’intégration par parties pour calculer un certain nombre de types d’intégrales, récapitulons quelques points clés.

Points Clés

  • On peut calculer des intégrales de produits de fonctions en utilisant la formule d’intégration par parties:𝑢𝑣𝑥𝑥=𝑢𝑣𝑣𝑢𝑥𝑥,dddddd𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables.
  • Lors d’une intégration par parties, nous essayons de choisir 𝑢 comme la fonction qui, une fois dérivée, créera une seconde intégrale plus facile à calculer.
  • L’acronyme LIATE représente une règle qui nous aide à décider quelle fonction 𝑢 choisir, en prenant la fonction qui apparaît en premier dans cette liste.
    LFonctions logarithmiques (Logarithmic functions)log(𝑥), ln(𝑥), etc.
    IFonctions trigonométriques inverses (Inverse trigonometric functions)sin(𝑥), cos(𝑥), etc.
    AFonctions algébriques (Algebraic functions)𝑥, 5𝑥, etc.
    TFonctions trigonométriques (Trigonometric functions)sin(𝑥), cos(𝑥), etc.
    EFonctions exponentielles (Exponential functions)2, 𝑒, etc.
  • On peut utiliser la formule pour intégrer des fonctions particulières, telles que ln𝑥 et tan(𝑥), en écrivant chacune sous la forme 1×𝑥ln ou 1×(𝑥)tan.

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