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Vidéo de la leçon : Intégration par parties Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser l’intégration par parties pour déterminer l’intégrale du produit des fonctions.

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Transcription de vidéo

Intégration par parties

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser l’intégration par parties pour déterminer l’intégrale du produit des fonctions. Nous allons le faire en inversant la règle du produit pour les dérivées et en utilisant le fait que l’intégration nous donne la primitive la plus générale d’une fonction.

Commençons donc, par rappeler ce que nous dit la règle de dérivation du produit. Elle nous dit si nous avons deux fonctions dérivables 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, alors la dérivée de 𝑓 de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 plus 𝑓 de 𝑥 multiplié par 𝑔 prime de 𝑥. Et cette règle nous aide à calculer la dérivée du produit de deux fonctions. Il faut inverser cette règle pour obtenir une règle équivalente en termes d’intégration. Cela nous aidera à intégrer le produit de deux fonctions.

Nous pouvons faire ceci en notant que 𝑓 de 𝑥 multiplié par 𝑔 de 𝑥 est une primitive du membre de droite de l’équation : 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 plus 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 prime de 𝑥. Et maintenant, puisque l’intégration nous donne la primitive la plus générale d’une fonction, nous pouvons réécrire ceci comme un résultat d’intégration. Nous obtenons l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 plus 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑓 de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥.

Cependant, nous ne pouvons pas déjà utiliser ce résultat pour déterminer l’intégrale d’un produit de deux fonctions car notre terme final à intégrer contient deux termes. Mais prenons plutôt l’intégrale de chaque terme de notre terme final à intégrer séparément. Cela nous donne l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale indéfinie de 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥.

Nous pouvons maintenant trouver une équation pour le produit de deux fonctions en réarrangeant pour faire ceci le sujet. Cela nous donne alors que l’intégrale indéfinie de 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥 moins l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime de 𝑥 fois g de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et c’est ce qu’on appelle la méthode d’intégration par parties.

Et au début, nous pourrions remarquer quelque chose d’intéressant. Nous voulons utiliser cette méthode pour déterminer l’intégrale du produit de deux fonctions. Cependant, dans notre formule, nous utilisons l’intégration du produit de deux fonctions. Et il peut donc sembler que cette formule ne sera pas utile. Cependant, nous pouvons voir que nous calculons la dérivée d’une fonction différente à l’intérieur de notre terme final à intégrer. Et comme nous le verrons, être capable de calculer la dérivée de l’un des facteurs de notre terme final à intégrer rend souvent l’intégrale plus facile à calculer.

Et avant de passer à quelques exemples, il convient également de noter que la formule d’intégration par parties est souvent écrite dans la notation de Leibniz. Cependant, cette fois, nous appellerons nos fonctions d’origine 𝑢 de 𝑥 et 𝑣 de 𝑥. Cela nous donne l’intégrale indéfinie de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois 𝑣 moins l’intégrale indéfinie de 𝑣 multipliée par d𝑢 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Voyons maintenant un exemple comment appliquer l’intégration par parties pour déterminer l’intégrale d’un produit de deux fonctions.

Utilisez l’intégration par parties pour déterminer l’intégrale indéfinie de 𝑥 fois le sinus de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de calculer l’intégrale indéfinie du produit de deux fonctions : une fonction algébrique 𝑥 et une fonction trigonométrique sinus de 𝑥. Et cela devrait nous indiquer que nous pourrions essayer d’utiliser l’intégration par parties pour calculer cette intégrale, même si on ne nous a pas dit d’utiliser cette méthode dans la question. Commençons donc par rappeler la formule d’intégration par parties.

Elle nous dit que l’intégrale indéfinie de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois 𝑣 moins l’intégrale indéfinie de 𝑣 multipliée par d𝑢 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Pour appliquer cela pour calculer notre intégrale, nous allons devoir choisir lequel des facteurs de notre terme final à intégrer doit être 𝑢 et lequel doit être d𝑣 sur d𝑥. Nous devons donc déterminer comment nous allons choisir quel facteur sera 𝑢 et lequel sera d𝑣 sur d𝑥.

Pour ce faire, nous devons savoir que lorsque nous utilisons cette formule, la partie la plus difficile de cette expression est de calculer l’intégrale. Donc, nous voulons choisir nos fonctions pour rendre cette intégrale aussi facile à calculer que possible. Et généralement, nous voulons le faire en choisissant 𝑢 ce qui rend d𝑢 sur d𝑥 plus simple. Cependant, parfois, nous devons choisir notre fonction 𝑢 de telle sorte qu’elle se simplifie lorsqu’elle est multipliée par partie par 𝑣. Dans les deux cas, regardons nos fonctions 𝑥 et sinus de 𝑥.

Nous savons que lorsque nous calculons la dérivée de 𝑥, son degré va diminuer. Cependant, si nous devions calculer la dérivée de sinus de 𝑥, nous obtiendrions simplement une autre fonction trigonométrique. Ce ne serait pas plus simple. Donc, nous allons définir notre fonction 𝑢 pour être égale à 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 pour être égale au sinus de 𝑥. Maintenant, pour appliquer l’intégration par parties, nous allons devoir trouver une expression pour d𝑢 sur d𝑥 et 𝑣.

Commençons donc par trouver d𝑢 sur d𝑥. C’est la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑥, qui est juste égale à un. Nous voulons également trouver une expression pour 𝑣 à partir de d𝑣 sur d𝑥. Et nous pouvons rappeler que 𝑣 sera une primitive de cette fonction. Ainsi, nous savons que 𝑣 va être égale à l’intégrale indéfinie du sinus de 𝑥 par rapport à 𝑥, dont nous pouvons rappeler qu’elle est moins cosinus de 𝑥 plus la constante d’intégration. Cependant, nous n’avons pas besoin d’ajouter une constante d’intégration dans ce cas.

Pour voir cela, considérons ce qui se passerait si nous remplaçons 𝑣 par 𝑣 plus 𝐶 dans notre formule d’intégration par parties. Dans le premier terme, nous obtiendrions 𝑢 multiplié par la constante d’intégration 𝐶. Cependant, dans notre deuxième terme, nous obtenons 𝐶 fois d𝑢 sur d𝑥. Moins l’intégrale de ceci est moins 𝑢 fois 𝐶, donc ces deux termes s’annulent. C’est donc un autre cas de simplification de constantes d’intégration, nous n’avons donc pas besoin d’inclure cette constante.

Remplaçons maintenant nos expressions pour 𝑢, 𝑣, d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 dans notre formule d’intégration par parties. Nous obtenons l’intégrale indéfinie de 𝑥 fois le sinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égal à 𝑥 fois moins cosinus de 𝑥 moins l’intégrale indéfinie de moins cosinus de 𝑥 multiplié par un par rapport à 𝑥. Le premier terme se simplifie pour nous donner moins 𝑥 fois le cosinus de 𝑥. Et dans notre deuxième terme, nous retirons le facteur de moins un. Cela signifie que nous ajoutons l’intégrale indéfinie du cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Maintenant, il ne reste plus qu’à déterminer cette intégrale indéfinie. On sait que le sinus de 𝑥 est une primitive du cosinus de 𝑥. Ainsi, l’intégrale indéfinie de cosinus de 𝑥 est sinus de 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶. Par conséquent, nous avons pu montrer que l’intégrale indéfinie de 𝑥 fois le sinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins 𝑥 cosinus de 𝑥 plus sinus de 𝑥 plus 𝐶. Et il convient de noter que nous pouvons vérifier notre réponse en calculant sa dérivée par rapport à 𝑥 et en vérifiant que nous obtenons 𝑥 multiplié par le sinus de 𝑥.

Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser l’intégration par parties pour déterminer l’intégrale de la fonction logarithme népérien.

Intégrez le logarithme népérien de 𝑥 par rapport à 𝑥 par parties en utilisant 𝑢 est égal au logarithme népérien de 𝑥 et d𝑣 est égal à d𝑥.

Dans cette question, nous voulons déterminer une intégrale indéfinie en utilisant l’intégration par parties. Nous pouvons le faire en rappelant d’abord que l’intégration par parties nous dit que l’intégrale indéfinie de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois 𝑣 moins l’intégrale indéfinie de 𝑣 multipliée par d𝑢 sur d𝑥 par rapport à 𝑥.

Généralement, lorsque nous utilisons l’intégration par parties, nous devons d’abord déterminer quelle fonction nous définissons comme 𝑢 et laquelle nous définissons comme d𝑣 sur d𝑥. Cependant, on nous a déjà dit cette information dans la question. On nous dit de mettre 𝑢 égal au logarithme népérien de 𝑥. Et on nous dit en termes de dérivées, d𝑣 est égal à d𝑥. Cela signifie que d𝑣 sur d𝑥 est égal à un. Nous pouvons alors voir si nous fixons 𝑢 égal au logarithme népérien de 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 égal à un, alors dans notre formule d’intégration par parties nous obtenons l’intégrale indéfinie du logarithme népérien de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Donc, pour appliquer cela, nous allons avoir besoin de trouver des expressions pour 𝑣 et d𝑢 sur d𝑥. Commençons par calculer la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. C’est la dérivée du logarithme népérien par rapport à 𝑥, dont nous savons que la fonction primitive d𝑢 sur d𝑥 est un sur 𝑥. Puisque d𝑣 sur d𝑥 est égal à un, la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à un. En d’autres termes, 𝑣 est une primitive de un. Et nous savons que la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑥 est un, nous allons donc définir 𝑣 égal à 𝑥.

Maintenant, nous remplaçons simplement toutes ces expressions dans notre formule d’intégration par parties. Nous obtenons que l’intégrale indéfinie du logarithme népérien de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥 moins l’intégrale indéfinie de 𝑥 multipliée par un sur 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons simplifier cela ; 𝑥 multiplié par un sur 𝑥 est juste égal à un. Il nous reste donc 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥 moins l’intégrale indéfinie de un par rapport à 𝑥. Et nous pouvons calculer cette intégrale. Elle est égale à 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶.

Par conséquent, nous avons pu montrer que l’intégrale indéfinie du logarithme népérien de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 fois le logarithme népérien de 𝑥 moins 𝑥 plus 𝐶. Et l’intégration par parties était vraiment utile pour nous aider à calculer cette intégrale car la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est une expression beaucoup plus simple que son intégrale.

Jusqu’à présent, lorsque nous avons utilisé l’intégration par parties, nous avons soit reçu nos fonctions 𝑢 et d𝑣 sur d𝑥, soit nous avons dû les choisir nous-mêmes. Et il est assez difficile de choisir ces fonctions nous-mêmes car il n’est pas toujours évident quelle fonction choisir comme 𝑢. Mais il existe une méthode que nous pouvons utiliser pour nous aider à choisir notre fonction 𝑢 ; c’est ce qu’on appelle la méthode LIATE. Et ceci nous dit de choisir notre fonction 𝑢 en fonction de laquelle cinq types de fonctions possibles apparaissent en premier dans notre terme final à intégrer.

Le L signifie fonction logarithmique, le I signifie fonction trigonométrique inverse, le A signifie algébrique, le T signifie trigonométrique et enfin le E signifie exponentielle. Nous choisissons simplement notre fonction 𝑢 en fonction de ces cinq fonctions qui apparaît en premier dans notre terme final à intégrer. Et il convient de noter que la méthode LIATE ne nous donne pas toujours la meilleure fonction 𝑢. Cependant, elle fonctionne généralement. Voyons maintenant un exemple d’application de la méthode LIATE pour déterminer une intégrale par parties.

Déterminez l’intégrale indéfinie de trois 𝑥 plus quatre fois le tout au carré fois 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de calculer l’intégrale indéfinie du produit de deux fonctions. Nous allons donc essayer de le faire en utilisant l’intégration par parties. Et nous pouvons rappeler que l’intégration par parties nous dit que l’intégrale indéfinie de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois 𝑣 moins l’intégrale indéfinie de 𝑣 multipliée par d𝑢 sur d𝑥 par rapport à 𝑥.

Alors maintenant, nous devons choisir nos fonctions 𝑢 et d𝑣 sur d𝑥. Et nous allons choisir notre fonction 𝑢 en utilisant la méthode LIATE. Nous vérifions notre terme final à intégrer pour chacun des cinq types de fonctions à tour de rôle afin de déterminer notre fonction 𝑢. Tout d’abord, nous commençons par les fonctions logarithmiques. Nous pouvons voir qu’il n’y a pas de fonction logarithmique dans notre terme final à intégrer. Nous passons donc au type suivant de fonctions, les fonctions trigonométriques inverses. Encore une fois, nous pouvons voir qu’il n’y a pas de fonctions trigonométriques inverses dans notre terme final à intégrer. Donc, nous allons passer au troisième type de fonction, fonctions algébriques, et nous pouvons voir que trois plus quatre le tout au carré est un polynôme. C’est donc une fonction algébrique. Donc, nous allons définir 𝑢 comme trois 𝑥 plus quatre au carré. Et cela signifie que d𝑣 sur d𝑥 va être égal au facteur restant 𝑒 exposant 𝑥.

Maintenant, pour appliquer l’intégration par parties, nous allons avoir besoin de trouver des expressions pour d𝑢 sur d𝑥 et 𝑣. Commençons par d𝑢 sur d𝑥. On va vouloir calculer la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Et il y a plusieurs façons de le faire. Par exemple, 𝑢 est la composition de fonctions, nous pourrions donc le faire en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Cependant, notre exposant extérieur n’est que de deux. Donc, il est probablement plus facile de simplement en distribuer deux sur nos parenthèses. Nous obtenons neuf 𝑥 au carré plus 24𝑥 plus 16. Cela nous permet ensuite de calculer la dérivée de ceci terme par terme en utilisant la règle de dérivation d’une puissance. On obtient d𝑢 sur d𝑥 est égal à 18𝑥 plus 24.

Trouvons maintenant 𝑣. Nous pouvons voir que d𝑣 sur d𝑥 est égal à 𝑒 exposant 𝑥. Donc, 𝑣 va être une primitive de 𝑒 exposant 𝑥. 𝑣 est égal à l’intégrale indéfinie de 𝑒 exposant 𝑥 rapport à 𝑥. Et nous savons que cela est égal à 𝑒 à la puissance 𝑥 plus la constante d’intégration. Cependant, nous n’avons pas besoin de la constante d’intégration dans ce cas, nous pouvons maintenant remplacer ces expressions dans notre formule d’intégration par parties. On obtient l’intégrale indéfinie de trois 𝑥 plus quatre au carré fois 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à trois 𝑥 plus quatre au carré fois 𝑒 à la puissance 𝑥 moins l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑥 multipliée par 18𝑥 plus 24 par rapport à 𝑥.

Et à ce stade, nous pourrions être inquiets d’avoir choisi la mauvaise fonction 𝑢 puisque nous nous sommes retrouvés avec l’intégrale d’un produit de deux fonctions. Cependant, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Si nous calculons la dérivée de 18𝑥 plus 24 par rapport à 𝑥, nous obtiendrons une constante. Ainsi, nous pouvons déterminer cette intégrale en appliquant une deuxième fois l’intégration par parties. Pour ce faire, commençons par dégager un peu d’espace puis choisissons notre fonction 𝑢. Nous le ferons à nouveau en utilisant la méthode LIATE. Nous pouvons voir qu’il n’y a pas de fonctions logarithmiques et pas de fonctions trigonométriques inverses. Cependant, il y a une fonction algébrique.

Donc, nous allons définir 𝑢 comme étant 18𝑥 plus 24 et d𝑣 sur d𝑥 comme étant 𝑒 à la puissance 𝑥. Nous voulons maintenant trouver d𝑢 sur d𝑥 et 𝑣. Puisque 𝑢 est une fonction affine, sa dérivée est le coefficient de 𝑥. d𝑢 sur d𝑥 vaut 18. Et 𝑣 est une primitive de 𝑒 à la puissance 𝑥. 𝑣 est juste 𝑒 à la puissance 𝑥. Nous pouvons maintenant remplacer ces valeurs dans notre formule d’intégration par parties pour déterminer la seconde intégrale indéfinie. Cela nous donne alors trois 𝑥 plus quatre au carré fois 𝑒 à la puissance 𝑥 moins 18𝑥 plus 24 fois 𝑒 à la puissance moins l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois 18 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons simplifier cela.

Premièrement, nous pouvons répartir le signe moins sur nos parenthèses, ce qui nous donne ce qui suit. Ensuite, nous pouvons retirer 18 de notre intégrale. Maintenant, nous pouvons calculer notre intégrale indéfinie finale. L’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥 plus la constante d’intégration, ce qui nous laisse alors avec l’expression suivante.

Maintenant, nous pouvons laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous pouvons également remarquer que ces trois termes partagent un facteur commun de 𝑒 à la puissance 𝑥. Donc, si nous retirons le facteur commun de 𝑒 à la puissance 𝑥, nous obtenons l’expression suivante, et nous pouvons simplifier l’expression algébrique à l’intérieur de nos parenthèses. Et si nous faisions cela, nous obtiendrions notre réponse finale. L’intégrale indéfinie de trois 𝑥 plus quatre au carré fois 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance 𝑥 fois neuf 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 10 plus la constante d’intégration 𝐶.

Voyons maintenant un exemple où on utilise l’intégration indéfinie pour calculer l’intégrale du produit d’une fonction trigonométrique et d’une fonction exponentielle.

En fixant 𝑢 égal à 𝑒 à la puissance 𝑥 et d𝑣 égal au cosinus de 𝑥 d𝑥, calculez l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑥 multipliée par le cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 en intégrant par parties.

Dans cette question, on nous demande de calculer une intégrale indéfinie en utilisant l’intégration par parties. Et nous pouvons rappeler que l’intégration par parties nous dit que l’intégrale indéfinie de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois 𝑣 moins l’intégrale indéfinie de 𝑣 multipliée par d𝑢 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Et à ce stade, nous devons généralement choisir nos fonctions 𝑢 et d𝑣 sur d𝑥 pour appliquer l’intégration par parties. Cependant, on nous dit que choisir dans la question.

On nous dit de choisir 𝑢 égal à 𝑒 à la puissance 𝑥. Et on nous dit en termes de dérivées, d𝑣 est égal à cosinus de 𝑥 d𝑥. Cela revient à dire que d𝑣 sur d𝑥 est égal à cosinus de 𝑥. Ainsi, 𝑢 est 𝑒 à la puissance 𝑥, et d𝑣 sur d𝑥 est cosinus de 𝑥. Nous devons utiliser ceux-ci pour déterminer d𝑢 sur d𝑥 et 𝑣. Premièrement, d𝑢 sur d𝑥 est la dérivée de 𝑒 à la puissance par rapport à 𝑥, qui est juste égale à lui-même.

Ensuite, 𝑣 est l’intégrale indéfinie du cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥. C’est le sinus de 𝑥 plus la constante d’intégration. Cependant, dans ce cas, nous n’avons pas besoin de la constante. Nous pouvons maintenant remplacer ces expressions dans notre formule d’intégration par parties. Cela nous donne alors 𝑒 à la puissance 𝑥 multiplié par le sinus de 𝑥 moins l’intégrale indéfinie du sinus de 𝑥 fois 𝑒 à la puissance de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Et à ce stade, nous pourrions être inquiets. Nous n’avons pas rendu notre intégrale indéfinie plus facile à calculer en utilisant cette intégration par parties. Intégrer sinus de 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 est tout aussi difficile que d’intégrer 𝑒 à la puissance 𝑥 fois le cosinus de 𝑥. Cependant, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant si nous essayons de calculer cette intégrale en utilisant l’intégration par parties. Si nous définissons à nouveau notre fonction 𝑢 comme la fonction exponentielle 𝑒 à la puissance 𝑥 et notre fonction d𝑣 sur d𝑥 comme la fonction trigonométrique sinus 𝑥, alors 𝑢 sera 𝑒 à la puissance 𝑥 et 𝑣 sera moins cosinus de 𝑥.

Ainsi, cette intégrale indéfinie finit par être l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥. C’est l’intégrale que nous essayons de calculer, et nous pourrons l’utiliser pour calculer notre intégrale. Commençons donc par fixer 𝑢 égal à 𝑒 à la puissance 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 égal au sinus de 𝑥. Nous calculons la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Nous obtenons d𝑢 sur d𝑥 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑥. Et l’intégrale indéfinie du sinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins le cosinus de 𝑥 plus 𝐶. Donc, 𝑣 est moins cosinus de 𝑥.

Nous pouvons maintenant remplacer ces expressions dans notre formule d’intégration par parties pour calculer l’intégrale indéfinie. Cela nous donne alors 𝑒 exposant 𝑥 fois sinus 𝑥 moins 𝑒 exposant 𝑥 multiplié par moins cosinus de 𝑥 moins l’intégrale indéfinie de moins cosinus de 𝑥 fois 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons alors simplifier cela. Commençons par répartir le signe moins sur nos parenthèses et réarranger. Cela nous donne 𝑒 exposant 𝑥 fois sinus 𝑥 plus 𝑒 exposant 𝑥 fois cosinus de 𝑥 moins l’intégrale indéfinie de 𝑒 exposant 𝑥 multiplié par cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Mais cette intégrale est exactement la même que l’intégrale que nous avons au membre gauche de l’équation. Ajoutons donc l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois le cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 des deux membres de l’équation. Cela nous donne deux fois l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑥 fois cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance 𝑥 fois sinus 𝑥 plus 𝑒 à la puissance 𝑥 fois cosinus de 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶.

Et cela vaut la peine de répéter que nous devons ajouter ici une constante d’intégration. Nous pouvons maintenant résoudre pour trouver l’intégrale en divisant les deux membres de l’équation par deux. Et bien sûr, diviser notre constante d’intégration par deux nous laissera toujours avec une constante. Donc, nous appellerons simplement cela 𝐶. Cela nous donne alors notre réponse finale. L’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑥 multipliée par le cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un demi 𝑒 exposant 𝑥 fois sinus 𝑥 plus un demi 𝑒 exposant fois cosinus de 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶.

Récapitulons maintenant les points clés de cette vidéo. Premièrement, nous avons montré que l’intégration par parties est la règle correspondante pour la règle du produit. En d’autres termes, si nous considérons la règle du produit en termes d’intégration indéfinie, nous obtenons une intégration par parties. En particulier, en termes de notation de Leibniz, l’intégration par parties nous dit que l’intégrale indéfinie de 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois 𝑣 moins l’intégrale indéfinie de 𝑣 multipliée par d𝑢 sur d𝑥 par rapport à 𝑥.

Et nous avons vu qu’en général c’est une bonne idée de choisir notre fonction 𝑢 pour que lorsque nous la dérivions, nous rendions notre deuxième intégrale aussi facile que possible à calculer. Et nous avons également vu une méthode pour choisir notre fonction 𝑢 en utilisant l’acronyme LIATE. Nous choisissons 𝑢 pour être la première fonction de cette liste de cinq qui apparaît dans notre terme final à intégrer. Cependant, il convient de noter que l’acronyme LIATE ne nous donne pas toujours la meilleure fonction 𝑢, nous devons donc toujours faire attention à cela.

Enfin, il convient également de noter que nous avons vu que nous pouvions intégrer certaines fonctions, comme le logarithme népérien de 𝑥, en utilisant l’intégration par parties. Nous l’écrivons simplement comme un fois le logarithme népérien de 𝑥, puis appliquons l’intégration par parties. Et enfin, nous avons vu que parfois nous devons appliquer l’intégration par parties plusieurs fois pour calculer l’intégrale indéfinie.

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