Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble des valeurs de thêta qui vérifient cotangente thêta sur sinus thêta égale cosécante thêta, où thêta est compris entre zéro et 360 degrés.
Pour résoudre ce problème, on rappelle que cotangente thêta est égale à cosinus thêta sur sinus thêta et que cosécante thêta est égale à un sur sinus thêta. En remplaçant cosécante thêta par un sur sinus thêta, on obtient cotangente thêta sur sinus thêta égale un sur sinus thêta. Puisque les dénominateurs à gauche et à droite de cette équation sont égaux, alors les numérateurs doivent eux aussi être égaux. Par conséquent, cotangente thêta doit être égale à un. Ce qui signifie que cosinus thêta sur sinus thêta est égal à un. En multipliant les deux côtés de cette équation par sinus thêta, on obtient que cosinus thêta est égal à sinus thêta. On doit trouver les valeurs de thêta comprises entre zéro et 360 degrés pour lesquelles cosinus thêta est égal à sinus thêta.
On rappelle que cela est vrai pour l’un de nos angles remarquables, à savoir 45 degrés. On sait que le sinus de 45 degrés et le cosinus de 45 degrés sont tous les deux égaux à un sur racine de deux. Ce que l’on écrit parfois racine de deux sur deux. Sur le cercle unité, on peut voir que le sinus de thêta et le cosinus de thêta sont tous les deux positifs entre zéro et 90 degrés. Et qu’ils sont tous les deux négatifs entre 180 et 270 degrés. Cela signifie qu’on peut calculer notre seconde solution en additionnant 45 degrés à 180 degrés. On a 180 plus 45 égale 225.
Donc les valeurs de thêta comprises entre zéro et 360 degrés, pour lesquelles cosinus thêta égale sinus thêta, sont 45 degrés et 225 degrés. Le sinus et le cosinus de ces deux angles sont respectivement un sur racine de deux et moins un sur racine de deux. On peut donc conclure que l’ensemble des valeurs de thêta qui vérifient cotangente thêta sur sinus thêta égale cosécante thêta sont 45 degrés et 225 degrés.
