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Déterminez deux nombres positifs de moyenne géométrique 42 et de somme 85.
Nous allons utiliser une approche algébrique pour répondre à ce problème. Nous allons introduire les lettres 𝑎 et 𝑏 pour représenter les deux nombres. Et comme on nous dit que ces nombres sont tous deux positifs, 𝑎 et 𝑏 sont tous deux strictement supérieurs à zéro. Nous allons maintenant utiliser les informations données dans la question pour former certaines équations. On nous dit que la somme de ces deux nombres est 85, ce qui donne l’équation 𝑎 plus 𝑏 égale 85. Deuxièmement, on nous dit que la moyenne géométrique de ces deux nombres est 42. Eh bien, la moyenne géométrique de deux nombres, 𝑎 et 𝑏, qui doivent avoir le même signe, est définie comme étant égale à la racine carrée de leur produit 𝑎𝑏. Nous ne pouvons trouver que la moyenne géométrique de deux nombres qui ont le même signe car si les deux nombres étaient de signes opposés, alors leur produit serait négatif. Et la racine carrée d’un nombre négatif donne un résultat non réel.
Donc, si la moyenne géométrique de nos deux nombres est 42, alors nous avons l’équation racine carrée de 𝑎𝑏 égale 42. Nous avons maintenant une paire d’équations simultanées en 𝑎 et 𝑏, que nous devons résoudre. Nous allons commencer par réarranger la première équation pour donner une expression de 𝑏 en termes de 𝑎. En soustrayant 𝑎 de chaque membre, nous avons 𝑏 égale 85 moins 𝑎. Nous pouvons simplifier la deuxième équation en mettant les deux membres au carré. Maintenant, comme les deux membres sont strictement positifs, nous ne créerons pas de solutions supplémentaires en faisant cela. Nous avons donc 𝑎𝑏 égale 42 au carré, et 42 au carré vaut 1764. Pour résoudre ces équations, nous allons prendre l’expression 𝑏 de notre première équation, c’est-à-dire 85 moins 𝑎, et la substituer dans la deuxième équation car cela donnera une équation en 𝑎 seulement. Cela donne 𝑎 multiplié par 85 moins 𝑎 égale 1764.
Ensuite, nous allons distribuer les parenthèses sur le membre gauche, ce qui donne 85𝑎 moins 𝑎 au carré, et cela reste égal à 1764. Enfin, nous regrouperons tous les termes dans le même membre de l’équation, dans ce cas, le membre de droite, de sorte que le coefficient de 𝑎 au carré soit positif. Et nous avons l’équation zéro égale 𝑎 au carré moins 85𝑎 plus 1764. C’est une équation du second degré en 𝑎. Et en fait, cela peut être résolu en factorisant. Cela peut nécessiter quelques essais et erreurs, et en fait, vous pouvez juger plus efficace d’utiliser la formule des racines du second degré. Mais on peut procéder à la factorisation qui donne 𝑎 moins 36 multiplié par 𝑎 moins 49.
Nous savons que cette factorisation est correcte parce que si nous additionnons ces deux nombres de moins 36 et moins 49 ensemble, nous obtenons moins 85, qui est le coefficient de 𝑎 dans notre équation du second degré. Et si nous les multiplions ensemble, nous obtenons un résultat positif de 1764, qui est le terme constant.
Ensuite, nous rappelons que si un produit de deux facteurs est égal à zéro, alors au moins l’un des facteurs individuels doit être égal à zéro. Donc, soit 𝑎 moins 36 est égal à zéro, soit 𝑎 moins 49 est égal à zéro. Et nous avons deux équations linéaires simples à résoudre pour 𝑎. Pour résoudre la première équation, nous ajoutons 36 dans chaque membre, ce qui donne 𝑎 égale 36. Et pour résoudre la seconde, nous ajoutons 49 dans chaque membre, ce qui donne 𝑎 égale 49. Il y a donc deux valeurs possibles pour 𝑎. En fait, ce sont les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Nous n’avons pas défini lequel de nos deux nombres 𝑎 et 𝑏 était le plus grand. Donc, en suivant cette méthode, nous avons trouvé deux solutions. Soit 𝑎 est égal 36, dans ce cas 𝑏 sera égal à 49, ou 𝑎 est égal à 49, dans ce cas 𝑏 est égal à 36.
Mais confirmons cela en remplaçant chaque valeur de 𝑎 dans l’équation par 𝑏. Si 𝑎 est égal à 36, alors 𝑏 est 85 moins 36, cela vaut 49. Et si 𝑎 est 49, alors 𝑏 est 85 moins 49, cela vaut 36. Nous avons donc trouvé les deux nombres que nous recherchions. Ce sont 36 et 49. Nous avons utilisé l’équation relative à la somme de ces deux nombres pour calculer le deuxième nombre. Utilisons donc les informations sur leur moyenne géométrique pour vérifier notre réponse.
La moyenne géométrique de ces deux nombres est la racine carrée de leur produit. C’est la racine carrée de 36 multiplié par 49. Mais ces nombres sont tous deux des carrés. On a 36 égale six au carré et 49 égale sept au carré. Nous avons donc la racine carrée de six au carré multiplié par sept au carré. En utilisant les lois des radicaux, nous pouvons dire que cela est égal à la racine carrée de six au carré multipliée par la racine carrée de sept au carré. Mais la racine carrée de six au carré est juste six, et la racine carrée de sept au carré est sept. La moyenne géométrique est donc six multipliée par sept, ce qui équivaut à 42. Et cela confirme que notre réponse est correcte.
Les deux nombres positifs qui ont une somme de 85 et une moyenne géométrique de 42 sont 36 et 49.
